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Punkt, der von den Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Punkt, der von den Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Punkt, der von den Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt)

Inhalt

Umkreismittelpunkt bestimmen – Mathematik

In diesem Text wird der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks einfach erklärt. Es wird aufgezeigt, wie man den Punkt mithilfe von Zirkel und Lineal konstruiert. Dafür sollte bereits bekannt sein, wie Mittelsenkrechten konstruiert werden.

Was ist ein Umkreismittelpunkt? – Definition

Der Aufbau von Dreiecken ist immer gleich. Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte liegen. Der Mittelpunkt dieses Kreises wird Umkreismittelpunkt genannt. Er ist von allen Eckpunkten des Dreiecks genau gleich weit entfernt. Sticht man mit dem Zirkel in diesen Punkt ein und stellt den Radius auf die richtige Größe ein, so erhält man einen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Für den Umkreismittelpunkt gilt folgender Satz:

  • Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Er ist von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt.

Betrachten wir das Dreieck $ABC$.

Dreieck Umkreismittelpunkt Übung

Der Punkt in der Mitte der Seite $\overline{AB}$ ist von den Ecken $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Konstruiert man durch diesen Punkt eine zu der Strecke $\overline{AB}$ senkrechte Gerade, so liegen alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind, auf dieser Geraden. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Der Punkt in der Mitte der Strecke $\overline{AC}$ ist von $A$ und $C$ gleich weit entfernt. Auch dort kann man die Mittelsenkrechte konstruieren. Auf ihr liegen alle Punkte, die gleich weit von $A$ und $C$ entfernt sind.

Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist von allen drei Ecken $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Damit ist dieser Schnittpunkt der Umkreismittelpunkt. Schauen wir uns im nächsten Absatz anhand eines Beispiels an, wie man den Umkreismittelpunkt konstruiert.

Wie ermittelt man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks? – Beispiel

Um diesen Umkreismittelpunkt zu konstruieren, betrachten wir zunächst wieder das Dreieck $ABC$. Zuerst muss eine Mittelsenkrechte auf eine der drei Seiten konstruiert werden. Mit welcher Seite begonnen wird, ist dabei egal.

Beginnen wir mit der Seite $\overline{AB}$. Dafür stechen wir mit dem Zirkel in den Punkt $B$ ein. Der Radius des Zirkels muss etwas größer eingestellt werden als die Hälfte der Länge der Strecke. Dann zeichnen wir jeweils einen Teil des Kreisbogens unterhalb und oberhalb der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe Umkreismittelpunkt zeichnen

Mit der gleichen Zirkelspanne wiederholen wir diesen Vorgang im Punkt $A$. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte der beiden Kreisbogen. Durch diese beiden Punkte ziehen wir nun mit dem Lineal eine Gerade. Dies ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Umkreismittelpunkt Dreieck berechnen

Den gleichen Vorgang wiederholen wir nun mit einer weiteren Seite. Auch dabei ist es egal, welche der beiden Seiten wir wählen. Konstruieren wir nun also die Mittelsenkrechte der Seite $\overline{AC}$. Den Radius des Zirkels stellen wir zunächst wieder etwas größer als die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$ ein. Danach stechen wir in $C$ ein und zeichnen zwei Teile des Kreisbogens. Das Gleiche wiederholen wir mit derselben Zirkelspanne in Punkt $A$. Durch die zwei entstandenen Schnittpunkte zeichnen wir eine Gerade. Diese ist die Mittelsenkrechte der Strecke $AC$.

Wie macht man einen Umkreismittelpunkt? Beweis

Es ergibt sich ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegen alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind. Auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AC}$ liegen alle Punkte, die von $A$ und $C$ gleich weit entfernt sind. Daher ist der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten von $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Es handelt sich bei dem Schnittpunkt also um den Umkreismittelpunkt.

Es könnte zusätzlich noch die dritte Mittelsenkrechte konstruiert werden, allerdings würde sie durch den gleichen Punkt gehen, weshalb schon zwei Mittelsenkrechten ausreichen, um den Umkreismittelpunkt zu bestimmen.

Umkreismittelpunkt konstruieren einfach erklärt

Als Beweis, dass der Umkreismittelpunkt richtig konstruiert wurde, kann nun überprüft werden, ob der Umkreis durch alle drei Punkte geht. Dafür stechen wir mit dem Zirkel in den Umkreismittelpunkt ein und wählen die Entfernung zu einem der Eckpunkte als Radius. Nun zeichnen wir den Kreis. Liegen alle drei Eckpunkte auf dem Radius, so wurde der Umkreismittelpunkt korrekt ermittelt.

Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

Ein Umkreismittelpunkt muss nicht immer innerhalb des Dreiecks liegen. Doch wann liegt ein Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks und wie sieht es bei rechtwinkligen Dreiecken aus? Die Regeln für die Lage des Umkreismittelpunkts lauten:

  • Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks.
  • Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer im Mittelpunkt der Hypotenuse. Er liegt also auf der längsten Seite des Dreiecks.
  • Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer außerhalb des Dreiecks.

Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt also von der Art des Dreiecks ab.

In diesem Video zum Umkreismittelpunkt bestimmen ...

... lernst du, was der Umkreismittelpunkt ist und wie man ihn konstruieren kann. Dazu sehen wir uns ein Beispiel an. Du siehst, dass der Umkreismittelpunkt nicht immer innerhalb des Dreiecks liegt – seine Lage hängt von der Art des Dreiecks ab.

Wenn du jetzt selbst noch ein paar Übungen zum Bestimmen des Umkreismittelpunkts machen willst, dann findest du dazu hier auf der Seite Arbeitsblätter und Übungen mit Aufgaben zum Bestimmen von Umkreismittelpunkten.

Transkript Punkt, der von den Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt)

Hi! Das ist das Dreieck ABC. Und an dem Punkt, an dem ich stehe, bin ich von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Wir können uns jetzt mal überlegen, wie wir diesen Punkt mit Zirkel und Lineal konstruieren können. Dazu wäre es gut, wenn du weißt, wie man Mittelsenkrechten konstruiert. Hier auf der Mitte der Seite AB, bin ich von A und B gleich weit entfernt. Und hier auf der Mittelsenkrechten befinden sich alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind. Hier auf der Mitte der Strecke AC bin ich von beiden Ecken A und C gleich weit entfernt. Auf dieser Mittelsenkrechten befinden sich alle Punkte, die von A und C gleich weit entfernt sind. Und hier auf dem Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten bin ich von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Wir haben ein Dreieck ABC und wir konstruieren eine Mittelsenkrechte. Zunächst die der Strecke AB. Da können wir anfangen. Das können wir uns aussuchen, wo wir anfangen. Und ich mache das hier mal mit meinem Frankenstein-Zirkel, damit man die Striche ein bisschen besser sieht. Wir stellen den Zirkel auf etwas mehr als die Hälfte ein und zeichnen hier zwei Teile des Kreisbogens. Dann machen wir das auf der anderen Seite auch. Und durch die beiden Schnittpunkte hier verläuft die Mittelsenkrechte von AB. Das Gleiche können wir jetzt mit einer weiteren Seite machen. Zum Beispiel können wir die Mittelsenkrechte der Seite AC konstruieren. Und da stellen wir den Zirkel wieder etwas mehr als auf die Hälfte der Seite ein. So dass der Radius des Kreises etwas größer ist als die Hälfte der Seite. Dann bekommen wir hier zwei Schnittpunkte der Kreislinien. Und durch diese zwei Schnittpunkte verläuft die Mittelsenkrechte von AC. Auf der Mittelsenkrechten der Seite AB befinden sich alle Punkte, die von den Ecken A und B gleich weit entfernt sind. Auf der Mittelsenkrechten der Dreiecksseite AC befinden sich all die Punkte, die von A und C gleich weit entfernt sind. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist dann der Punkt, der von A und B und C gleich weit entfernt ist. Wir könnten jetzt noch die Mittelsenkrechte der Strecke BC zeichnen. Die würde hier verlaufen. Und diese Mittelsenkrechte würde auch durch diesen Punkt hier gehen. Das heißt, dann hätten wir also nichts gewonnen, denn den Punkt haben wir schon und deshalb lassen wir das einfach bleiben. Dieser Punkt hier ist übrigens auch der Umkreismittelpunkt. Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis auf dem alle Ecken des Dreiecks liegen. Und der Mittelpunkt eines solchen Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Und das können wir jetzt auch mal eben zeichnen. So entsteht der Umkreis. Und du siehst alle drei Ecken des Dreiecks liegen auf diesem Kreis. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, wie wir diesen Punkt konstruieren können, der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist. Ciao.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Schön gemacht!

    Von Emma, vor 2 Monaten
  2. geil

    Von Jasi_123Q, vor 7 Monaten
  3. gut

    Von köpek , vor 12 Monaten
  4. Danke, nun verstehe ich das :)

    Von Armin Hoehnlein, vor fast 2 Jahren
  5. Sehr gut erklärt 😃👍🏻
    tolles video

    Von sea shepherd p., vor etwa 2 Jahren
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