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Kurze Wiederholung zu Dreiecken

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Ein Dreieck ist eine ebene Figur:

  • Es hat drei Ecken. Diese werden mit Großbuchstaben, zum Beispiel $A$, $B$ und $C$, entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet.
  • Jeder dieser drei Ecken liegt eine Seite gegenüber, welche mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben, $a$, $b$ oder $c$, bezeichnet wird.
  • In jeder Ecke liegt ein Winkel. Die Winkel werden mit griechischen Buchstaben, $\alpha$ für $a$, $\beta$ für $b$ und $\gamma$ für $c$ bezeichnet.
  • Die Summe der Winkel des Dreiecks beträgt für jedes Dreieck immer $180^\circ$.

Ein Dreieck hat auch drei Mittelsenkrechten sowie drei Winkelhalbierende. Was das ist, erfährst du im Folgenden.

Natürlich gibt es Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende nicht nur in Dreiecken.

Was ist eine Mittelsenkrechte?

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade, die senkrecht oder orthogonal zu dieser Strecke durch deren Mittelpunkt verläuft.

Man könnte auch sagen, dass die Mittelsenkrechte einer Strecke diejenige Gerade ist, auf welcher alle Punkte liegen, die den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke haben.

Konstruktion einer Mittelsenkrechten

In dieser Animation siehst du im Überblick die einzelnen Schritte um eine Mittelsenkrechte zu konstruieren.

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Nun siehst du Schritt für Schritt, wie du eine Mittelsenkrechte konstruieren kannst.

  • Zeichne um jeden Endpunkt der Strecke einen Kreis mit dem gleichen Radius. Der Radius muss größer sein als die Hälfte der Länge der Strecke und kleiner als die Länge der Strecke.

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  • Diese beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten.

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  • Wenn du die beiden Punkte miteinander verbindest, erhältst du eine Gerade. Dort, wo die Gerade die Strecke schneidet, liegt der Mittelpunkt der Strecke.

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  • Die Gerade, die die beiden Punkte miteinander verbindet, ist die gesuchte Mittelsenkrechte.

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  • Du kannst zu den beiden anderen Seiten des Dreiecks ebenso die Mittelsenkrechten konstruieren.

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  • Du siehst: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dies ist kein Zufall, das ist immer so.

Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks. Warum ist das so?

  • Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist, wie bereits oben beschrieben, die Gerade, auf der alle Punkte liegen, die zu den beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben.
  • Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten zu jedem der drei Eckpunkte des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
  • Somit kannst du einen Kreis mit diesem Schnittpunkt als Mittelpunkt und dem Abstand dieses Mittelpunktes zu einem der Eckpunkte als Radius zeichnen. Auf diesem Kreis liegen alle drei Eckpunkte des Dreiecks.
  • Dieser Kreis wird als Umkreis des Dreiecks bezeichnet.

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Was ist eine Winkelhalbierende?

Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl, welcher von einem Scheitelpunkt $S$ ausgeht und einen Winkel, welcher in diesem Scheitelpunkt von zwei Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert.

Konstruktion einer Winkelhalbierenden

Auch hierzu siehst du wieder, am Beispiel eines Dreiecks, wie du eine solche Winkelhalbierende konstruieren kannst. Zunächst im Überblick und dann Schritt für Schritt.

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  • Du zeichnest um einen Eckpunkt, dies ist der Scheitelpunkt einen Kreis. Der Radius dieses Kreises muss kleiner sein als die kürzere der beiden Seitenlängen. Dieser Kreis schneidet jeder der beiden Seiten in einem Punkt.

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  • Nun konstruierst du, wie bei der Mittelsenkrechten beschrieben, den Mittelpunkt der Strecke zischen den beiden Schnittpunkten.

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  • Dann verbindest du den Scheitelpunkt mit diesem Mittelpunkt.

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  • Der so erhaltene Strahl ist die Winkelhalbierende, in diesem Beispiel des Winkels $\alpha$.

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  • Ebenso kannst du die Winkelhalbierenden von $\beta$ und $\gamma$ konstruieren.

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  • Auch hier fällt dir sicher auf, dass diese Winkelhalbierenden sich in einem Punkt schneiden. Das ist natürlich auch kein Zufall.

Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks.

  • Die Winkelhalbierende eines Winkels hat zu den beiden Schenkeln, welche den Winkel einschließen, den gleichen Abstand.
  • Somit hat der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden zu jeder der drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
  • Der Kreis mit diesem Schnittpunkt als Mittelpunkt und dem Abstand dieses Mittelpunktes zu einer der Seiten als Radius zeichnen berührt jede dieser Seiten.
  • Dieser Kreis wird als Inkreis des Dreiecks bezeichnet.

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