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Malnehmen und teilen

Einführung in die Multiplikation, erstes Dividieren, Umkehraufgaben Division und Multiplikation, Tauschaufgaben Multiplikation, Malaufgaben zerlegen, Dividieren mit Rest

Einleitung

Das kleine Einmaleins solltest du können und auch regelmäßig üben. Es stellt nämlich eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik dar. Sicher sind dir schon viele Situationen aufgefallen, in denen du das kleine Einmaleins anwenden konntest. Für die folgenden Rechnungen musst du wissen, dass „malnehmen“ der umgangssprachliche Begriff für multiplizieren und „teilen“ der umgangssprachliche Begriff für dividieren ist.

Malnehmen mit $10$er Zahlen

Wenn du das kleine Einmaleins beherrschst, können wir zu schwierigeren Aufgaben übergehen. Wir beschäftigen uns nun mit der Multiplikation mit $10$er Zahlen. Betrachten wir dazu einmal folgendes Beispiel: Du hast $5$ Packungen Bonbons mit jeweils $30$ Bonbons pro Packung. Die Gesamtzahl der Bonbons erhältst du dann wie folgt:

$5\cdot 30$

Um diese Aufgabe lösen zu können, wenden wir einen Trick an. Wir decken die $0$ von der $30$ zu und erhalten:

$5\cdot 3=15$

Diese Aufgabe des kleinen Einmaleins kannst du bereits. Zum Schluss brauchen wir die weggenommene $0$ nur wieder an das Ergebnis anfügen. Wir erhalten dann:

$5\cdot 30=150$

Du hast also insgesamt $150$ Bonbons. Eine solche Aufgabe lösen wir also, indem wir die Aufgabe in eine uns bekannte Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins überführen. Dazu denken wir uns die Null der $10$er Zahl weg, lösen die „neue“ Aufgabe und hängen die Null wieder an das Ergebnis an.

Malnehmen mit $100$er Zahlen

Nun schauen wir uns die Multiplikation mit $100$er Zahlen an. Auch bei dieser Art von Multiplikation wenden wir den Trick von vorhin an. Nun haben wir aber $2$ Nullen, die wir uns zuerst wegdenken und dann an das Ergebnis anfügen müssen. Dazu folgendes Beispiel:

$4\cdot 500$

Wir denken uns die beiden Nullen weg und erhalten:

$4\cdot 5=20$

Diese Aufgabe kannst du bereits berechnen. Nun hängen wir die beiden Nullen wieder an $20$ an. Es folgt dann:

$4\cdot 500=2000$

Malnehmen – Malaufgaben zerlegen

Als nächstes beschäftigen wir uns mit dem Distributivgesetz. Ein schwieriges Wort, aber das Prinzip dahinter ist ganz einfach. Nicht immer ist es ratsam große Zahlen miteinander zu multiplizieren. Das Distributivgesetz besagt, dass man Malaufgaben zerlegen kann und das Ergebnis nicht verändert wird. Betrachten wir die folgende einfache Aufgabe:

$5\cdot 6=30$

Wir nutzen nun diese Aufgabe, um das Distributivgesetz zu demonstrieren. Wir überlegen uns, in welche Summanden man die $5$ zerlegen kann.

$5=2+3$

Nun multipliziert man beide Summanden mit $6$:

$2\cdot 6+3\cdot 6$

Wir beachten Punkt- vor Strichrechnung und lösen zuerst die Multiplikationen auf. Es folgt:

$12+18$

Alles zusammen liefert uns:

$5\cdot 6=2\cdot 6+3\cdot 6=12+18=30$

Wichtig ist dabei, dass man immer die Punktrechnung vor der Strichrechnung durchführt und das Distributivgesetz nur auf Multiplikationsaufgaben anwendet. Das Distributivgesetz kann man auch andersherum anwenden. Dabei fasst man den zerlegten Faktor wie folgt zusammen:

$2\cdot 6+3\cdot 6=5\cdot 6=30$

Malnehmen – Umkehraufgaben

Umkehraufgaben beschreiben zwei Rechenarten, die sich gegenseitig auflösen bzw. überprüfen lassen. Durch Umkehraufgaben lassen sich Ergebnisse zurückrechnen und auf ihre Richtigkeit überprüfen. Die Umkehrung der Addition ($+$) ist die Subtraktion ($-$). Die Umkehrung der Multiplikation ($\cdot$) ist die Division ($:$). Besonders bei größeren, langen und komplexen Aufgaben helfen uns Umkehraufgaben bei der Überprüfung. Anders ausgedrückt könnte man auch sagen, dass das Teilen der Rückweg für das Malnehmen ist. Zur Verdeutlichung schauen wir uns die folgende Aufgabe an:

$2\cdot 3=6$

Die Frage, die uns zur Umkehrung führt, lautet: Mit welcher Zahl muss man $2$ malnehmen, um $6$ zu erhalten? Um diese Frage zu beantworten, berechnen wir:

$6: 2=3$

Du erkennst also, dass das Malnehmen und das Teilen sich gegenseitig umkehren. Es gilt ebenso:

$6: 3=2$

Teilen

Die folgende Situation hast du sicherlich auch schon einmal erlebt. Du hast $8$ Bonbons und möchtest diese gerecht zwischen dir und deinem Freund aufteilen. Dazu teilst du die Anzahl der Bonbons durch $2$, also genau in der Mitte.

$8: 2=4$

Jeder von euch bekommt also $4$ Bonbons.

Auch das nächste Beispiel soll verdeutlichen, wie man teilt. Du hast eine Kette mit $15$ Perlen und möchtest aus dieser großen Perlenkette, drei gleich lange kleinere Ketten machen. Aus wie vielen Perlen bestehen dann die drei neuen Ketten? Man teilt die $15$ Perlen gleichmäßig auf die $3$ Ketten auf:

$15: 3=5$

Die drei kleineren Ketten setzen sich jeweils aus $5$ Perlen zusammen.

Teilen mit $10$er Zahlen

Wir wenden auch hier wieder unseren Trick an, den wir in den beiden Abschnitten „Malnehmen mit $10$er und $100$er Zahlen“ kennengelernt haben. Auch beim Teilen durch $10$er Zahlen denken wir uns zuerst die Null weg, lösen die Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins und hängen die Null wieder an das Ergebnis an. Wir betrachten hierzu das folgende Beispiel:

11427_Murmeln.jpg

$20: 2$

Diese Aufgabe wandeln wir um zu:

$2: 2=1$

Wir hängen die Null wieder an. Es folgt:

$20: 2=10$

Haben beide Zahlen eine Null, also sowohl der Dividend als auch der Divisor, so denkt man sich bei beiden Zahlen die Nullen weg und löst die Aufgabe. Am Ende braucht man keine weitere Null anhängen. Die Nullen heben sich quasi gegenseitig auf. Auch dieses Vorgehen üben wir an einem Beispiel:

$120: 60=2$

Nullen weglassen:

$12: 6=2$

Teilen mit Rest

Nicht alle Aufgaben lassen sich immer so einfach lösen. Manchmal ist es nicht möglich, eine Zahl durch eine andere Zahl so zu teilen, dass eine glatte Zahl resultiert. Wir sprechen dann von Teilen mit Rest. Stell dir einmal vor, du hast $14$ Bonbons und möchtest diese auf dich und deine beiden Geschwister aufteilen. Da die $14$ nicht zur $3$er Reihe gehört, ist sie nicht ohne Rest durch $3$ teilbar. Nun überlegst du dir, welche Zahl aus der $3$er Reihe die nächstkleinere Zahl ist. Hierzu notieren wir alle Zahlen der $3$er Reihe, bis wir die erste Zahl erreicht haben, die größer ist als $14$:

$3; 6; 9; 12; 15$

Die $12$ ist die gesuchte nächstkleinere Zahl der $3$er Reihe. Es ist:

$12: 3=4$

Nun musst du noch schauen, wie viel übrig bleibt, also wie groß der Rest ist. Dazu subtrahierst du $12$ von $14$. Es folgt:

$14-12=2$

Der Rest ist $2$. Wir erhalten als Lösung:

$14: 3=4$ Rest $2$