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Monotonie einer Funktion 02:29 min

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Transkript Monotonie einer Funktion

Monotonie einer Funktion Definition: Es sei I ein Intervall im Bereich der reellen Zahlen. Eine Funktion f heißt dann monoton wachsend in I, wenn für alle x1(x2) ist. Und ein paar Beispiele: X3 und √x zum Beispiel sind monoton wachsend, da jeder nächstgrößere x-Wert einen größeren y-Wert hervorbringt. Die Funktion steigt also. Bei monoton fallend ist es umgekehrt, d.h. für jeden nächstgrößeren x-Wert werden die resultierenden y-Werte immer kleiner, wie in unseren Beispielen f(x)=-ex und f(x)=-x. So, um den Unterschied von streng monoton und einfach monoton zu erklären, habe ich mir eine Funktion zusammengebastelt, um das Wichtigste gut erkennen zu können. Diese Funktion ist eigentlich die erste hier abgebildete Funktion, die nur monoton fallend ist und nicht streng monoton. Alle anderen obigen Funktionen sind streng monoton. Der Unterschied zwischen streng monoton und einfach monoton besteht in dem ≤ beziehungsweise ≥ Zeichen in der Definition. Sobald es einen Intervall gibt, indem die Funktion gleich bleibt, in unserem Beispiel wäre das von -1 bis 1, ist es keine streng monotone Funktion mehr. Oder ein anderes Beispiel für monoton wachsend aus der Welt, in der wir leben, der Ölpreis. In den 80er und 90er Jahren war er noch relativ stabil, das heißt gleichbleibend. Mal abgesehen von ein paar gewissen Krisen. Legt man jetzt eine grobe Trendlinie über die Preisentwicklung, sieht man, dass im gesamten sichtbaren Zeitintervall die Preissteigerung nur monoton wachsend war. Schaut man sich die Entwicklung seit 2000 an, ist der Ölpreis allerdings streng monoton wachsend, Tendenz steigend.

5 Kommentare
  1. Die Übungsaufgabe und die dazugehörige Lösung widersprechen sich

    Von Laura Brown2001, vor 3 Monaten
  2. @Netban: Schau dir dazu doch mal das Video von Steve T. an, in dem es um ähnliche Fragestellungen geht: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/monotoniekriterium-fuer-differenzierbare-funktionen (ab Minute 2:20 wird an einem Beispiel gezeigt, wie die Monotonie-Intervalle bestimmt werden). Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  3. Also ich persönlich fand das Video auch hilfreich, jedoch hat es mir nicht dabei weitergeholfen, wie ich die Monotonie einer Funktion berechnen, bzw. sehen kann. Z.B. f(x)= -3*x^5+7

    Von Netban, vor mehr als 4 Jahren
  4. ich hab`s nicht verstanden

    Von Ecv Ricci, vor mehr als 4 Jahren
  5. Also ich für meinen Teil habe dir gut folgen können und alles gut verstanden. Auch die Differenzierung zwischen "monoton" und "streng monoton" hast du gut vermittelt. Dein Video macht mir richtig Lust auf die Mathenachhilfe - gerade heute habe ich erfahren, dass ich eine Schülerin des 12. Jahrgangs unterrichten darf.

    Nur Mut zu weiteren Videos hier auf Sofatutor!

    Von Green Spirit, vor fast 7 Jahren

Monotonie einer Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Monotonie einer Funktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere „Monotonie einer Funktion“.

    Tipps

    Zeichne dir jeden der Fälle auf ein Blatt, also die Punkte $(x_1|f(x_1)$ sowie $(x_2|f(x_2)$.

    $f(x)=2x$ ist eine streng monoton wachsende Funktion.

    $f(x)=-3x$ ist eine streng monoton fallende Funktion.

    Lösung

    Es sei $I\subseteq \mathbb{R}$. Dann heißt $f:I\rightarrow \mathbb{W}$

    • monoton wachsend in $I$, wenn für alle $x_1<x_2$ gilt, dass $f(x_1)≤f(x_2)$.
    • streng monoton wachsend in $I$, wenn für alle $x_1<x_2$ gilt, dass $f(x_1)<f(x_2)$.
    • monoton fallend in $I$, wenn für alle $x_1<x_2$ gilt, dass $f(x_1)≥f(x_2)$.
    • streng monoton fallend in $I$, wenn für alle $x_1<x_2$ gilt, dass $f(x_1)>f(x_2)$.

  • Gib an, welche der Funktionen monoton wachsend und welche fallend ist.

    Tipps

    Du kannst neben der Definition anhand von Funktionsgraphen entscheiden, ob eine Funktion wachsend oder fallend ist.

    $f(x)=x$ ist streng monoton wachsend, denn für alle $x_1<x_2$ gilt $f(x_1)=x_1<x_2=f(x_2)$.

    Lösung

    Die beiden Funktionen

    • $f(x)=x^3$ und
    • $f(x)=\sqrt x$
    sind monoton wachsend, sogar streng monoton wachsend.

    Der Nachweis sei hier exemplarisch für $f(x)=x^3$ geführt:

    Sei $x_1<x_2$, so ist sicher $x_1\cdot x_1\cdot x_1<x_2\cdot x_2 \cdot x_2$, also $x_1^3<x_2^3$. Das war zu beweisen!

    Die beiden übrigen Funktionen

    • $f(x)=e^{-x}$ sowie
    • $f(x)=-x$
    sind monoton fallend. Auch diese sind wieder streng monoton.

    Auch hier sei der Nachweis für eine der beiden Funktionen, $f(x)=-x$, geführt:

    Sei $x_1<x_2$, so ist $f(x_1)=-x_1>-x_2=f(x_2)$ $\surd$.

  • Bestimme das Monotonieverhalten der stückweise definierten Funktion.

    Tipps

    Zeichne dir die Funktion in ein x-y-Koordinatensystem.

    Untersuche die einzelnen Abschnitte der Funktion auf Monotonie.

    Das Monotonierverhalten wird immer in Richtung der positiven x-Achse betrachtet.

    Lösung

    Dies ist der Graph der stückweise definierten Funktion:

    • Die Abschnitte für $x<-1$ und $x>1$ sind streng monoton fallend,
    • dazwischen befindet sich ein konstanter Abschnitt.
    Deshalb ist die Funktion gesamt monoton fallend, allerdings nicht streng monoton fallend.

  • Begründe das Monotonieverhalten der Betragsfunktion $f(x)=|x|$.

    Tipps

    Zeichne dir die Funktion $k(x)=x$ in ein Koordinatensystem. Entscheide, ob diese Funktion (streng) monoton wachsend oder steigend ist.

    Für monoton wachsend (fallend) gilt:

    Für alle $x_1<x_2$ ist $f(x_1)\le f(x_2)$ ( $f(x_1)\ge f(x_2)$).

    Lösung

    Die Betragsfunktion ist eine stückweise definierte Funktion:

    $|x|= \begin{cases} -x& \text{ für } x<0\\ x& \text{ für } x \ge 0 \end{cases}$

    • Da die Funktion $g(x)=-x$ streng monoton fallend ist, ist dies auch die Betragsfunktion für $x<0$.
    • Da die Funktion $h(x)=x$ streng monoton wachsend ist, ist dies auch die Betragsfunktion für $x\ge 0$.
  • Entscheide, welche der Funktionen streng monoton wachsend und welche streng monoton fallend ist.

    Tipps

    Zeichne jede der Funktionen in ein x-y-Koordinatensystem.

    Das Monotonieverhalten wird in Richtung der positiven x-Achse betrachtet.

    Ist eine Funktion $f$ streng monoton wachsend, so ist $-f$ streng monoton fallend.

    Eine Funktion ist weder monoton wachsend noch fallend.

    Lösung
    • Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ ist die blaue Parabel. Links von $0$ ist diese streng monoton fallend und rechts streng monoton wachsend. Sie ist also weder streng monoton wachsend oder fallend auf $I=\mathbb{R}$.
    • Der rote Graph gehört zu der Funktion $g(x)=e^x$. Diese ist streng monoton wachsend.
    • Der grüne Graph gehört zu $h(x)=x^5$. Auch diese Funktion ist streng monoton wachsend. Allgemein kann man feststellen, dass jede positive ungerade Potenz von $x$ eine streng monoton wachsende Funktion ist.
    • Der violette Graph gehört zu $k(x)=-e^x=-g(x)$. Da $g(x)$ eine streng monoton steigende Funktion ist, ist $k(x)$ als Spiegelung von $g(x)$ an der x-Achse, streng monoton wachsend.
  • Untersuche die Funktion auf Monotonie.

    Tipps

    Achte auf die Schreibweise.

    Zwei Abschnitte haben das gleiche Verhalten.

    Das Monotonieverhalten wird immer in Richtung der positiven x-Achse betrachtet.

    Lösung

    Das Monotonieverhalten wird immer in Richtung der positiven x-Achse betrachtet.

    • In dem blauen und grünen Abschnitt ist die Funktion (streng) monoton wachsend und
    • in dem roten (streng) monoton fallend.