30 Tage kostenlos testen: Mehr Spaß am Lernen.
30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage kostenlos testen

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen 06:26 min

Textversion des Videos

Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen

Hallo. Wir sind bei Punkt vier unserer Funktionsuntersuchung und das bedeutet, wir bestimmen die Extremstellen. Und bevor es richtig losgeht, klären wir zwei Begriffe. Eine Extremstelle ist die x-Koordinate eines Extrempunktes. Wenn nach einem Extrempunkt gefragt ist, sind die x- und die y-Koordinaten nötig. Da oft nach Extrempunkt gefragt ist, bestimmen wir jetzt auch beide Koordinaten, obwohl da nur Extremstelle steht. Worum wir uns jetzt kümmern, ist der Ablauf einer Extremstellenbestimmung. Die einzelnen Schritte, also ableiten, Gleichungen lösen, Funktionswerte einsetzen, brauchen wir nicht zu machen. Das kannst du bereits. Wir bilden die erste Ableitung, dann bilden wir die zweite Ableitung, dann setzen wir die erste Ableitung gleich null. Denn die notwendige Bedingung besagt, dass sich nur an Nullstellen der ersten Ableitung Extrema befinden können. Das ist eine Gleichung, die hat eine oder mehrere Lösungen. Und diese setzen wir dann in die zweite Ableitung ein, weil die hinreichende Bedingung besagt, dass, wenn die erste Ableitung null ist und die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist, dass sich dann dort ein Extremum befindet. Sollte die zweite Ableitung nicht ungleich null sein, ist das schade. Also, so schlimm ist es auch nicht. Wenn das in einer Klausuraufgabe vorkommt, dann steht da auch, wie man jetzt weiter verfahren soll. Sollte die zweite Ableitung ungleich null sein, gucken wir uns an, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Sollte sie kleiner als null sein an dieser Stelle, rechnen wir an dieser Stelle den Funktionswert aus und haben dann einen Hochpunkt mit diesen Koordinaten. Sollte die zweite Ableitung größer als null sein an dieser Stelle, rechnen wir auch den Funktionswert aus und wir haben dann einen Tiefpunkt. So, dann geht es los mit den ersten beiden Ableitungen. Diese sind 12x2-200x+600 und die zweite Ableitung ist 24x-200. Wir setzen jetzt die erste Ableitung gleich null, weil uns nämlich die notwendige Bedingung folgendes sagt: Die notwendige Bedingung lautet: Nur dort wo f´(x)=0 ist, kann sich eine Extremstelle befinden. Wir setzen also die erste Ableitung gleich null. Das heißt, wir haben 12x2-200x+600=0. Das ist eine quadratische Gleichung und die hat die Lösungen x1 und x2, die da sind 25+-5×√7/3. Diese Nullstellen der ersten Ableitung setzen wir jetzt in die zweite Ableitung ein, denn die hinreichende Bedingung besagt: Gilt für eine bestimmte Stelle x erstens: f´(x)=0 und zweitens: f´´(x)≠0, so ist diese Stelle eine Extremstelle. Wir erhalten also zunächst 24×(25+5×√7)/3-200. Und hier ist es wichtig, dass du genau diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzt und keinen gerundeten Wert, denn wir wollen wissen, ob genau an dieser Stelle die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Wir können das jetzt in den Taschenrechner eingeben, dauert aber zu lange. Wir können es auch abschätzen. 25 ist ungefähr 24/3=8. √7 ist ungefähr drei mit drei gekürzt bleibt die fünf übrig. Hier steht also 13×24 ist auf jeden Fall größer als 200. Deshalb ist die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als null. Und damit haben wir an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Und jetzt kommen die gerundeten Werte ins Spiel. Der Tiefpunkt ist nämlich bei ungefähr 12,7429 und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr -315,5652. Ob man da jetzt auf vier Stellen rundet oder nicht, weiß ich nicht. Kommt auf den Sachzusammenhang an. Ich runde jetzt hier einfach mal auf vier Stellen. Wir setzen die zweite Lösung in die zweite Ableitung ein und erhalten 24×(25-5×√7)/3-200. Und jetzt können wir uns überlegen, ob das größer oder kleiner als null ist. Ich schätze das mal hier quasi nach oben ab. Und das hier schätze ich nach unten ab. Wir sagen mal, Wurzel sieben ist ungefähr zwei. Also 10, 25-10=15 durch drei ist fünf. 5×24, also das ist ein bisschen zu groß. 5×24 ist auf jeden Fall kleiner als 200. Und deshalb ist diese Ableitung kleiner als null. Das heißt, wir haben an dieser Stelle einen Hochpunkt. Und diese Stelle ist ungefähr 3,9237. Und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr 1056,3059. So, wir haben also gesehen, wie wir die Extrempunkte bestimmen können. Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Und wenn die dann größer als null ist, haben wir ein Tiefpunkt. Wenn sie kleiner als null ist, haben wir ein Hochpunkt. Das ist schon alles. Viel Spaß damit. Tschüss.

8 Kommentare
  1. Default

    Hallo,
    Ich finde,dass Herr Wabnik die Zwischenschritte genauer erklären sollte da man an manchen Stellen einfach nicht mitkommt. Vor allem wenn man seine vorherigen Videos nicht alle angeschaut hat.

    Von Bitabuerk, vor 4 Monaten
  2. Img 20180314 122805 027

    @Toll201133 Hallo Toll, um Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu finden musst du die Funktion erstmal auf Extremstellen untersuchen. Dazu setzt du die erste Ableitung gleich Null: f'(x)=0. Das stellst du dann nach x um. Die Werte die du für x herausbekommst sind potentielle Extremstellen. Um zu überprüfen ob es sich um eine Extremstelle handelt, setzt du deinen x-Wert in die zweite Ableitung f''(x) ein. Dieser muss ungleich 0 sein. Dann ist das x eine Extremstelle. Gilt nun f''(x)<0, dann ist es ein Hochpunkt. Gilt f''(x)>0, dann ist es ein Tiefpunkt. Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Hjördis Leiser, vor 5 Monaten
  3. Default

    Ich verstehe nicht wie er auf die Hoch und Tiefpunkte kommt... Könnte es mir jmd erklären?

    Von Toll201133, vor 5 Monaten
  4. Felix red

    Hallo Julie,

    hier wurde eine andere Variante zur Lösung von quadratischen Gleichungen gewählt: die abc-Formel. Wenn ihr in der Schule die p-q-Formel verwendet, mach dir keine Sorgen und verwende diese auch weiterhin. Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis.

    Viele Grüße, Felix

    Von Felix T., vor fast 2 Jahren
  5. P1160500

    ich verstehe den schritt nicht wie man auf die Werte 25+- 5 Wurzel 7 /3 kommt?

    Von Julie L., vor fast 2 Jahren
  1. Felix

    @Joan F.: Unter der Wurzel steht b²-4ac=40000-4*12*600=11200 und die Wurzel aus 11200 beträgt 40*Wurzel(7). Wenn du nun in die abc-Formel einsetzt bekommst du (200 PlusMinus 40*Wurzel(7))/24. Wenn du Zähler und Nenner jeweils durch 8 dividierst, dann bekommst du (25 PlusMinus 5*Wurzel(7))/3. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Martin B., vor fast 2 Jahren
  2. Aaa

    er könnte ein bisschen genauer erklären was er macht und wie, Z.B woher bekommt er den y Wert vom Tiefpunkt, und wie...Das video hat mir aber gefallen.

    Von Joan F., vor fast 2 Jahren
  3. Aaa

    bei der abc formel erhalte ich keine 3 im nenner sondern eine 6!!

    Von Joan F., vor fast 2 Jahren
Mehr Kommentare