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Dreiecke mit den Kongruenzsätzen konstruieren

Die Kongruenzsätze geben an, unter welchen Voraussetzungen zwei Dreiecke kongruent, das heißt deckungsgleich, sind. Du kannst diese Sätze aber auch nutzen, um ein Dreieck (eindeutig!) zu konstruieren.

Die vier Kongruenzsätze

Es gibt insgesamt vier Kongruenzsätze. Bevor wir uns diese anschauen, klären wir zunächst, was „kongruent“ eigentlich bedeutet.

Ein anderes Wort für „kongruent“ ist „deckungsgleich“. Wenn du zwei Blatt Papier übereinander legst und dann ein Dreieck ausschneidest, erhältst du mit jedem der Blätter ein solches Dreieck, also zwei Dreiecke. Diese beiden Dreiecke decken sich gegenseitig vollständig ab. Sie sind also deckungsgleich.

Nun weißt du, was kongruent bedeutet. Dann siehst du jetzt die vier Kongruenzsätze:

  • Der Kongruenzsatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz SSW besagt, dass zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
  • Der Kongruenzsatz WSW besagt, dass zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, wenn sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen.

Du kannst diese Kongruenzsätze auch anwenden, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren.

Verwende im Folgenden diese Planfigur für ein Dreieck:

3032_Dreieck_allgemein.jpg

Der Kongruenzsatz SSS

Du kannst ein Dreieck konstruieren, wenn alle $3$ Seiten gegeben sind (SSS). Zum Beispiel seien $a=5~\text{cm}$, $b=6~\text{cm}$ und $c=8~\text{cm}$. Du gehst dabei wie folgt vor:

  1. Du zeichnest, zum Beispiel mit dem Geodreieck, eine Seite ein. Es ist dabei egal, mit welcher Seite du beginnst. Wir beginnen einmal mit der Seite $c$, welche die Punkte $A$ und $B$ verbindet.
  2. Zeichne nun um den Punkt $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $b$.
  3. Zeichne einen weiteren Kreisbogen, dieses Mal um $B$, mit dem Radius $a$.
  4. Diese beiden Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten. Wähle einen der beiden Punkte als $C$, den fehlenden Eckpunkt. Du kannst nun sagen, dass du ja zwei Dreiecke erhältst. Diese sind allerdings deckungsgleich.
  5. Verbinde zuletzt $A$ und $C$, dies ist die Seite $b$, sowie $B$ und $C$ zur Seite $a$.

Animation_Kreise_Dreieck.gif

Fertig ist das Dreieck.

Der Kongruenzsatz SWS

Weiter geht's mit der Konstruktion eines Dreiecks, wenn $2$ Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind (SWS). Führe doch einmal die Konstruktion auf einem Blatt durch:

  1. Du zeichnest eine der beiden gegebenen Seiten ein. Es ist auch hier egal, mit welcher Seite du beginnst. Nehmen wir einmal an, du kennst die Seiten $b=7~\text{cm}$ und $c=10~\text{cm}$ sowie den Winkel $\alpha=60^\circ$. Beginne mit der Seite $c$. Diese verbindet die Punkte $A$ und $B$.
  2. Trage in $A$ den Winkel $\alpha$ an. So erhältst du einen freien Schenkel.
  3. Zeichne nun um den Punkt $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $b$.
  4. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel. Der Schnittpunkt ist der fehlende Eckpunkt $C$
  5. Verbinde zuletzt $A$ und $C$, dies ist die Seite $b$, sowie $B$ und $C$ zur Seite $a$.

Nun ist auch dieses Dreieck konstruiert.

Der Kongruenzsatz SSW

Nun kommen wir zur Konstruktion eines Dreiecks, wenn $2$ Seiten und der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegende Winkel gegeben sind (SSW). Du kannst auch hier die Konstruktion auf einem Blatt üben. Dieses Mal seien $c=12~\text{cm}$, $b=7~\text{cm}$ sowie $\gamma=80^\circ$ gegeben.

  1. Zeichne zunächst die kürzere der beiden Seiten. Diese ist in diesem Beispiel die Seite $b$, welche die Punkte $A$ und $C$ verbindet.
  2. Trage in $C$ den Winkel $\gamma$ an. So erhältst du einen freien Schenkel.
  3. Zeichne nun um den Punkt $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $c$.
  4. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel. Der Schnittpunkt ist der fehlende Eckpunkt $B$.
  5. Verbinde zuletzt $A$ und $B$, dies ist die Seite $c$, sowie $B$ und $C$ zur Seite $a$.

Wichtig: Wenn der Winkel der kürzeren der beiden Seiten gegenüberliegt, erhältst du zwei Dreiecke, welche nicht kongruent zueinander sind. Das bedeutet, dass das Dreieck in diesem Fall nicht eindeutig konstruierbar ist.

Der Kongruenzsatz WSW

Es bleibt noch ein Kongruenzsatz: Du konstruierst ein Dreieck, wenn $1$ Seite sowie die beiden anliegenden Winkel gegeben sind (WSW). Übung macht den Meister: Du kannst auch diese Konstruktion selbst auf einem Blatt durchführen. Dieses Mal seien $c=12~\text{cm}$, $\alpha=40^{\circ}$ sowie $\beta=60^{\circ}$ gegeben.

  1. Zeichne zunächst die gegebene Seite $c$ mit den Endpunkten $A$ und $B$ ein.
  2. Trage in $A$ den Winkel $\alpha$ an. So erhältst du einen freien Schenkel.
  3. Trage in $B$ den Winkel $\beta$ an. So erhältst du einen weiteren freien Schenkel.
  4. Die beiden freien Schenkel schneiden sich in dem fehlenden Eckpunkt $C$.
  5. Verbinde zuletzt $A$ und $C$ zur Seite $b$ sowie $B$ und $C$ zur Seite $a$.

Geschafft!