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Wendepunkte und Sattelpunkte 06:49 min

Textversion des Videos

Transkript Wendepunkte und Sattelpunkte

Hallo. Im folgenden Video möchten wir uns mit Wendepunkten und Sattelpunkten beschäftigen. Um uns klarzumachen, was Wendepunkte überhaupt sind, zeichnen wir uns zuerst einen Graphen. Um Wendepunkte möglichst anschaulich darzustellen, habe ich mein Spielzeugauto mitgebracht. Und was wir jetzt machen ist: Wir stellen uns den Graphen als eine Straße vor, die wir mit dem Auto in x-Richtung abfahren. Wenn wir mit dem Auto die Straße abfahren, in x-Richtung, müssen wir zuerst eine Rechtskurve fahren, dann eine Linkskurve und dann wieder eine Rechtskurve. Wir schauen uns die Fahrt über den Graphen noch einmal an und versetzen uns in die Lage des Fahrers. Der Fahrer muss, wenn er aus der Rechtskurve kommt und vor sich die Linkskurve sieht, das Lenkrad von rechts nach links drehen, genau an diesem Punkt hier. Die Fahrt geht weiter. Diesmal kommt er aus einer Linkskurve und sieht eine Rechtskurve vor sich und muss das Lenkrad erneut umdrehen. Das geschieht genau an diesem Punkt. Diese Punkte sind die Wendepunkte. Wir bezeichnen sie mit W1 und W2. An einem Wendepunkt ändert die Funktion also ihr Krümmungsverhalten. Entweder von einer Rechtskurve in eine Linkskurve, oder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Deshalb muss der Fahrer des kleinen blauen Autos am Wendepunkt das Lenkrad drehen. Kommen wir nun zu Sattelpunkten. Zeichnen wir uns dazu einen Beispielgraphen und zeichnen den Sattelpunkt ein, der liegt an dieser Stelle. Sattelpunkte sind nur spezielle Wendepunkte, denn auch hier ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten. Im Beispielgraphen von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt liegt in der Steigung der Wendetangente. Eine Tangente ist eine Gerade, so wie dieser schwarze Strich hier. So eine Tangente berührt den Graphen nur an einem Punkt. Z. B. hier, hier, hier, hier oder auch hier. Die Tangente, die den Graphen genau im Wendepunkt berührt, heißt Wendetangente. Das Besondere an einem Sattelpunkt ist nun, dass er eine horizontale Wendetangente hat. Die Wendetangente von W2 ist ansteigend und die von W1 ist fallend. Die Wendetangente von S ist horizontal, also genau parallel zur x-Achse. Kommen wir nun zur Berechnung. Als ersten Schritt müssen wir die 2. Ableitung mit 0 gleichsetzen, daher das Ausrufezeichen über dem  =. Das bedeutet gleichsetzen. Durch das Auflösen dieser Gleichung nach x erhalten wir einen speziellen x-Wert, nämlich xw. xw wollen wir im Folgenden genauer untersuchen. Im zweiten Schritt setzen wir xw in die 3. Ableitung ein. Und wenn dafür ein Wert rauskommt, der ? 0 ist, dann haben wir einen Wendepunkt an der Stelle xw. Ein seltener Fall ist, dass für fIII(x)w 0 herauskommt. Dann müssen wir weitere Ableitungen bilden, also fIV(x), fV(x), fVI(x) usw. und in jede dieser Ableitungen xw einsetzen. Wenn dann erstmals eine ungleiche Ableitung, also die 5. Ableitung oder die 7. Ableitung oder die 9. Ableitung nicht 0 ergibt, dann liegt ein Wendepunkt vor. Ansonsten haben wir keinen Wendepunkt. Die Bedingung für einen Wendepunkt ist also, dass erstmals eine ungerade Ableitung, in die ich xw einsetze nicht 0 ergibt. Im Optimalfall ergibt fIII(x)?0. Für einen Sattelpunkt muss nun zusätzlich zum ersten und zum zweiten Schritt noch eine weitere Bedingung erfüllt sein. Und zwar muss fI'(xw)=0 sein. Das heißt: Wenn man also einen Wendepunkt gefunden hat und nun wissen will, ob dieser auch ein Sattelpunkt ist, dann muss man xw noch mal in die 1. Ableitung einsetzen und den Funktionswert der ersten Ableitung an der Stelle xw berechnen. Wenn dieser 0 ist, dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. Versuchen wir nun, das Ganze durch ein Zahlenbeispiel zu veranschaulichen. Dafür betrachten wir die Funktion f(x)=x3-3cx+16 für c > 0. Wie wir von den vorherigen Folien wissen, brauchen wir die 1.,2.und 3. Ableitung. Deshalb ist es sinnvoll, die am Anfang erst mal zu berechnen. Bilden wir also f'(x). f'(x)=3x2-3c. fII'(x)=6x und fIII'(x)=6. Im ersten Schritt setzen wir die 2. Ableitung mit 0 gleich, um unser xw zu ermitteln. 0=6x. Daraus folgt xw=0, weil 0×6=0 ergibt. Im zweiten Schritt setzen wir xw in die 3. Ableitung ein. Wir sehen oben, die 3. Ableitung ist für alle x-Werte 6, also auch für xw=0. fIII'(xw)=6 und das ist ?0. Unsere Bedingung für einen Wendepunkt ist also erfüllt, da erstmals eine ungerade Ableitung, nämlich fIII'(x) an der Stelle xw ?0 ist. Wir haben also einen Wendepunkt an der Stelle xw=0. Als 3. Schritt prüfen wir nun noch, ob unser Wendepunkt auch ein Sattelpunkt ist. Dazu setzen wir xw in die erste Ableitung ein. f'(xw)=f'(0) und das ist 3×0-3c. f'(xw)=-3c. Da c > 0, ist -3c ? 0. Wir haben also keinen Sattelpunkt. Demnach haben wir nur einen Wendepunkt mit den Koordinaten (0|16). 16 ergibt sich, indem wir 0 in die Ausgangsgleichung einsetzen. f(0)=03-3c×0+16, also 16. Wir können uns das noch mal grafisch veranschaulichen. Wir wissen ja, dass die x-Koordinate des Wendepunktes=0 ist und der liegt über der x-Achse, weil die y-Koordinate 16 ist, also da. Das war es zu Sattelpunkt und Wendepunkt, vielen Dank und viel Erfolg.

15 Kommentare
  1. Default

    Ist die Bezeichnung x klein w bei der 2 aufgabe nicht irreführen, da wir erst nur die 2 ableitung 0 gesetzt haben, d.h. doch aber nicht das es wirklich jetzt schon ein Wendepunkt ist oder ?

    Von Amend Juergen, vor 10 Monaten
  2. Thomas ohne rahmen

    @Alina 22: Ein Sattelpunkt liegt genau dann vor, wenn die Wendetangente im Wendepunkt horizontal ist, also eine Steigung von 0 hat. Wenn das für einen von deinen gefundenen Wendepunkten gilt, so ist der Wendepunkt auch ein Sattelpunkt.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Ich habe eine Frage, und zwar was ist wenn es mehrere wendespunkte gibt beim einen ist es (0/0) und 2. (-2/-4) hab ich trotzdem einen sattelpunkt

    Von Alina 22, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    danke, kurz, klar, auf den Punkt

    Von Haifischfrauen10, vor mehr als 3 Jahren
  5. Felix red

    Lieber Benni,

    vielen Dank für deine Frage. Um zu überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt oder nicht, ist die gängige Methode tatsächlich, weitere Ableitungen zu berechnen. Manchmal hilft es aber auch schon, eine Skizze oder Monotonietabelle anzufertigen, in welcher du ggf. Extrempunkte einzeichnest sowie die Steigung vor, zwischen und nach diesen Extrempunkten. Ich hoffe, das hilft dir weiter. Alles Gute, Felix

    Von Felix T., vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Ich habe eine Frage.
    Wenn f'''(xw)=0 ist muss ich ja eigentlich mit der 4. oder höheren Ableitung fortfahren.
    Wie aber kann ich es ohne weitere Ableitung rechnen, da wir das in der Schule nie so gemacht haben und es deswegen auch so nicht in der Arbeit erlaubt sein wird!
    Ich weiß noch, dass wir das im Unterricht mit dem Untersuchen der Monotonieintervalle gemacht haben, allerdings weiß ich nicht mehr genau, wie ich das bewerkstelligen soll!
    Würde mich über eine Antwort freuen!

    Ansonsten schönes Video und vor allem gut verständlich (nur etw. schnell)

    Von Benni.Rie, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ei, hatte schließlich doch Kontakt im Chat. Wurde leider aufgrund einer Dringlichkeit unterbrochen. Dennoch ist mir meine Frage jetzt für die Formulierung karer geworden.
    Die angeführte Bedinung, dass es eine höhere ungerade Ableitung un-gleich null gibt reicht aus, auch glaube man sagt, "ist hinreichen" für die Existenz eines Sattelpunkts! ... Aber ist sie auch notwendig??
    Kann es nicht so sein, dass es keine solche Ableitung un-gleich Null gibt (alle sind gleich Null) und dennoch ein Sattelpunkt existiert?
    Sollte das der Fall sein, dann wäre es schön zu wissen/erfahren, was das für eine Funktion sein könnte.

    Von Eemilelv, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Guten Tag, die folgende Frage habe ich gerade im Hausaufgaben-Chat gestellt, aber dort gibt es keine Reaktion.

    In dem Video „Wendepunkt und Sattelpunkt“ habe ich gelernt, dass ein Sattelpunkt vorliegt, wenn die ersten beiden Ableitungen gleich 0 sind und die dritte Ableitung un-gleich 0 ist. Sollte aber auch diese gleich 0 sein, so muss man weiter ableiten bis man eine ungerade Ableitung findet, die schließlich un-gleich 0 ist, so dass man auf das Vorhandenseins eines Sattelpunkts schließen kann.
    Aber kann es nicht auch vorkommen, dass ein Sattelpunkt existiert und alle Ableitungen gleich 0 sind?
    Kurz: Wenn ein ungerade Ableitung f‘‘‘(x), f‘‘‘‘‘(x) existiert, die un-gleich 0 ist, dann existiert ein Sattelpunkt.
    Doch gilt die U m k e h r u n g auch, dass wenn ein Sattelpunkt existiert eine jener ungeraden Ableitungen 0 sein muss?

    Von Eemilelv, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    hilfreiches Video :)

    Von Luisahanschke, vor mehr als 4 Jahren
  5. Default

    Danke, ja habe den Fehler selbst noch gefunden, hatte einen Leichtsinns Rechenfehler bei der ersten Ableitung, danke trotzdem:)

    Von Lucas 3, vor mehr als 5 Jahren
  6. Schnappschuss von mir 4

    @Lucas 3: Ich denke mal der Fehler könnte in der ersten Ableitung liegen. Wenn man xw=1 in die 1. Ableitung von f(x) = x³-3x²+3x-3 einsetzt ist das Ergebnis 0 und nicht -2. Überprüfe nochmal ob du die 1. Ableitung richtig gebildet hast. Die 1. Ableitung ist f'(x) = 3x²-6x+3.

    Von Rainer Heinich, vor mehr als 5 Jahren
  7. Default

    Gutes Video, habe aber auch trotzdem mit der Testfrage Probleme..

    Ich habe xw=1 es in die 3.Abl. ->6 ungleich 0 -> Wendepunkt
    Dann in die 1.Abl. -> -2 ungleich 0 -> Kein Sattelpunkt..

    Aber die Lösung ist Sattelpunkt bei x=1? Bitte um Hilfe, finde meinen fehler nicht!

    Von Lucas 3, vor mehr als 5 Jahren
  8. Default

    Du hast einen Rechenfehler:
    die 2. Ableitung ist zwar richtig: 6x-6, aber nach x aufgelöst gibt das 1, weil 6/6=1. Dann kannst Du auch weiterrechnen.

    Von Deleted User 39796, vor fast 7 Jahren
  9. Default

    Deine Beispielaufgabe aus dem Video konnte ich übrigens problemlos lösen.

    Von Fabi16, vor etwa 7 Jahren
  10. Default

    Dein Video ist echt gut aber irgendwie komme ich mit der Testfrage nicht zurecht.
    Ich hab erstmal die Ableitungen gebildet und dann 6x-6 (2.Ableitung) gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst wo Null rauskam.
    Dann habe ich xw in die dritte Ableitung eingesetzt wo 6 rauskam ( 3.Ableitung bei mir f'''(x)=6 - und mit xw f'''(0)=6
    Die Null (xw ) hab ich dann in f(x) eingesetzt und es kam -3 raus.
    Wäre um deine Hilfe echt dankbar.

    Von Fabi16, vor etwa 7 Jahren
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Wendepunkte und Sattelpunkte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wendepunkte und Sattelpunkte kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Wendepunkten und Sattelpunkten.

    Tipps

    Ein Graph kann eine Rechts- und/oder Linkskrümmung haben. Das kannst du dir vorstellen, wie das Fahren mit dem Fahrrad: Du fährst eine Rechtskurve und dann eine Linkskurve. Irgendwo dazwischen muss der Lenker deines Fahrrads gerade stehen.

    Ein Sattelpunkt ist auf jeden Fall ein Wendepunkt. Umgekehrt ist ein Wendepunkt nicht unbedingt ein Sattelpunkt.

    Eine Tangente ist eine Gerade, welche den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt.

    Lösung

    Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an welchem eine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert:

    • entweder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung
    • oder von einer Links- in eine Rechtskrümmung.
    Die 2. Ableitung steht für die Krümmung, diese muss also notwendigerweise $0$ sein: $f''(x_W)=0$.

    Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt. Zusätzlich zu dem Kriterium des Krümmungswechsels hat ein Sattelpunkt eine horizontale Wendetangente. Das bedeutet: $f'(x_W)=0$.

  • Gib die Kriterien für einen Wendepunkt und für einen Sattelpunkt an.

    Tipps

    Nicht in jedem Wendepunkt liegt eine horizontale Tangente vor.

    Die 1. Ableitung steht für die Steigung einer Funktion, während die 2. für die Krümmung steht.

    • In einem Extrempunkt liegt ein Steigungswechsel vor und
    • in einem Wendepunkt ein Krümmungswechsel.
    Lösung

    Um eine Funktion auf einen Wendepunkt zu untersuchen, sollte man zunächst die ersten $3$ Ableitungen berechnen.

    • Notwendigerweise muss $f''(x)=0$ sein. Diese Gleichung liefert, sofern es Wendepunkte gibt oder geben könnte, eine oder mehrere Lösungen $x_W$.
    • Hinreichenderweise muss dieses (oder alle) $x_W$ in die 3. Ableitung eingesetzt werden, welche ungleich $0$ sein muss: $f'''(x_W)\neq 0$. Ist dies nicht der Fall, müssen weitere Ableitungen berechnet werden. Ist die erste Ableitung, die ungleich $0$ ist, eine ungerade, so liegt ein Wendepunkt vor.
    • Um die Lage des Wendepunktes zu bestimmen, wird $x_W$ in $f$ eingesetzt: $W(x_W|f(x_W))$.
    Da ein Sattelpunkt ein spezieller Wendepunkt ist, muss zusätzlich zu den Kriterien des Wendepunktes noch gelten, dass eine horizontale Wendetangente vorliegt. Das bedeutet:

    $f'(x_W)=0$.

    Jeder Sattelpunkt ist eine Wendepunkt. Dies gilt aber nicht in umgekehrter Weise.

  • Bestimme den Wendepunkt der Funktion und prüfe, ob dieser ein Sattelpunkt ist.

    Tipps

    Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.

    In einem Wendepunkt liegt ein Krümmungswechsel vor. Es muss also $f''(x)=0$ sein.

    Nicht jede Stelle, an welcher die 2. Ableitung $0$ ist, ist auch unbedingt eine Wendestelle.

    Lösung

    Gegeben sei die Funktion

    $f(x)=x^3-3cx+16,~c>0$. Da für die Bestimmung der Wendepunkte

    • $f''(x)=0$ uns $x_W$ liefert und
    • $f'''(x_W)\neq 0$ sein muss,
    benötigt man die ersten $3$ Ableitungen:

    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-3c\\ f''(x)&=6x\\ f'''(x)&=6. \end{align*}$

    Zunächst untersucht man die Nullstellen der 2. Ableitung:

    $\begin{align*} 6x&=0&|&:6\\ x_W&=0. \end{align*}$

    Dieses $x_W$, in der 3. Ableitung eingesetzt, ergibt $f'''(0)=6\neq 0$. Die 3. Ableitung ist eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass immer $6$ herauskommt, egal, was man einsetzt.

    Um die Lage des Wendepunktes zu bestimmen, muss man noch den Funktionswert für $x_W=0$ berechnen: $f(0)=0^3-3c\cdot 0+16=16$. Also hat die Funktion einen Wendepunkt bei $W(0|16)$.

    Nun kann man noch prüfen, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt. Hierfür muss $f'(0)=0$ sein: $f'(0)=3\cdot0^2-3c=-3c\neq 0$, da nach Voraussetzung $c>0$ gilt. Also liegt kein Sattelpunkt vor.

  • Bestimme den Sattelpunkt der Funktion, welche die Rodelbahn beschreibt.

    Tipps

    Untersuche zunächst die Funktion auf Wendepunkte. Es muss $f''(x)=0$ gelten.

    Zur Kontrolle:

    $f'(x)=-\frac3{16}x^2+\frac34x-\frac34$.

    Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente, das heißt $f'(x_W)=0$.

    Lösung

    Gegeben sei die Funktion

    $f(x)=-\frac1{16}x^3+\frac38x^2-\frac34x+2,5$.

    Zunächst werden die ersten $3$ Ableitungen dieser Funktion berechnet:

    $\begin{align*} f'(x)&=-\frac3{16}x^2+\frac34x-\frac34\\ f''(x)&=-\frac38x+\frac34\\ f'''(x)&=-\frac38. \end{align*}$

    1. Es muss gelten $f''(x)=0$:

    $\begin{align*} -\frac38x+\frac34&=0&|&-\frac34\\ -\frac38x&=-\frac34&|&\cdot \left(-\frac83\right)\\ x_W&=2. \end{align*}$

    2. Dieses $x_W$ wird in der 3. Ableitung eingesetzt: $f'''(2)=-\frac38\neq0$. Also liegt ein Wendepunkt vor. Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, wird $x_W=2$ in der Funktionsgleichung eingesetzt:

    $f(2)=-\frac1{16}2^3+\frac382^2-\frac34\cdot 2+2,5=2$.

    Es liegt also mit Gewissheit ein Wendepunkt bei $W(2|2)$ vor.

    3. Damit $W$ auch ein Sattelpunkt ist, muss $f'(2)=0$ sein:

    $f'(2)=-\frac3{16}2^2+\frac34\cdot 2-\frac34=0$.

    Also liegt auch ein Sattelpunkt $S(2|2)$ vor.

  • Prüfe die folgenden Aussagen über Wende- und Sattelpunkte.

    Tipps

    Um die 2. Ableitung zu berechnen, muss man natürlich bereits die 1. berechnet haben.

    Wird die 1. Ableitung zur Berechnung eines Wendepunktes benötigt? Das ist gleichbedeutend mit der Frage, ob eine Gleichung $f'$ gelöst werden oder in der 1. Ableitung etwas eingesetzt werden muss.

    Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente.

    Eine horizontale Tangente an der Stelle $x_0$ bedeutet: $f'(x_0)=0$.

    Lösung

    Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an welchem eine Funktion einen Krümmungswechsel hat: Es muss also

    1. untersucht werden, ob die 2. Ableitung Nullstelle(n) hat:

    $f''(x)=0$.

    Diese sei(en) $x_W$.

    2. Dieses $x_W$ wird in der 3. Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein, damit ein Wendepunkt vorliegt:

    $f'''(x_W)\neq 0$.

    Die y-Koordinate des Wendepunktes erhält man durch Einsetzen von $x_W$ in die Funktionsgleichung.

    3. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn die Wendetangente horizontal ist. Das bedeutet:

    $f'(x_W)=0$.

    Insgesamt wird also

    • für die Bestimmung des Wendepunktes die 2. und 3. Ableitung benötigt,
    • für die des Sattelpunktes zusätzlich auch noch die 1.
    Daraus folgt auch, dass eine Funktion, welche keine Wendepunkte hat, auch keine Sattelpunkte haben kann. Umgekehrt stimmt diese Aussage nicht.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=x^3-2x+1$ auf Wendepunkte und Sattelpunkte.

    Tipps

    Die 3. Ableitung ist konstant $f'''(x)=6$.

    Für einen Wendepunkt muss

    • $f''(x)=0\rightarrow x_W$ und
    • $f'''(x_W)\neq 0$.

    Für einen Sattelpunkt muss zusätzlich noch $f'(x_W)=0$ gelten.

    Lösung

    Es sei $f(x)=x^3-2x+1$.

    Zu den Ableitungen:

    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\\ f''(x)&=6x\\ f'''(x)&=6 \end{align*}$

    1. Die 2. Ableitung muss $0$ sein, also $6x=0$, was äquivalent ist zu $x_W=0$.
    2. Dieses $x_W$, in der 3. Ableitung eingesetzt, darf nicht $0$ sein: $f'''(x_W) = f'''(0)=6$. Es ist also ein Wendepunkt, dessen y-Koordinate $f(0)=0^3-2\cdot 0+1=1$: $W(0|1)$ ist.
    3. Für einen Sattelpunkt muss zusätzlich $f'(x_W) = f'(0)=0$ sein, es ist aber $f'(0)=3\cdot 0^2-2=-2\neq 0$. Die Funktion besitzt also einen Wendepunkt, aber keinen Sattelpunkt.