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Winkel im Kreis 04:42 min

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Transkript Winkel im Kreis

Sensation! UFO gesichtet! Ist es verantwortlich für die mysteriösen Kornkreise? Um die Botschaften dahinter zu entschlüsseln, müssen wir verstehen, wie wir Winkel im Kreis finden und bestimmen können. Dazu schauen wir uns mal diesen Kreis näher an: Die Länge der gesamten Kreislinie ist der Umfang. Eine Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Kreislinie heißt Sehne. Die Größtmögliche Sehne geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Es handelt sich um den Durchmesser. Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie ist der Radius des Kreises. Er ist genau halb so lang wie der Durchmesser. Von zwei Radien eines Kreises wird ein Winkel eingeschlossen. Dann heißen die Radien auch Schenkel des Winkels. Der Kreismittelpunkt ist dann mit dem Winkelscheitel identisch. Der Winkel bestimmt die Fläche dieses Kreisausschnitts und die Länge dieses Kreisbogens. Dieser Winkel entspricht dem gesamten Kreis. Er wird auch Vollwinkel genannt. Er steht damit für die gesamte Kreisfläche oder den ganzen Umfang des Kreises. Winkel werden in Grad gemessen. Der Vollwinkel hat eine Größe von 360 Grad. Ein Grad ist also der 360ste Teil des Vollwinkels. Dieser Kreisausschnitt hat eine Fläche von einem 360stel der gesamten Kreisfläche. Der zugehörige Winkel ist also genau ein Grad groß. Um einen Winkel zu messen, kannst du ein Geodreieck nutzen. Wie groß ist dieser Winkel? Falls die Schenkel des Winkels zu kurz zum Messen sind, können wir sie verlängern. Dann legen wir das Geodreieck so an den Winkel an. Achte darauf, dass du den Nullpunkt der Linealseite genau beim Winkelscheitel positionierst. Hier können wir den Winkel nun messen. Es sind 45 Grad. Das ist genau ein Achtel von 360 Grad, also dem Vollwinkel. Nehmen wir den zugehörigen Kreisausschnitt achtmal, erhalten wir die ganze Kreisfläche. Wir können das Geodreieck auch verwenden, um einen Winkel, zum Beispiel 60 Grad, zu zeichnen. Zunächst trägst du den ersten Schenkel ab. Dazu musst du darauf achten, dass du das Geodreieck dafür wieder so positionierst, dass der Nullpunkt der Linealseite genau am Mittelpunkt des Kreises liegt, denn dort wird ja auch der Winkelscheitel sein. Nun misst du 60 Grad ab und markierst die Stelle mit einem Punkt. Dann kannst du den zweiten Schenkel eintragen. Da 60 Grad genau ein Sechstel von 360 Grad ist, ergeben 6 Kreisausschnitte dieser Größe wieder den ganzen Kreis. Ein Viertelkreis sieht SO aus. Der zugehörige Winkel hat eine Größe von einem Viertel von 360 Grad, also 90 Grad. Er wird rechter Winkel genannt. Man kennzeichnet ihn auch, indem man einen Punkt in den Winkelbogen setzt. Das ist ein Halbkreis. Der zugehörige Winkel hat eine Größe von der Hälfte von 360 Grad, also 180 Grad. Er wird gestreckter Winkel genannt. Und während die Forscher die Botschaften der Außerirdischen auswerten, fassen wir zusammen: Von zwei Radien eines Kreises wird ein Winkel eingeschlossen. Der Kreismittelpunkt ist identisch mit dem Winkelscheitel. Die Radien heißen auch Schenkel des Winkels. Winkel werden in Grad gemessen. Dazu kannst Du ein Geodreieck verwenden. Der entsprechende Winkel für die ganze Kreisfläche und den ganzen Kreisumfang heißt Vollwinkel. Er hat eine Größe von 360 Grad. Von besonderer Bedeutung ist der 90 Grad Winkel, der rechte Winkel. Er entspricht einem Viertelkreis. Dem Halbkreis entspricht der gestreckte Winkel, der 180 Grad groß ist. Sensation! Erstmals konnte das UFO mit einer Kamera aufgenommen werden! Äh. Wer ist denn dann für die Kornkreise verantwortlich?

3 Kommentare
  1. Hilfreich

    Von Decotrade, vor 3 Monaten
  2. 👍👍👍👍 sehr hilfreiches video👍👍👍👍

    Von Gautamvipan, vor 8 Monaten
  3. Danke für das Video war echt toll!!Super!! :)

    Von Sandra C., vor 8 Monaten

Winkel im Kreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkel im Kreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Prüfe die folgenden Aussagen über Winkel im Kreis.

    Tipps

    Der Winkel, der dem gesamten Kreis entspricht, wird auch Vollwinkel genannt und hat eine Größe von $360^\circ$.

    Ein Kreis besteht aus $4$ Vierteln, zu jedem Abschnitt gehört ein Winkel von $90^\circ$, da $360^\circ:4=90^\circ$ ist.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind korrekt:

    • Der Kreismittelpunkt ist identisch mit dem Winkelscheitel.
    • Teilt man den Durchmesser am Mittelpunkt in zwei Schenkel auf, schließen diese einen gestreckten Winkel ein.
    Der Durchmesser ist eine besondere Sehne, also eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist aber die längste Sehne und geht durch den Mittelpunkt und somit den Winkelscheitel. Am Mittelpunkt können wir den Durchmesser nun auch als zwei Radien betrachten, die auf einer Geraden liegen. Diese schließen als Schenkel einen Winkel von $180^\circ$, also einen gestreckten Winkel, ein.

    • Der Kreisausschnitt, der zu einem Winkel von $45^\circ$ gehört, passt genau achtmal in einen ganzen Kreis.
    Ein Kreis besteht aus $8$ Achtelkreisen. Zu jedem Abschnitt gehört dann ein Winkel von $45^\circ$, da $360^\circ:8=45^\circ$ ist. Alternativ kannst du auch die Winkelgröße eines Vollwinkels durch die Winkelgröße des betrachteten Kreisausschnitts teilen, um die Anzahl dieses Kreisausschnitts in einem ganzen Kreis zu berechnen: $360^\circ:45^\circ=8$.

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Zwei Radien eines Kreises schließen immer einen spitzen Winkel ein.
    Zwei Radien eines Kreises schließen immer einen Winkel $\alpha$ ein, dieser kann aber eine beliebige Größe haben, so lange Folgendes gilt: $0<\alpha\leq360^\circ$. Für einen spitzen Winkel müsste gelten $0<\alpha<90^\circ$.

    • Die Winkel werden in $^\circ C$ gemessen.
    Die Winkel werden in Grad ($^\circ$) gemessen. Man kann den Kreis in $360$ gleich große Abschnitte einteilen, die Winkel haben dann jeweils eine Größe von $1^\circ$. $^\circ C$ ist hingegen eine Temperatureinheit.

  • Gib an, welche Winkel zu den blau gekennzeichneten Kreisausschnitten passen.

    Tipps

    Überlege dir, wie viel Grad ein ganzer Kreis hat und welchen Anteil du davon betrachtest.

    Ein Achtel eines Kreises entspricht einem Winkel von $45^\circ$, da $360^\circ:8 =45^\circ$.

    Für spitze Winkel $\alpha$ gilt:

    • $0^\circ<\alpha<90^\circ$
    Lösung

    In einem Kreis wird der Winkel von zwei Radien, die in diesem Fall den Schenkeln entsprechen, eingeschlossen.

    1. Der ganze Kreis hat eine Größe von $360^\circ$ und entspricht damit einem Vollwinkel.
    2. Um die Größe eines Viertelkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $4$ und erhält $360^\circ:4 =90^\circ$, also einen rechten Winkel.
    3. Um die Größe eines Halbkreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $2$ und erhält $360^\circ:2 =180^\circ$. $180^\circ$ entsprechen einem gestreckten Winkel.
    4. Um die Größe eines Sechstels eines Kreises zu bestimmen, teilt man $360^\circ$ durch $6$ und erhält $360^\circ:6 =60^\circ$. $60^\circ$ entsprechen einem spitzen Winkel, für diesen gilt nämlich: $0^\circ<\alpha<90^\circ$.
    Zu dem letzten Kreis finden wir keinen Winkel. Es handelt sich hier um einen stumpfen Winkel. Der blaue Kreisausschnitt beträgt $\dfrac{3}{8}$ des kompletten Kreises, also drei $45°$ Winkel. Demnach hat der Winkel eine Größe von $135°$.

  • Ermittle die Größen der Winkel, die die Flächen der markierten Pizzastücke festlegen.

    Tipps

    Hier siehst du den Winkel, der die Fläche des blau umrandeten Pizzastücks festlegt.

    Lösung

    Um die Winkel am Kreis etwas anschaulicher zu gestalten, stellen wir uns den ganzen Kreis als Pizza vor. Nun wollen wir die Größen bestimmen.

    1. Der Kreis wird in drei Drittel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Drittels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:3=120^\circ$.
    2. Der Kreis wird in vier Viertel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Viertels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:4=90^\circ$.
    3. Der Kreis wird in sechs Sechstel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Sechstels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:6=60^\circ$.
    4. Der Kreis wird in neun Neuntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Neuntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:9=40^\circ$.
    5. Der Kreis wird in zehn Zehntel geteilt. Der Winkel $\alpha$ eines Zehntels hat dann eine Größe von $\alpha=360^\circ:10=36^\circ$.
  • Bestimme die gezeichneten Winkel.

    Tipps

    Miss mit Hilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.

    Zur Einordnung der Winkel kannst du dich immer daran orientieren, dass ...

    ... für einen spitzen Winkel immer gilt: $0^\circ<\alpha<90^\circ$,

    ... und für einen stumpfen Winkel immer gilt: $90^\circ<\alpha<180^\circ$.

    Lösung

    Um einen Winkel im Kreis zu messen, gehst du so vor:

    1. Lege dein Geodreieck an einen der Radien (Schenkel) an.
    2. Achte darauf, dass die $0$ der Linealseite im Mittelpunkt (Winkelscheitel) anliegt.
    3. Verlängere die Radien, wenn nötig, über den Kreis hinaus.
    4. Miss mit Hilfe der Skala auf dem Kreisbogen den Winkel bis zum zweiten Schenkel. Nimm dabei die Skala, die bei deinem Ausgangsschenkel bei $0$ beginnt.
    So erhältst du hier die Winkel:

    • $45^\circ$
    • $50^\circ$
    • $80^\circ$
    • $110^\circ$
  • Vervollständige das Schaubild.

    Tipps

    Der Winkel $\alpha$ bestimmt die Länge des von den Radien begrenzten, orangen Kreisbogens eindeutig.

    Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreisrand nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser.

    Der Radius ist genau halb so lang wie der Durchmesser.

    Lösung

    Es ist wichtig die Grundbegriffe am Kreis zu kennen.

    Die Länge der gesamten Kreislinie heißt Umfang. Eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie nennen wir Sehne. Die längste Sehne ist der Durchmesser, er verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie und verläuft immer durch den Mittelpunkt.

    Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie ist der Radius, er ist genau halb so lang wie der Durchmesser.

    Von zwei Radien eines Kreises wird immer ein Winkel eingeschlossen. Die Radien werden dann auch Schenkel genannt und der Mittelpunkt Winkelscheitel.

    Der Winkel bestimmt dann auch die Fläche des von den Radien begrenzten Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens eindeutig.

  • Ermittle die Größe des Winkels.

    Tipps

    Mit Winkeln kannst du genauso rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit.

    Es gilt zum Beispiel: $100^\circ-20^\circ=80^\circ $

    Lösung

    Mit Winkeln kannst du genauso rechnen wie mit anderen Maßangaben, $^\circ$ symbolisiert dabei die Einheit. Ein Vollwinkel, also der ganze Kreis, hat eine Größe von $360^\circ$, der gelbe Bereich schließt einen Winkel von $235^\circ$ ein. Wie groß ist der Winkel $\alpha$?

    Die Größe von $\alpha$ und $235^\circ$ müssen zusammen $360^\circ$ ergeben, daher können wir die Differenz berechnen.

    $360^\circ-235^\circ=\alpha$

    Damit gilt $\alpha=125^\circ$

    Hier beträgt $\alpha=90^\circ$, welchen Winkel schließt der gelbe Bereich ein?

    Wir nennen den Winkel $\beta$, dann gilt, dass wir $\alpha$ vom Vollwinkel abziehen müssen:

    $\beta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$

    Welche Größe hätte der Winkel, wenn man die beiden $\alpha$s addiert:

    $270^\circ+125^\circ=395^\circ$

    Sie würden zusammen einen Winkel größer als $360^\circ$, also mehr als ein ganzer Kreis.