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Mittelsenkrechte 07:03 min

Textversion des Videos

Transkript Mittelsenkrechte

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über die Mittelsenkrechte. Dazu werde ich dir die folgenden Fragen beantworten: 1. Was ist die Mittelsenkrechte? Und 2. Wie konstruiert man die Mittelsenkrechte? Die Konstruktion der Mittelsenkrechten erfolgt dabei nur mit Zirkel und Lineal. Beginnen wir mit Frage 1: Was ist die Mittelsenkrechte? Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese halbiert.Versuchen wir eine Skizze zu dieser Definition zu zeichnen: Wir zeichnen uns dazu eine Strecke AB und eine Gerade, die die Strecke halbiert. Diese Gerade nennen wir klein m - m wie Mittelsenkrechte. Sie steht senkrecht auf der Strecke AB, also in einem Winkel von 90°, daher nennt man sie auch Mittelsenkrechte. Es handelt sich bei der Mittelsenkrechten um eine Gerade, weil sie keinen Anfangs- und keinen Endpunkt besitzt, d. h. sie ist unendlich lang. AB ist dagegen eine Strecke mit einem Anfangspunkt- das ist A und dem Endpunkt - das ist B. Diese Strecke wird von der Mittelsenkrechten halbiert. Beide Abschnitte sind halb so lang wie AB selbst, daher nennt man diese Gerade Mittelsenkrechte. Diese Definition ist sehr anschaulich, da sie die wesentlichen Eigenschaften einer Mittelsenkrechten zusammenfasst. Es gibt allerdings noch eine weitere Definition für die Mittelsenkrechte, die einem bereits Hinweise für die Konstruktion der Mittelsenkrechten liefert. Sie lautet: Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, die von 2 gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben. Was heißt das? Hier steht, dass wir 2 gegebene Punkte haben. Das sind bei uns A und B. Diese haben den gleichen Abstand zu einer Menge aller Punkte. Aber welche Punkte? Das sind die Punkte, die die Mittelsenkrechte bilden. Die Mittelsenkrechte besteht nämlich aus unendlich vielen Punkten, die so dicht beieinanderliegen, dass es uns so vorkommt, als sei es eine Linie. So haben wir hier z. B. den Punkt P: Dieser hat zu den Punkten A und B den gleichen Abstand. Man schreibt:  |AP| = |PB| Man setzt dabei über die jeweiligen Strecken Striche, um zu erkennen, dass es Strecken sind und Striche links und rechts von den Buchstaben, um zu erkennen, dass es sich um Längen handelt. Wir messen noch mal nach und es stimmt: Beide Strecken sind 29 cm lang. Versuchen wir es noch mal mit einem anderen Punkt, z. B. Q und messen jeweils die Abstände. Und auch diese sind gleich, nämlich 26 cm. Diese Eigenschaft können wir für die Konstruktion nutzen. Gleiche Abstände kann man nämlich prima mit einem Zirkel einhalten. Beginnen wir noch mal von vorne und fertigen eine saubere Konstruktion mit Konstruktionsbeschreibung an. Wir kommen als zu Frage 2: Wie konstruiert man die Mittelsenkrechte? Zuerst konstruieren wir eine Strecke AB mit dem Lineal. Danach nehmen wir den Zirkel und stellen eine Spanne ein, die länger als die Hälfte der Strecke AB ist. Günstig ist es, wenn man eine Länge nimmt, die ein bisschen kürzer als AB selbst ist. Nun ziehen wir einen Kreisbogen um A und dann einen Kreisbogen um B. Beachte dabei: Die Zirkelspanne muss identisch sein. Wie du siehst, schneiden sich die Kreisbögen in zwei Punkten. Nennen wir sie R und S. Diese Punkte haben zu A und B jeweils den gleichen Abstand, also gilt: |AR| = |RB| und |AS| = |SB| Damit sind automatisch |AR| und |AS| auch gleich lang. Dies gilt auch für die Strecken |RB| und |SB|. Diese Punkte erfüllen also die Eigenschaft einer Mittelsenkrechten, daher können wir annehmen, dass beide Punkte auf der Mittelsenkrechten liegen. Wir können also beide Punkte miteinander verbinden und erhalten die Mittelsenkrechte. Wir messen nach, ob die Strecke AB wirklich halbiert wird - das tut sie, denn auf jeder Seite sind es ca. 17,5 cm. Und nun überprüfen wir noch, ob die Mittelsenkrechte auch wirklich senkrecht, also in einem Winkel von 90° auf der Strecke AB steht - und das tut sie auch, also alles richtig gemacht. Hätte man beim Spannen des Zirkels einen kleineren Radius gewählt, also weniger als die Hälfte von |AB|, so hätten sich keine Schnittpunkte ergeben. Wenn man wiederum den Radius zu groß wählt, landet man außerhalb des Zeichenblattes. Wir blicken noch einmal zurück und formulieren die Konstruktionsbeschreibung: Zuerst haben wir die Strecke AB konstruiert, dann haben wir einen Kreisbogen um A gezeichnet. Hierbei sollte die Zirkelspanne mehr als die Hälfte der Strecke AB betragen. Danach haben wir einen Kreisbogen um B gezeichnet, und zwar mit der gleichen Zirkelspanne, das ist besonders wichtig. Anschließend verbinden wir die Schnittpunkte der Kreisbögen und erhalten damit die Mittelsenkrechte. Und nun kommen wir zur Zusammenfassung: Heute hast du viel über die Mittelsenkrechte gelernt. Du kennst jetzt deren Eigenschaften, die du aus den Definitionen entnehmen kannst. So ist die Mittelsenkrechte eine Gerade, die senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese halbiert. Weiterhin kann man die Mittelsenkrechte auch als Menge aller Punkte bezeichnen, die von 2 gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben. Aus der letzten Definition haben wir uns hergeleitet, wie man die Mittelsenkrechte konstruiert. Dazu haben wir eine Konstruktionsbeschreibung erarbeitet.   Und nun sage ich byebye und bis zum nächsten mal.

36 Kommentare
  1. Cooles Viedeo👍🏻😺
    ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

    Von Lianakatze, vor 3 Tagen
  2. Sehr gut schreibe morgen die Arbeit Danke 👍🏼

    Von Natascha Tabbert, vor 6 Monaten
  3. sehr gut erklärt! 😀

    Von Uwiucha, vor 7 Monaten
  4. ich bin krank und habe erzählt bekommen was das neue unterthema ist und ich habe das hier gesucht und gefunden und verstanden. Eigentlich bzw fast so gut wie mein Mathe Lehrer

    Von Hexebillerbix, vor 8 Monaten
  5. Danke :)
    schreibe morgen meinen test :D

    Von Myrna M., vor 9 Monaten
  1. Gut erklärt😀 Danke!!!!!

    Von Augustinovic, vor 10 Monaten
  2. Gut erklärt
    Danke

    Von Piruka S., vor 11 Monaten
  3. sehr gut erklärt ich schreibe meine arbeit am Mittwoch und jetzt weis ich wie man eine Mittelsenkrechte zeichnet

    Von Andrea S., vor etwa einem Jahr
  4. Sehr gut erklärt danke!!!

    Von Maya S., vor etwa einem Jahr
  5. Gut erklärt!!

    Von Sophie—Marie ., vor etwa einem Jahr
  6. sehr schön erklärt

    Von Pendelins, vor mehr als einem Jahr
  7. Gut erklärt :) Nur etwas zu Langsam :(

    Von Elke Kraft, vor mehr als einem Jahr
  8. Danke gut erklärt :)

    Von Berk D., vor fast 2 Jahren
  9. gut erklärt

    Von Koller Schmitz, vor etwa 2 Jahren
  10. Suuuuuupi Video, echt toll erklärt
    :-) ;-)

    Von Jonas Nelly b., vor mehr als 2 Jahren
  11. Super lern Programm!

    Von Jan Kullick, vor mehr als 2 Jahren
  12. Danke für die Hilfe!! Jetzt weiss ich wieder wie man eine Mittelsenkrechte zu konstruiren hat! ;)

    Von Yannick Preusse, vor fast 3 Jahren
  13. Sehr gut!
    Ich schreibe am nächsten Tag eine arbeit und ich habe vergessen wie eine Mittelsenkrechte geht.
    Ich habe mir das Video angeguckt und jetzt hoffe ich das ich alles richtig in der arbeit habe.
    Danke und machen sie weiter so!

    Von Knuffelraja, vor fast 3 Jahren
  14. sehr gut!

    Von Petramoess, vor fast 3 Jahren
  15. super

    Von Bo Gun H., vor etwa 3 Jahren
  16. Sehr hilfreich! Ich habe die wichtigsten Themen des letzten Schuljahres nochmal wiederholt und das Video hat mir sehr dabei geholfen.

    Von Noemi P., vor mehr als 3 Jahren
  17. dein video war sehr hilfreich ! ich habe davon ein test und durch das video hab ich ein besseres gefühl;))

    Von Pema L., vor mehr als 3 Jahren
  18. @Service 14: Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die kein Anfang und kein Ende und somit unendlich lang ist. Das kann man natürlich nicht zeichnen. Wie lang du die Mittelsenkrechte nund in den Heft zeichnest, kannst du selber bestimmen. Sie sollte aber nicht zu kurz und nicht zu lang sein. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  19. ?

    Von Sven W., vor fast 4 Jahren
  20. wie lang muss die mittelsenkrechte sein

    Von Sven W., vor fast 4 Jahren
  21. Danke.Jetzt verstehe ich es!

    Von Amelie Sohler, vor fast 4 Jahren
  22. @Amelie Sohler: Die Konstruktion einer Mittelsenkrechte zu einer Strecke kannst du auch für Dreiecke verwenden. Bei einem Dreieck ABC kannst du die Mittelsenkrechten jeweils zu den Strecken AB, AC und BC konstruieren. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  23. Danke ,aber wie geht das mit einem Dreieck?!

    Von Amelie Sohler, vor fast 4 Jahren
  24. Danke das Video hat mir sehr geholfen

    Von Fc Lopez, vor mehr als 4 Jahren
  25. Sehr hilfreich, danke dir ❤️

    Von Eliasludwig, vor mehr als 4 Jahren
  26. Zum glück gibt es Sofatutor ich hoffe diese und dieses Viedeo die es hier gibt helfe mir morgen in der Klassenarbeit in Geometrie in Mathe. ;)

    Von Deleted User 159318, vor mehr als 5 Jahren
  27. das video war gut

    Von Malexoae, vor mehr als 5 Jahren
  28. Um meine 2 in Math zu behalten habe ich mir dieses Video vor der morgigen Arbeit noch einmal angekuckt.Hat geholfen :)

    Von Malte Breede, vor mehr als 5 Jahren
  29. Du bist die beschte!!!:D

    Von Ewaldderr, vor fast 6 Jahren
  30. Hat mir geholfen

    Von Herrderringe, vor etwa 6 Jahren
  31. Hallo Mandy,
    das Video war echt klasse!!!
    Das ist das beste in der Kategorie 6.Klasse Mathe.

    Von Pdmm, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Mittelsenkrechte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelsenkrechte kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere den Begriff Mittelsenkrechte.

    Tipps

    Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten.

    Eine Gerade hat im Gegensatz zu einer Strecke weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

    Die Mittelsenkrechte ist hier blau eingezeichnet.

    Lösung

    Hier siehst du die Strecke $\overline{AB}$ und die zugehörige Mittelsenkrechte blau eingezeichnet.

    Der Punkt in dem Winkel zeigt an, dass die Mittelsenkrechte (das zeigt auch bereits der Name) senkrecht zu der Strecke verläuft. Sie schneidet die Gerade außerdem genau in der Mitte.

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und diese halbiert.

    Das bedeutet insbesondere, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den beiden Punkten $A$ und $B$ hat. Somit kann die Mittelsenkrechte auch als Menge aller Punkte definiert werden, welche sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.

  • Fasse die Eigenschaften der Mittelsenkrechten zusammen.

    Tipps

    Der Begriff „senkrecht“ zeigt einen rechten Winkel an.

    Beachte, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ hat.

    Lösung

    Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.

    Somit gilt:

    • $\left|\overline{AP}\right|=\left|\overline{BP}\right|$
    • $\left|\overline{AQ}\right|=\left|\overline{BQ}\right|$
    Insbesondere liegt der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ auf der Mittelsenkrechten. Das bedeutet, dass diese die Strecke halbiert. Darüber hinaus verläuft die Mittelsenkrechte senkrecht zu der Strecke.

    Daher kommt auch der Name.

  • Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten.

    Tipps

    Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, welche den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ haben.

    Wenn du einen Kreis um $A$ zeichnest, hat jeder Punkt auf dem Kreisrand den gleichen Abstand zu $A$.

    Lösung

    Hier siehst du die Konstruktionsschritte:

    1. Zunächst zeichnest du die Strecke $\overline{AB}$.
    2. Dann zeichnest du sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem gleichen Radius. Dieser muss größer sein als die Hälfte der Streckenlänge.
    3. Die beiden Kreise schneiden sich in den beiden Punkten $R$ und $S$. Jeder der beiden Punkte hat den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$.
    4. Zeichne zuletzt eine Gerade durch die beiden Punkte $R$ und $S$. Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte.
  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Verwende diese Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Dies ist ein besonderer Fall eines gleichschenkligen Dreiecks.

    Ein Dreieck hat drei Höhen. Zu jeder Seite ist die Höhe erklärt als das Lot des dieser Seite gegenüber liegenden Punktes auf diese Seite.

    Lösung

    Das Dreieck $\Delta ABC$ ist gleichseitig.

    Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ teilt dieses Dreieck in zwei kongruente Dreiecke. Sie ist auch gleichzeitig Höhe und Winkelhalbierende.

    Dies gilt ebenso für die Mittelsenkrechten der Strecken $\overline{AC}$ sowie $\overline{BC}$.

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist dies nicht immer der Fall, sondern nur bei der Mittelsenkrechten der Basis: Auch diese teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke und ist gleichzeitig auch noch Höhe und Winkelhalbierende.

    Dies gilt nicht für die Mittelsenkrechten der beiden Schenkel.

  • Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

    Tipps

    Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke.

    Die Mittelsenkrechte verläuft senkrecht zu der Strecke.

    Lösung

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eindeutig: Sie verläuft senkrecht zu dieser Strecke und halbiert diese.

    Das bedeutet, dass die hier blau gezeichnete Gerade die Mittelsenkrechte ist.

    Hier siehst du Begründungen, warum die anderen Geraden nicht die Mittelsenkrechte sein können:

    • Es gibt noch zwei weitere Geraden, die senkrecht zu der Strecke verlaufen. Diese halbieren jedoch nicht die Strecke.
    • Zwei Geraden halbieren zwar die Strecke, verlaufen jedoch nicht senkrecht zu dieser.
    • Die letzte verbleibende Gerade verläuft parallel zu der Strecke. Sie schneidet die Strecke nicht.
  • Weise nach, dass die Gerade, welche alle Punkte mit dem gleichen Abstand zu den Endpunkten einer Strecke beinhaltet, zu dieser senkrecht verläuft.

    Tipps

    Verwende den Kongruenzsatz SSS. Zwei Dreiecke sind kongruent, das bedeutet deckungsgleich, wenn sie in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

    Es gilt der Winkelsummensatz:

    In jedem beliebigen Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel $180^\circ$.

    Lösung

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke wird so konstruiert, dass zwei Kreise mit gleichem Radius um die Endpunkte der Strecke gezeichnet werden. Der Radius muss dabei größer als die Hälfte der Streckenlänge sein.

    Die Gerade durch die so erhaltenen Schnittpunkte der beiden Kreise ist die Mittelsenkrechte. Dass diese die Strecke in deren Mittelpunkt schneidet, folgt daraus, dass jeder Punkt auf der Strecke den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten hat.

    Hier siehst du nun, wie mit Kongruenzsätzen nachgewiesen werden kann, dass die Mittelsenkrechte auch senkrecht zu der Strecke verläuft.

    Wenn der Radius der beiden Kreise gleich der Länge der Strecke ist, erhältst du ein gleichseitiges Dreieck $\Delta ABC$. Alle Innenwinkel sind gleich groß, also $60^\circ$.

    Es gilt:

    • $\left|\overline{AC}\right|=\left|\overline{BC}\right|$
    • $\left|\overline{AM}\right|=\left|\overline{MB}\right|$
    • $\left|\overline{MC}\right|=\left|\overline{MC}\right|$
    Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke $\Delta AMC$ sowie $\Delta BMC$ in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Das heißt, diese Dreiecke sind kongruent. Dann sind insbesondere auch alle Innenwinkel gleich groß: $\angle(AMC)=\angle(BMC)$.

    Da die beiden Winkel gemeinsam $180^\circ$ ergeben, gilt somit

    $\angle(AMC)+\angle(BMC)=\angle(AMC)+\angle(AMC)=2\cdot \angle(AMC)=180^\circ$.

    Dividiere zuletzt durch $2$, so erhältst du:

    $\angle(AMC)=90^\circ$.

    Da $\angle(AMC) = \angle(BMC)$ ist auch $\angle(BMC) = 90^\circ$.

    Damit ist die Aussage bewiesen, dass die so konstruierte Gerade die Strecke in einem rechten Winkel schneidet.

    Übrigens: Es gilt $\angle(ACM)=\angle(BCM)=30^\circ$.