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y-Achsenabschnitt bei linearen Funktionen

Der $y$-Achsenabschnitt bei einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse, der in der Funktionsgleichung $f(x)=y=mx+b$ den Platz von $b$ einnimmt.

Der y-Achsenabschnitt von linearen Funktionen

Der $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ist die Stelle, an der der Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet. Es handelt sich also um den Schnittpunkt der Funktionsgeraden mit der $y$-Achse. Daraus folgt, dass an dieser Stelle immer $x=0$ ist.

Du hast bereits gelernt, dass eine lineare Funktion eine Abbildung der Form $f(x) = y = m\cdot x+b$ ist. Dabei sind $m$ und $b$ Parameter, die die Gleichung definieren. $x$ und $y$ sind Variablen. Das solltest du dir merken, um den $y$-Achsenabschnitt korrekt zu ermitteln.

Wie du dich sicher erinnern kannst, ist der Graph von linearen Funktionen immer eine Gerade. Diese Gerade schneidet die $y$-Achse immer genau einmal, egal wie die Funktionsgleichung der linearen Funktion lautet.

Ablesen des y-Achsenabschnitts aus der Funktionsgleichung

Den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion kannst du ganz einfach aus der Funktionsgleichung ablesen. In der Gleichung der Form $f(x) = y = m\cdot x+b$ ist $b$ nämlich genau die Stelle auf der $y$-Achse, durch die der Funktionsgraph verläuft. Die $x$-Koordinate ist hier immer $0$.

Du kannst zum Beispiel in der Funktionsgleichung $f(x) = x-2$ ablesen, dass der $y$-Achsenabschnitt $b=-2$ ist. Daraus folgt, dass die Funktionsgerade die $y$-Achse im Punkt $(0|-2)$ schneidet.

Ablesen des y-Achsenabschnitts im Koordinatensystem

Die Funktion $f(x) = x-2$ ist in der folgenden Grafik als grüne Gerade eingezeichnet. Du kannst den Schnittpunkt der grünen Geraden mit der $y$-Achse bei $-2$ im Koordinatensystem ablesen. Achte darauf, dass das nur bei ganz genau gezeichneten Graphen geht und auch nur, wenn der Punkt aus ganzen Zahlen besteht.

Drei lineare Funktionen im Koordinatensystem

Berechnung des y-Achsenabschnitts bei linearen Funktionen aus zwei Punkten

Den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion aus zwei Punkten zu bestimmen ist nicht kompliziert. Falls dir nur zwei Punkte einer linearen Funktion bekannt sind, kannst du daraus eine Funktionsgleichung entwickeln und dann den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Es seien die Punkte $P(2|0)$ und $Q(4|-3)$ bekannt. Du erinnerst dich sicher an die Formel, mit der du die Steigung einer Geraden berechnen kannst:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

In diese Formel setzt du nun die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ ein und erhältst folgende Gleichung:

$m=\frac{-3-0}{4-2}=\frac{-3}{2}$

Der Anstieg der linearen Funktion ist also $\frac{-3}{2}$. Im nächsten Schritt setzt du den Anstieg $m$ und den Punkt $P(2|0)$ in die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen ein und erhältst:

$f(x)=y=m\cdot x+b$

$0=-\frac{3}{2}\cdot 2+b$

Diese Gleichung formst du nach $b$ um:

$0=-3+b$

$3=b$.

Nun hast du errechnet, dass $b=3$ ist. Da für den $y-$Achsenabschnitt immer $x=0$ gilt, heißt der Punkt, in dem die Gerade die $y$-Achse schneidet, $S(0|3)$.

Den dazugehörigen Graphen findest du in der folgenden Abbildung: Es handelt sich um die blaue Gerade mit der Gleichung $f(x)=-\frac{3}{2}x+3$.

Drei lineare Funktionen im Koordinatensystem

Lineare Funktion aus Punkt und y-Achsenabschnitt bestimmen

Falls du den $y$-Achsenabschnitt einer Abbildung kennst, kannst du auch die Gleichung für die lineare Funktion aus Punkt und $y$-Achsenabschnitt bestimmen.