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Termumformungen – Übung

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Die Autor/-innen
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Peter Mahns
Termumformungen – Übung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Termumformungen – Übung

In diesem Übungsvideo wirst du drei Aufgaben zur Umformung und Vereinfachung von Termen vorgerechnet bekommen. Terme sind ein wichtiger Baustein, um den Umgang mit Rechengesetzen und Variablen zu lernen. Grundlagen, die du für dieses Video benötigst, sind das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz sowie Kenntnisse zum Aufstellen von Termen. Hinzu kommt das Wissen, wann zwei Terme äquivalent sind. Diese drei Aspekte wirst du in den Übungsaufgaben im Video wiedererkennen. Mit der abschließenden Frage wird sich dann zeigen, wie viel du aus diesem Video mitgenommen hast. Hier wirst du eine Aufgabe in Form von der Aufgabe 3 aus dem Video erhalten.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. @ Guenther Schwarz Md: Wenn man am Anfang ein x^2 vor der Klammer hat, würde tatsächlich nicht 13x heraus kommen. Im Video hast der erste Term aber kein (!) x^2 vor der Klammer. Im ersten Schritt multiplizierst du die Klammer aus und fasst dann gleichartige Terme zusammen. Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Wenn du noch Fragen hast, wende dich gerne an den Hausaufgaben-Chat, der von 17 Uhr bis 19 Uhr für dich da ist.

    Von Rebecca Tomann, vor mehr als einem Jahr
  2. drei x hoch 2(x-4)-x+4=drei x hoch 2 - 12x-x+4=drei x hoch zwei-13x+4 warum kommt da 13x raus also wie muss man das rechnen?

    Von Guenther Schwarz Md, vor mehr als einem Jahr
  3. lol

    Von Danielabloss602, vor mehr als 3 Jahren
  4. Gut

    Von Carinaglatzgebel, vor mehr als 4 Jahren
  5. Sehr hilfreich

    Von Carinaglatzgebel, vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Termumformungen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Termumformungen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vereinfache die gegebenen Terme.

    Tipps

    Wende das Distributivgesetz an.

    Das Distributivgesetz lautet: $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$.

    Lösung

    Rechengesetze wie das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz können uns helfen, Terme zu vereinfachen.

    Wir wenden das Distributivgesetz an, um die Klammer aufzulösen. Dabei multiplizieren wir jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer und fassen anschließend gleichartige Terme zusammen:

    $3x\cdot (x-4)-x+4 =3x^2 -12x -x +4 = 3x^2 -13x +4$.

    Auch in der zweiten Aufgabe nutzen wir das Distributivgesetz. Wir lösen beide Klammern auf, fassen die gleichartigen Terme zusammen und klammern anschließend noch einen Faktor aus:

    $5\cdot (2a+b) + (3a-2b)\cdot 6 =10a + 5b +18a -12b=28a - 7b=7\cdot(4a-b)$.

  • Gib alle äquivalenten Terme an, die den gesuchten Flächeninhalt darstellen.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt: $A= a\cdot b$.

    Setze den Term für den gesuchten Flächeninhalt aus den drei Flächeninhalten der Teilstücke zusammen. Forme anschließend diesen Term soweit wie möglich um.

    Jeder gegebene Term muss durch Umformungen in einen äquivalenten Term überführt werden können, ansonsten wäre der Term nicht äquivalent.

    Lösung

    Der gesuchte Flächeninhalt lässt sich in drei Teilstücke zerlegen, die jeweils Rechtecke darstellen.

    Der Flächeninhalt des ersten Teilstücks beträgt: $3 \cdot x$. Da das zweite Teilstück die gleichen Seitenlängen hat, beträgt auch dieser Flächeninhalt $3 \cdot x$. Das letzte Teilstück hat einen Flächeninhalt von $2 \cdot x$.

    Nun addieren wir die Flächeninhalte der Teilstücke und erhalten: $3\cdot x + 3 \cdot x + 2 \cdot x = 8x$.

    Alle Terme, die durch Umformungen zu $8x$ überführt werden können, sind äquivalent und stellen den gesuchten Flächeninhalt dar.

  • Ermittle die gesuchten Terme.

    Tipps

    Notiere Schritt für Schritt jede Angabe im Text. Beachte dabei auch die Klammersetzung!

    Eine „Summe“ entspricht dem Ergebnis einer Addition, eine „Differenz“ dem Ergebnis einer Subtraktion, ein „Produkt“ dem Ergebnis einer Multiplikation und ein „Quotient“ dem Ergebnis einer Division.

    Lösung

    Es hilft bei solchen Texten, sich gedanklich Klammern im Text zu setzen und dann Schritt für Schritt die einzelnen Informationen zu notieren, sodass am Ende der gesuchte Term entsteht.

    Beispielsweise bei der Aufgabe „[ Das Produkt von einer Zahl und 6 ] wird durch [ die Summe von einer Zahl und 5 ] dividiert.“ können wir den Text somit in drei Bereiche aufteilen. Wir beginnen mit der ersten Klammer.

    1. „Das Produkt von einer Zahl und 6“ entspricht dem Term $x \cdot 6 = 6x$ .
    2. „Die Summe von einer Zahl und 5“ entspricht dem Term $x+5$.
    3. $6x$ „wird durch“ $x+5$ „dividiert“ entspricht dem Quotienten $\frac{6x}{x+5}$.
    Somit haben wir den gesuchten Term $\frac{6x}{x+5}$ ermittelt.

    Auf die selbe Weise stellen wir alle weiteren Terme auf.

  • Untersuche, wie sich die Terme vereinfachen lassen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet: $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$.

    Fasse gleichartige Terme stets zusammen.

    Ein gleichartiger Term wird unter einer gemeinsamen Variable zusammengefasst, wie 2a + 3a = 5a.

    Lösung

    Das Distributivgesetz $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$ kann man anwenden, wenn entweder vor einer Klammer ein Faktor steht oder wenn man innerhalb von Summanden denselben Faktor ausklammern kann. Beide Richtungen sind beim Zusammenfassen von Termen hilfreich.

    Um gleichartige Terme zusammenfassen zu können, muss man erst die Klammer auflösen.

    Beispiel: $ 5x + (3x+1) \cdot 2 = 5x + 6x + 2 = 11x + 2 $.

    Um Brüchen mit Summen im Zähler bzw. Nenner kürzen zu können, muss man erstmal einen in beiden Summanden vorhandenen Faktor ausklammern.

    Beispiel: $\frac{24x+8}{3x+1}= \frac{8\cdot (3x+1)}{3x+1} = 8$

  • Beschreibe, wie du beim Aufstellen und Vereinfachen des gesuchten Terms vorgehst.

    Tipps

    Schreibe zunächst einen Term auf, welcher der gegebenen Aufgabenstellung entspricht. Führe dazu eine Variable x ein.

    Forme nun mit Hilfe von Rechengesetzen wie dem Distributivgesetz den Term soweit wie möglich um. Mache dir dabei bewusst, welche Gesetze und Regeln man bei jedem Umformungsschritt anwendet.

    Lösung

    Wir gehen Schritt für Schritt den gegebenen Text durch, um einen Term aufzustellen.

    Das „Dividiere“ entspricht einem Bruchstrich. Als nächstes kommt die „Summe“, dafür schreiben wir ein Plus in den Zähler. Für das „Zwölffache einer Zahl und 4“ können wir 12 $\cdot$ x als ersten Summanden und 4 als zweiten Summanden notieren. Diese Summe soll durch die „Differenz von 3,5 und 1,5“ geteilt werden. Wir schreiben also 3,5 - 1,5 in den Nenner. Von - 1 soll dieser Quotient subtrahiert werden, somit schreiben wir die - 1 vor den Bruch und ziehen den Bruch davon ab. Wir erhalten also als Ausgangsterm: - 1 - $\frac{12x+4}{3,5-1,5}$.

    Wir vereinfachen den aufgestellten Term in mehreren Schritten:

    1. Wir klammern 2 im Zähler aus und kürzen den Bruch durch das Ergebnis von 3,5 - 1,5 = 2 im Nenner.
    2. Wir erhalten - 1 - $($6x + 2$)$ und lösen die Klammer auf, indem wir die Vorzeichen aller Summanden in der Klammer umkehren. Anschließend fassen wir - 1 - 2 = - 3 zusammen.
    3. Wir klammern - 3 aus und erhalten als Ergebnis - 3 $\cdot$ $($1 + 2x$)$.

  • Ermittle den jeweiligen Term für den gesuchten Umfang der Figuren.

    Tipps

    Wie berechnet man den Umfang einer Figur?

    Erinnere dich wie man den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b berechnet. Leite daraus ab, wie man allgemein den Umfang von Polygonen (Vielecken) berechnet.

    Um einen Term für den Umfang einer Figur zu aufzustellen, addiert man alle Seitenlängen und fasst gleichartige Terme zusammen.

    Seitenlängen, die nicht beschriftet sind, kannst du durch Parallelverschiebung bekannter Seiten ermitteln.

    Verwende das Distributivgesetz.

    Lösung

    Gesucht ist jeweils ein Term zur Berechnung des Umfang der dargestellten Figuren. Den Umfang eines Polygons (Vielecks) ermittelt man durch die Addition jeder Seitenlänge.

    Wenn Seiten nicht beschriftet sind, so kann man deren Länge durch Parallelverschiebungen ermitteln. Im nebenstehenden Bild entspricht die längste Seite der Figur somit y + x + y und der gesamte Umfang beträgt: U = 2x + 6y + 2.

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