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Sattelpunkt – Erklärung (1)

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Martin Wabnik
Sattelpunkt – Erklärung (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Sattelpunkt – Erklärung (1)

Inhalt

Was ist ein Sattelpunkt?

In der Mathematik hast du in der Kurvendiskussion schon verschiedene Punkte von Funktionsgraphen kennengelernt, zum Beispiel Hochpunkte und Tiefpunkte. In diesem Video erklären wir dir, was es mit Sattelpunkten auf sich hat. Du wirst also lernen, was Sattelpunkte sind, woran man sie erkennt und wie man sie berechnet.

Sattelpunkt – Definition

Hat die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ einer Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ eine Nullstelle, aber keinen Vorzeichenwechsel, so ist der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ des Funktionsgraphen von $f$ ein Sattelpunkt. Dass die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle hat, bedeutet, dass die Tangente des Funktionsgraphen durch den Punkt $P(x_0|f(x_0))$ waagerecht verläuft. Dass die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, bedeutet, dass $x_0$ eine Extremstelle von $f^{\prime}$ ist.

Sattelpunkt

Sattelpunkt – Bedingungen

Wir haben gesehen, dass eine Funktion $f$ an einem Sattelpunkt eine waagerechte Tangente hat. Eine notwendige Bedingung dafür, dass $x_0$ die Stelle eines Sattelpunkts ist, ist also:

$f^{\prime}(x_0) =0$

Da außerdem die Ableitungsfunktion an der Stelle $x_0$ keinen Vorzeichenwechsel haben soll, muss $x_0$ eine Extremstelle von $f^{\prime}$ sein. Das bedeutet:

$f^{\prime\prime}(x_0)=0 \newline f^{\prime\prime\prime}(x_0) \neq 0$

Sattelpunkt – Wendepunkt

Wir erinnern uns an die Definition der Wendepunkte einer Funktion: Eine Funktion $f$ hat eine Wendestelle bei $x_0$, wenn die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ dort eine Extremstelle hat. Dazu müssen für die Ableitungsfunktion folgende Bedingungen an der Stelle $x_0$ erfüllt sein:

$(f^{\prime})^{\prime}(x_0)=0 \newline (f^{\prime})^{\prime\prime}(x_0) \neq 0$

Vergleichen wir diese Bedingungen mit denen eines Sattelpunkts, so finden wir:

  • Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Tangentensteigung null.

Transkript Sattelpunkt – Erklärung (1)

Hallo! Im nächsten Film hab ich angedeutet, dass es passieren könnte, dass eine Ableitung an einer Stelle 0 ist, in diesem Bereich nicht konstant 0 ist und auch keinen Vorzeichenwechsel hat. Wie würde das aussehen und was bedeutet das für die Ausgangsfunktion? Mal angenommen, ich male hier eine Ableitung, und die soll hier mal zwischen 3 und 4 0 sein. Egal, wo das ist, ob 3 oder 4 ist völlig Wurst, also irgendwo soll sie 0 sein. Wenn sie nicht konstant 0 sein soll, dann muss sie links davon, zum Beispiel hier, positiv sein, warum nicht? Wenn sie jetzt keinen Vorzeichenwechsel haben soll, dann darf sie rechts von diesem Nullpunkt, von der Nullstelle der Ableitung, darf sie dann also nicht negativ sein. Denn dann hätte sie ja einen Vorzeichenwechsel, also kann sie hier wieder positiv sein. Positiv, positiv, also die Ableitung fällt hier zwar, aber die Ableitungswerte selber sind ja hier positiv, da sind sie 0, da sind sie auch positiv. Was bedeutet das für die Ausgangsfunktion? Es bedeutet, da wo die Ableitungswerte groß sind, da steigt die Funktion steil an. Zum Beispiel so. Dann sind die Ableitungswerte positiv, aber kleiner. Die Ausgangsfunktion steigt nicht so stark, sie steigt weniger, noch weniger, und zwischen 3 und 4 steigt sie dann überhaupt nicht mehr. Das ist hier ungefähr. Danach steigt sie noch. Na, so ungefähr will ich das mal hierhin malen. Das muss wieder weg. Also so kann man sich das vorstellen. Hier steigt sie noch, aber wenig, und hier steigt sie überhaupt nicht mehr. Danach ist die Ableitung wieder positiv. Das heißt, die Ausgangsfunktion muss wieder steigen, steigt immer mehr, weil die Ableitungswerte größer werden, immer mehr. Und so sieht das dann ungefähr aus. So, was haben wir jetzt hier genau an der Stelle? Das will ich mal so eben hier andeuten. Na, ganz gelungen ist es nicht, aber an der Stelle hier, was passiert da? Da ist die Ableitung 0. Davor steigt die Funktion, danach steigt sie auch wieder. Ich zeig das einmal noch in groß noch mal. Da kannst du das sehen. Und dieser Punkt hier, da wo die Ableitung 0 ist, der nennt sich Sattelpunkt. Und zwar deshalb, weil man hier sich so ein Pferd vorstellen kann. Ich will es jetzt nicht malen, das Pferd, aber ich hoffe, du kannst dir das vorstellen, dass hier so der Hintern des Pferdes ist, hier ist der Kopf ungefähr, der Schweif. Und da drauf liegt der Sattel. Der liegt also da, wo das Pferd, wo der Pferderücken keine Steigung hat. Deshalb nennt sich das Sattelpunkt. Und die Ableitung haben wir jetzt so konstruiert, dass sie ein Minimum hat. Ein echtes Minimum. Vorher ist sie positiv, danach ist sie auch positiv, zwischendurch hat sie ein Minimum. Und nicht nur irgendein Minimum, sondern die Ableitung ist dort, die Ableitung hat dort eine Nullstelle. Wir haben also gezeigt, wenn die Ableitung 0 ist und dort ein Minimum hat, dann hat die Ausgangsfunktion dort einen Sattelpunkt. Und dann, in dem nächsten Film, zeig ich noch, wie das weitergeht mit den Minima und Maxima der Ableitung. Bis dahin! Viel Spaß! Tschüss!

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