Teilen – Umkehraufgaben
Lerne, wie Umkehraufgaben in Mathe funktionieren, indem du zum Beispiel herausfindest, wie viele Kekse jedes Kind erhält, wenn $24$ Kekse auf acht Kinder aufgeteilt werden müssen. Interessiert? Das und mehr wirst du im folgenden Text erfahren.
- Umkehraufgaben der Division
- Was sind Umkehraufgaben?
- Welche Umkehraufgaben der Division gibt es?
- Wie kann man Umkehraufgaben der Division berechnen?
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Grundlagen zum Thema Teilen – Umkehraufgaben
Umkehraufgaben der Division
Du möchtest $24$ Kekse gerecht auf acht Kinder aufteilen. Wenn du herausfinden möchtest, wie viele Kekse jedes Kind bekommt, kannst du Umkehraufgaben verwenden.
Was Umkehraufgaben sind und wie du mir ihrer Hilfe Fragen wie die zum Verteilen der Kekse beantworten kannst, schauen wir uns im Folgenden genauer an.
Was sind Umkehraufgaben?
In der Mathematik begegnen dir häufig Platzhalteraufgaben. Dabei wird beispielsweise bei einer Division nicht der Quotient, sondern der Divisor oder der Dividend gesucht:
$\square : 4 = 3$
Um solche Aufgaben zu lösen, verwenden wir Umkehraufgaben. Dabei gilt:
- Aus einer Plusaufgabe kann eine Minusaufgabe werden.
- Aus einer Minusaufgabe kann eine Plusaufgabe werden.
- Aus einer Malaufgabe kann eine Geteiltaufgabe werden.
- Aus einer Geteiltaufgabe kann eine Malaufgabe werden.
Umkehraufgaben können wir durch Umkehrpfeile darstellen. Für Umkehraufgaben zur Division und Multiplikation schreiben wir:
$\overrightarrow{\cdot} \quad$ und $\quad \overleftarrow{:}$
Welche Umkehraufgaben der Division gibt es?
- Steht bei einer Platzhalteraufgabe der Division das Kästchen vorne, also beim Dividenden, so ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
- Steht bei einer Platzhalteraufgabe der Division das Kästchen in der Mitte, also beim Divisor, so ist die Umkehraufgabe eine Divisionsaufgabe.
Diese Regeln wollen wir im Folgenden an Beispielen anwenden.
Wie kann man Umkehraufgaben der Division berechnen?
Wir betrachten einige Übungen zu Umkehraufgaben beim Dividieren:
Beispiel 1:
$\square : 4 = 3$
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir von hinten nach vorne rechnen. Wir verwenden die Umkehraufgabe und multiplizieren den Quotienten, also das Ergebnis der Geteiltaufgabe, mit $4$:
$4 \cdot 3 = 12$
Wir müssen in das Kästchen eine $12$ eintragen. Ob die Rechnung stimmt, können wir überprüfen, indem wir die Probe machen:
$12:4=3$
Die Rechnung stimmt.
Beispiel 2:
$\square : 2 = 5$
Wieder müssen wir die Umkehraufgabe verwenden, also das Ergebnis $5$ mit $2$ multiplizieren:
$5 \cdot 2 = 10$
Wir tragen in das Kästchen eine $10$ ein und machen die Probe:
$10:2=5$
Die Rechnung stimmt.
Beispiel 3:
$12: \square = 3$
Diesmal steht das Kästchen mitten in der Rechnung und nicht am Anfang. Die größte Zahl der Aufgabe, die $12$, steht schon da. Daher ist die Umkehraufgabe diesmal keine Malaufgabe. In diesem Fall ist die Umkehraufgabe der Division auch eine Divisionsaufgabe. Wir rechnen:
$12:3=4$
Wir tragen in das Kästchen eine $4$ ein und machen die Probe:
$12:4=3$
Die Rechnung stimmt.
Beispiel 4:
Wie viele Kekse bekommt jedes Kind, wenn $24$ Kekse gerecht auf acht Kinder aufgeteilt werden? Wir schreiben dies als Platzhalteraufgabe:
$24: \square = 8$
Wieder verwenden wir die Umkehraufgabe. Da das Kästchen nicht am Anfang, sondern an zweiter Stelle steht, lautet die Rechnung zur Umkehraufgabe beim Teilen:
$24:8=3$
Wir tragen in das Kästchen eine $3$ ein und machen die Probe:
$24:3=8$
Die Rechnung stimmt. Das heißt, jedes Kind bekommt drei Kekse.
In diesem Video zu den Umkehraufgaben der Division …
… werden dir Umkehraufgaben beim Dividieren einfach erklärt. Dazu betrachten wir verschiedene Platzhalteraufgaben beim Dividieren und lösen diese mithilfe der jeweiligen Umkehraufgabe.
Wenn du noch weitere Aufgaben zu den Umkehraufgaben beim Dividieren suchst, so wirst du auf dieser Seite fündig.
Transkript Teilen – Umkehraufgaben
Hallo! Niko und Lilli haben dir heute lustige Pfeile mitgebracht. Was sie wohl mit ihnen vorhaben?
Die Pfeile sind sehr nützlich, wenn wir Platzhalteraufgaben rechnen.
Das sind die Aufgaben, bei denen mittendrin Zahlen fehlen.
Die sollen wir finden. Wir bauen also die Platzhalteraufgabe so um, dass wir sie rechnen können. Das ist dann die Umkehraufgabe.
Aus wie viel mal 4 = 8 wird
8 geteilt durch 4. Und das ist 2.
Wir machen die Probe und stellen fest: 2 x 4 = 8. Stimmt also.
Aus einer Plusaufgabe kann zum Beispiel eine Minusaufgabe werden. Und aus einer Malaufgabe kann eine Geteilt-Aufgabe werden, wenn du auf der Suche nach der richtigen Lösung bist.
Hast du Lust, mit den Pfeilen zu rechnen? Dann los.
Heute schauen wir uns einmal Geteilt-Aufgaben an. Dazu brauchen wir natürlich unsere beiden Pfeile. Einer hat ein Malzeichen und einer ein Geteiltzeichen.
Wenn bei einer Geteiltaufgabe die erste Zahl fehlt, ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
Wir machen ein Beispiel: Wie viel : 3 = 4? Vorne steht ein Kästchen. Diese Zahl suchen wir. Jetzt müssen wir von hinten nach vorne rechnen. Siehst du? Die Pfeile tauschen schon die Plätze. Zurückgerechnet wird aus „geteilt“ „mal“, und es muss heißen 4 x 3. Und 4 x 3 = 12. Die Probe ergibt 12 : 3 = 4. Und das ist richtig.
Machen wir noch ein Beispiel: Wie viel geteilt durch 2 = 5? Wir rechnen zurück: 5 x 2 = 10. Und die Probe 10 : 2 = 5 ergibt, dass das stimmt. Prima. So weit, so gut.
Jetzt gibt es aber nicht nur den Fall, dass das Platzhalter-Kästchen vorne steht, sondern es kann auch vorkommen, dass es mittendrin in der Aufgabe steht. Dann müssen wir aufpassen. Da ist es dann anders. Hier können wir bei der Umkehraufgabe nicht malnehmen. Sehen wir uns ein Beispiel an. Dann wir es schnell klar. 12 : wie viel = 3? Hier haben wir die größte Zahl der Aufgabe schon da stehen. Bei einer Divisionsaufgabe muss die größte Zahl vorne stehen, sonst könnten wir das gar nicht lösen. Alle anderen Zahlen müssen kleiner oder gleich sein. Das ist wie bei den Minusaufgaben: Wir können von diesem Teller nicht mehr Kekse wegnehmen, als da sind! Also wissen wir bei unserer Platzhalteraufgabe schon mal: Die größte Zahl ist schon da. Jetzt können wir also nicht malnehmen, denn dann käme hinten eine noch größere Zahl heraus. Also ist hier die Umkehraufgabe auch eine Divisionsaufgabe. Wir müssen wieder teilen. Das bedeutet: Aus 12 geteilt durch wie viel = 3? wird beim Zurückrechnen 12 : 3 = 4 Zur Probe rechnen wir 12 : 4 = 3. Was wir gerechnet haben, stimmt also. In das Kästchen gehört die 4.
Machen wir noch ein Beispiel zur Sicherheit: 14 geteilt durch wie viel = 2? Wir rechnen 14 : 2 Und 14 : 2 = 7 Und zur Probe: 14 : 7 = 2. In das Kästchen gehört also die 7.
Heute hast du die verschiedenen Arten kennengelernt, mit denen man die Platzhalteraufgaben beim Teilen löst. Dabei haben dir die Pfeile geholfen, die Niko und Lilli mitgebracht haben. Hier gibt es zwei verschiedene Umkehraufgaben. Eine ist eine Malaufgabe, die andere ist eine Geteiltaufgabe. Das hängt davon ab, welche Zahl gesucht wird. Ist es die erste, dann rechnen wir „mal“, ist es die zweite, so rechnen wir „geteilt“ auf dem Rückweg. Ich hoffe, es hat dir Spaß gemacht und du bist bald wieder dabei. Tschüss!
Teilen – Umkehraufgaben Übung
-
Wie lautet die Lösung der Aufgabe $\square$ : 4 = 3 ? Rechne.
TippsUm die Lücke berechnen zu können, musst du die Umkehraufgabe von dieser Aufgabe rechnen.
Ein Beispiel dazu wäre:
$\square$ : 2 = 8.
Die Umkehraufgabe davon ist dann folgende:
2 $\cdot$ 8 = 16.
Die fehlende Zahl ist die 16.
LösungUm die gesuchte Zahl zu finden, rechnest du hier die Umkehraufgabe. Da die gesuchte Zahl an der ersten Stelle steht, ist die Umkehraufgabe zu der Geteiltaufgabe eine Malaufgabe.
Aus der Geteiltaufgabe: $\square$ : 3 = 4 wird also die Malaufgabe: 4 $\cdot$ 3 = $\square$.
4 $\cdot$ 3 = 12.
Du kannst das Ergebnis noch mit der Probe überprüfen. Dafür setzt du das Ergebnis 12 in die erste Aufgabe ein:
12 : 3 = 4. Also ist das Ergebnis richtig.
-
Wie lautet die richtige Reihenfolge der Rechenschritte? Überlege.
TippsDie Umkehraufgabe bei dieser Aufgabe ist eine Geteiltaufgabe, da die gegebene Rechnung eine Malaufgabe ist.
Ein Beispiel dazu wäre:
$\square$ $\cdot$ 2 = 4.
Umkehraufgabe: 4 : 2 = 2
Proberechnung: 2 $\cdot$ 2 =4
LösungUm eine Platzhalteraufgabe rechnen zu können, musst du die Umkehraufgaben bilden.
Da $\square$ $\cdot$ 4 = 8 eine Malaufgabe ist, ist die Umkehraufgabe eine Geteiltaufgabe.
Also wird die Malaufgabe: $\square$ $\cdot$ 4 = 8 zu der Geteiltaufgabe 8 : 4 = $\square$.
Das Ergebnis ist 2.
Nun kannst du noch die Probe machen und das Ergebnis für den Platzhalter einsetzen. Also rechnest du:
2 $\cdot$ 4 = 8. Also ist das Ergebnis richtig, super.
-
Welche Rechnung gehört zu welcher Umkehraufgabe? Ordne zu.
TippsBei den Umkehraufgaben musst du darauf achten, wo der Platzhalter steht.
- Wenn er an der ersten Stelle steht, dann ist die Umkehraufgabe der Rückweg. Aus einer Malaufgabe wird also eine Geteiltaufgabe und umgekehrt.
- Wenn er an der zweiten Stelle steht, dann musst du bei einer gegebenen Geteiltaufgabe auch bei der Umkehraufgaben teilen.
Ein Beispiel:
- Platzhalter an der ersten Stelle: $\square$ : 5 = 3 $~\rightarrow~$ 3 $\cdot$ 5 = 15
- Platzhalter an der zweiten Stelle: 18 : $\square$ = 2 $~\rightarrow~$ 18 : 2 = 9
LösungWenn bei einer Geteiltaufgabe der Platzhalter an der zweiten Stelle steht, dann ist die Umkehraufgabe auch eine Geteiltaufgabe. Steht der Platzhalter an der ersten Stelle der Aufgabe, dann ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
Aus der Geteiltaufgabe: $\square$ : 2 = 5 wird eine Malaufgabe, da der Platzhalter an der ersten Stelle steht.
Die Umkehraufgabe lautet: 5 $\cdot$ 2 = $\square$. Das Ergebnis ist 10.
$~$
Aus der Geteiltaufgabe: 12 : $\square$ = 3 wird also eine Geteiltaufgabe, da der Platzhalter an der zweiten Stelle steht.
Die Umkehraufgabe lautet: 12 : 3 = $\square$. Das Ergebnis ist 4.
-
Welche Zahl fehlt, damit die Rechnung richtig ist? Notiere.
TippsPlatzhalteraufgaben bei Geteiltaufgaben:
- Der Platzhalter ist an der ersten Stelle, dann ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
- Der Platzhalter ist an der zweiten Stelle, dann musst du bei der Umkehraufgabe auch geteilt rechnen.
Hier sind zwei Beispiele für Umkehraufgaben:
- 4 : $\square$ = 2. Du musst in der Umkehraufgabe teilen, da der Platzhalter an der zweiten Stelle steht, also 4 : 2 = ?
- $\square$ : 2 = 2. Du musst in der Umkehraufgabe mal nehmen, da der Platzhalter an der ersten Stelle steht, also 2 $\cdot$ 2 = ?
LösungZunächst musst du die Umkehraufgabe zu den gegebenen Aufgaben finden:
- Steht der Platzhalter an der ersten Stelle, dann ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
- Ist die erste Zahl allerdings gegeben und die zweite Zahl wird gesucht, dann ist die Umkehraufgabe eine Geteiltaufgabe.
18 : $\square$ = 6 $~~$ Die Lücke steht an der zweiten Stelle, also ist die Umkehraufgabe eine Geteiltaufgabe. Diese lautet:
18 : 6 = $\square$. Die Lösung dieser Aufgabe ist 3. Also ist 3 die gesuchte Zahl.
Mit der Probe kannst du das Ergebnis überprüfen, dazu setzt du die 3 in die Lücke der ersten Aufgabe ein:
18 : 3 = 6
Die Lücke kann aber auch an der ersten Stelle stehen. Schauen wir uns dazu auch ein Beispiel an: $~$ $\square$ : 3 = 4
Hier ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe. Diese lautet: $~$ 4 $\cdot$ 3 = $\square$
Das Ergebnis ist hier 12. Setzt du die 12 in die Aufgabe ein, erhältst du:
12 : 3 = 4.
-
Für welche Zahl steht der Platzhalter in der Geteiltaufgabe? Gib die Lösung an.
TippsUm diese Aufgabe rechnen zu können, musst du eine Umkehraufgabe bilden. Der Platzhalter steht an der ersten Stelle der Aufgabe. Also ist die Umkehraufgabe zur Geteiltaufgabe eine Malaufgabe.
Die Umkehraufgabe kann hier mit der Multiplikation gebildet werden: Ein Beispiel dazu wäre:
$\square$ : 2 = 2.
Umkehraufgabe: 2 $\cdot$ 2 = 4
Die Zahl 4 fehlt in dieser Beispielrechnung.
LösungHier musst du wieder die Umkehraufgabe bilden, um das Ergebnis herauszufinden. Da der Platzhalter an der ersten Stelle der Geteiltaufgabe steht, ist die Umkehraufgabe eine Malaufgabe.
Aus das Aufgabe: $\square$ : 2 = 5 wird also die Malaufgabe 2 $\cdot$ 5 = $\square$.
Das Ergebnis ist 10.
Du kannst das Ergebnis noch überprüfen, indem du die 10 für den Platzhalter einsetzt. Das ergibt also: 10 : 2 = 5.
Da diese Rechnung richtig ist, ist das Ergebnis für den Platzhalter richtig. -
Wie viele Gummibärchen hat Nico jeden Tag? Rechne.
TippsDie Umkehraufgabe, die zu dieser Rechnung passt, ist eine Division. Deswegen ist der Platzhalter in allen diesen Aufgaben an der zweiten Stelle.
Beispiel:
4 : $\square$ = 1
Umkehraufgabe: 4:1= 4
LösungWieder benötigst du zur Lösung die Umkehraufgaben. Die Umkehraufgabe ist hier eine Geteiltaufgabe, da immer die zweite Zahl in den Geteiltaufgaben gesucht ist.
Lass uns hierzu ein Beispiel aus der Aufgabenstellung ansehen:
Nico hat 20 Gummibärchen, die ihm für 4 Tage reichen. Die Rechnung zu dieser Aufgabe lautet also:
20 : $\square$ = 4.
Die Umkehraufgabe lautet:
20 : 4 = $\square$. Das Ergebnis ist 5.
Damit hat Nico für jeden Tag 5 Gummibärchen.
Die Grundrechenarten
Malnehmen – wie geht das?
Malnehmen bis 50 (Plättchen)
Teilen – wie geht das?
Teilen – wie löse ich Divisionsaufgaben?
Rechengeschichten
Gerade und ungerade Zahlen
Malnehmen – Was muss ich beachten?
Malnehmen – Malaufgaben zerlegen
Malnehmen – Zahlen vertauschen
Malnehmen – Umkehraufgaben
Teilen – erste Schritte
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Teilen – Umkehraufgaben
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Das ist ein sehr gutes Video
Zu einfach 😒🤭
Bisschen mehr Musik!!!
L.O.L!!!Einfach COOL!!!