Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen 06:26 min

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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen

Hallo. Wir sind bei Punkt vier unserer Funktionsuntersuchung und das bedeutet, wir bestimmen die Extremstellen. Und bevor es richtig losgeht, klären wir zwei Begriffe. Eine Extremstelle ist die x-Koordinate eines Extrempunktes. Wenn nach einem Extrempunkt gefragt ist, sind die x- und die y-Koordinaten nötig. Da oft nach Extrempunkt gefragt ist, bestimmen wir jetzt auch beide Koordinaten, obwohl da nur Extremstelle steht. Worum wir uns jetzt kümmern, ist der Ablauf einer Extremstellenbestimmung. Die einzelnen Schritte, also ableiten, Gleichungen lösen, Funktionswerte einsetzen, brauchen wir nicht zu machen. Das kannst du bereits. Wir bilden die erste Ableitung, dann bilden wir die zweite Ableitung, dann setzen wir die erste Ableitung gleich null. Denn die notwendige Bedingung besagt, dass sich nur an Nullstellen der ersten Ableitung Extrema befinden können. Das ist eine Gleichung, die hat eine oder mehrere Lösungen. Und diese setzen wir dann in die zweite Ableitung ein, weil die hinreichende Bedingung besagt, dass, wenn die erste Ableitung null ist und die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist, dass sich dann dort ein Extremum befindet. Sollte die zweite Ableitung nicht ungleich null sein, ist das schade. Also, so schlimm ist es auch nicht. Wenn das in einer Klausuraufgabe vorkommt, dann steht da auch, wie man jetzt weiter verfahren soll. Sollte die zweite Ableitung ungleich null sein, gucken wir uns an, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Sollte sie kleiner als null sein an dieser Stelle, rechnen wir an dieser Stelle den Funktionswert aus und haben dann einen Hochpunkt mit diesen Koordinaten. Sollte die zweite Ableitung größer als null sein an dieser Stelle, rechnen wir auch den Funktionswert aus und wir haben dann einen Tiefpunkt. So, dann geht es los mit den ersten beiden Ableitungen. Diese sind 12x2-200x+600 und die zweite Ableitung ist 24x-200. Wir setzen jetzt die erste Ableitung gleich null, weil uns nämlich die notwendige Bedingung folgendes sagt: Die notwendige Bedingung lautet: Nur dort wo f´(x)=0 ist, kann sich eine Extremstelle befinden. Wir setzen also die erste Ableitung gleich null. Das heißt, wir haben 12x2-200x+600=0. Das ist eine quadratische Gleichung und die hat die Lösungen x1 und x2, die da sind 25+-5×√7/3. Diese Nullstellen der ersten Ableitung setzen wir jetzt in die zweite Ableitung ein, denn die hinreichende Bedingung besagt: Gilt für eine bestimmte Stelle x erstens: f´(x)=0 und zweitens: f´´(x)≠0, so ist diese Stelle eine Extremstelle. Wir erhalten also zunächst 24×(25+5×√7)/3-200. Und hier ist es wichtig, dass du genau diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzt und keinen gerundeten Wert, denn wir wollen wissen, ob genau an dieser Stelle die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Wir können das jetzt in den Taschenrechner eingeben, dauert aber zu lange. Wir können es auch abschätzen. 25 ist ungefähr 24/3=8. √7 ist ungefähr drei mit drei gekürzt bleibt die fünf übrig. Hier steht also 13×24 ist auf jeden Fall größer als 200. Deshalb ist die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als null. Und damit haben wir an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Und jetzt kommen die gerundeten Werte ins Spiel. Der Tiefpunkt ist nämlich bei ungefähr 12,7429 und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr -315,5652. Ob man da jetzt auf vier Stellen rundet oder nicht, weiß ich nicht. Kommt auf den Sachzusammenhang an. Ich runde jetzt hier einfach mal auf vier Stellen. Wir setzen die zweite Lösung in die zweite Ableitung ein und erhalten 24×(25-5×√7)/3-200. Und jetzt können wir uns überlegen, ob das größer oder kleiner als null ist. Ich schätze das mal hier quasi nach oben ab. Und das hier schätze ich nach unten ab. Wir sagen mal, Wurzel sieben ist ungefähr zwei. Also 10, 25-10=15 durch drei ist fünf. 5×24, also das ist ein bisschen zu groß. 5×24 ist auf jeden Fall kleiner als 200. Und deshalb ist diese Ableitung kleiner als null. Das heißt, wir haben an dieser Stelle einen Hochpunkt. Und diese Stelle ist ungefähr 3,9237. Und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr 1056,3059. So, wir haben also gesehen, wie wir die Extrempunkte bestimmen können. Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Und wenn die dann größer als null ist, haben wir ein Tiefpunkt. Wenn sie kleiner als null ist, haben wir ein Hochpunkt. Das ist schon alles. Viel Spaß damit. Tschüss.

8 Kommentare
  1. Default

    Hallo,
    Ich finde,dass Herr Wabnik die Zwischenschritte genauer erklären sollte da man an manchen Stellen einfach nicht mitkommt. Vor allem wenn man seine vorherigen Videos nicht alle angeschaut hat.

    Von Bitabuerk, vor 12 Monaten
  2. Img 20180314 122805 027

    @Toll201133 Hallo Toll, um Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu finden musst du die Funktion erstmal auf Extremstellen untersuchen. Dazu setzt du die erste Ableitung gleich Null: f'(x)=0. Das stellst du dann nach x um. Die Werte die du für x herausbekommst sind potentielle Extremstellen. Um zu überprüfen ob es sich um eine Extremstelle handelt, setzt du deinen x-Wert in die zweite Ableitung f''(x) ein. Dieser muss ungleich 0 sein. Dann ist das x eine Extremstelle. Gilt nun f''(x)<0, dann ist es ein Hochpunkt. Gilt f''(x)>0, dann ist es ein Tiefpunkt. Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Hjördis Leiser, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    Ich verstehe nicht wie er auf die Hoch und Tiefpunkte kommt... Könnte es mir jmd erklären?

    Von Toll201133, vor etwa einem Jahr
  4. Felix red

    Hallo Julie,

    hier wurde eine andere Variante zur Lösung von quadratischen Gleichungen gewählt: die abc-Formel. Wenn ihr in der Schule die p-q-Formel verwendet, mach dir keine Sorgen und verwende diese auch weiterhin. Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis.

    Viele Grüße, Felix

    Von Felix T., vor mehr als 2 Jahren
  5. P1160500

    ich verstehe den schritt nicht wie man auf die Werte 25+- 5 Wurzel 7 /3 kommt?

    Von Julie L., vor mehr als 2 Jahren
  1. Felix

    @Joan F.: Unter der Wurzel steht b²-4ac=40000-4*12*600=11200 und die Wurzel aus 11200 beträgt 40*Wurzel(7). Wenn du nun in die abc-Formel einsetzt bekommst du (200 PlusMinus 40*Wurzel(7))/24. Wenn du Zähler und Nenner jeweils durch 8 dividierst, dann bekommst du (25 PlusMinus 5*Wurzel(7))/3. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 2 Jahren
  2. Aaa

    er könnte ein bisschen genauer erklären was er macht und wie, Z.B woher bekommt er den y Wert vom Tiefpunkt, und wie...Das video hat mir aber gefallen.

    Von Joan F., vor mehr als 2 Jahren
  3. Aaa

    bei der abc formel erhalte ich keine 3 im nenner sondern eine 6!!

    Von Joan F., vor mehr als 2 Jahren
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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die notwendige und hinreichende Bedingung zur Überprüfung der Extremstellen.

    Tipps

    Beachte, dass in jedem Extremum eine waagerechte Tangente vorliegt.

    Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente.

    Es gibt auch Stellen mit waagerechter Tangente, die keine Extremstellen sind.

    Der entsprechend zugehörige Punkt wird dann als Sattelpunkt bezeichnet. Bei der Funktion $f(x)=x^3$ befindet sich im Koordinatenursprung $(0|0)$ ein Sattelpunkt.

    Nur wenn du einen Hund vor dir hast (notwendige Bedingung), kann es sich um einen Beagle halten. Es muss allerdings kein Beagle sein (hinreichende Bedingung), es könnte auch ein Mops sein.

    Lösung

    Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet: Nur dort, wo $f'(x)=0$ ist, kann sich eine Extremstelle befinden.

    Die hinreichende Bedingung lautet: Gilt für eine bestimmte Stelle $x$

    1. $f'(x)=0$ und
    2. $f'(x)\neq0$,
    so ist diese Stelle eine Extremstelle.

  • Gib den Unterschied zwischen Extremstellen und Extrempunkten an.

    Tipps

    Jeder Punkt im Koordinatensystem hat eine x-Koordinate sowie eine y-Koordinate. Diese werden - wie hier abgebildet für den Punkt $P$ - notiert.

    Die Funktion $f(x)=x-2$ hat eine Nullstelle bei $x=2$. Wir können dann auch sagen, dass ein Nullpunkt gegeben ist durch $(2|0)$.

    Die Extremstelle erhält man durch Auflösen einer Gleichung nach $x$.

    Die y-Koordinate des Extrempunktes erhält man durch Einsetzen der Extremstelle in der Funktionsgleichung.

    Lösung

    Wenn in der Mathematik von einer Stelle gesprochen wird, ist damit üblicherweise ein $x$ gemeint:

    • Eine Nullstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet.
    • Eine Extremstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Extremum vorliegt.
    Im Gegensatz dazu ist ein Extrempunkt ein Punkt im Koordinatensystem: Es ist also die x- sowie die y-Koordinate anzugeben.

    Die Stelle, an welcher ein Funktionsgraph die y-Achse schneidet, wird übrigens als y-Achsenabschnitt bezeichnet,

    In Abituraufgaben kann die Frage nach Extrema auch wie folgt gestellt werden: „Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema und geben Sie deren Art und Lage an.“

    Die Art wäre „Tiefpunkt“ oder „Hochpunkt“ und die Lage die genaue Lage im Koordinatensystem, also die x- und y-Koordinate. Man schreibt dies folgendermaßen:

    • $HP(x_E|f(x_E))$ oder
    • $TP(x_E|f(x_E))$
  • Bestimme die Extrempunkte der Funktion.

    Tipps

    Du kannst nicht überprüfen, ob eine Stelle wirklich eine Extremstelle ist, wenn du nicht vorher überprüft hast, ob es eine sein könnte.

    Die notwendige Bedingung ist das Lösen einer Gleichung. Erst wenn du dies getan hast, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen.

    Die Extremstellen sind exakt angegeben, die entsprechenden Punkte gerundet auf eine Nachkommastelle.

    Du kannst die Extremstellen auch mit dem Taschenrechner berechnen. Beachte dabei jedoch, dass es zu Rundungsfehlern kommen kann.

    Rechne mit den Taschenrechner-genauen Werten.

    Da die Funktion stetig ist, muss die y-Koordinate des Hochpunktes größer sein als die des Tiefpunktes.

    Lösung

    Zunächst muss zur Bestimmung der Extremstellen die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. An allen Stellen, die diese Gleichung lösen, liegt eine waagerechte Tangente vor. Ohne waagerechte Tangente kann es kein Extremum geben. Dies ist die notwendige Bedingung:

    $f'(x)=0~\Leftrightarrow~12x^2-200x+600=0$.

    Um die pq-Formel anwenden zu können, muss zunächst durch $12$ dividiert werden; dies führt zu $x^2-\frac{50}3+50=0$. Wir verwenden dann die pq-Formel:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-\frac{50}3}2\pm\sqrt{\left(\frac {-\frac{50}3}2\right)^2-50}\\ &=&\frac{25}3\pm\sqrt{\frac{625}9-\frac{450}9}\\ &=&\frac{25}3\pm\frac{5\sqrt 7}3\\ x_1&=&\frac{25+5\sqrt 7}{3}\approx 12,7\\ x_2&=&\frac{25-5\sqrt 7}{3}\approx 3,9 \end{array}$

    Nun muss für jede dieser Lösungen geprüft werden, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt, also die hinreichende Bedingung:

    • $f''\left(24\cdot \frac{25+5\sqrt 7}{3}\right)\approx 105,8>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor, dessen y-Koordinate man durch Einsetzen von $x= \frac{25+5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung erhält: $y\approx -315,6$, also $TP(12,7|-315,6)$.
    • $f''\left(24\cdot \frac{25-5\sqrt 7}{3}\right)\approx -105,8<0$, also liegt hier ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Punktes erhält man durch Einsetzen von $x=\frac{25-5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung $y\approx 1056,3$, also $HP(3,9|1056,3)$.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=x^5-15x^3$ auf Extrema.

    Tipps

    Die Funktion $f(x)$ ist punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.

    Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt für alle $x$ die abgebildete Gleichheit. Der Betrag eines Funktionswertes ist für $x$ und $-x$ identisch.

    Hat eine punktsymmetrische Funktion einen Hochpunkt $HP(3|7)$, so hat sie auch einen Tiefpunkt $TP(-3|-7)$.

    Zum einen wechselt die Art des Extrempunktes und zum anderen kehrt sich in beiden Koordinaten das Vorzeichen um.

    Beachte: Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle, die $f'(x)=0$ erfüllt, ebenfalls $0$ ist, so ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt.

    Lösung

    Für die Überprüfung auf Extrema benötigt man die ersten beiden Ableitungen:

    • $f'(x)=5x^4-45x^2$
    • $f''(x)=20x^3-90x$
    Notwendige Bedingung: Zunächst wird für die Gleichung $f'(x)=0$ der Term $5x^2$ ausgeklammert und man erhält $5(x^2-9)x^2=0$. Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist
    • entweder $x^2-9=0$
    • oder $x^2=0$, dies ist äquivalent zu $x=0$.
    Die obere Gleichung führt zu $x=\pm\sqrt{9}=\pm3$.

    Die Extremstellen lauten also $x_1=-3$; $x_2=0$ sowie $x_3=3$.

    Hinreichende Bedingung: Jede der Lösungen wird in die zweite Ableitung eingesetzt.

    • $f''(x_2)=f''(0)=0$. Diese Bedingung ist nicht erfüllt. Hier könnte tatsächlich trotzdem noch ein Extrempunkt vorliegen. Da jedoch $f'''(x)=60x^2-90$ an dieser Stelle ungleich $0$ ist, liegt ein Wendepunkt vor. Dieser hat die Besonderheit, dass eine waagerechte Tangente, das bedeutet $f'(0)=0$, vorliegt. Man nennt einen solchen Wendepunkt auch Sattelpunkt.
    • $f''(x_3)=f''(3)=270>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor: $TP(3|-162)$. Die y-Koordinate des Tiefpunktes erhält man durch Einsetzen von $x_3=3$ in die Funktionsgleichung.
    • Da die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist (alle Exponenten sind ungerade), muss es auch noch einen Hochpunkt geben. Dieser ist $HP(-3|162)$. Die Vorzeichen der Koordinaten kehren sich jeweils um.

  • Leite die Funktion zweimal ab.

    Tipps

    Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

    Wenn du die zweite Ableitung nochmal ableitest, erhältst du $f'''(x)=6$.

    Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.

    Lösung

    Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt, dass die erste Ableitung an diesen Stellen $0$ sein muss. Die hinreichende Bedingung besagt, dass zusätzlich die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein soll. Das bedeutet, dass man die ersten beiden Ableitungen der Funktion benötigt.

    Um diese zu bestimmen, verwendet man die folgenden Regeln:

    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$ sowie
    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$.
    Machen wir uns an die Ableitung:

    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(x^3)'-(3x^2)'+(4)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3x^2-6x&|&\text{Faktorregel und Potenzregel} \end{array}$

    Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung ebenso bestimmt werden:

    $f''(x)=6x-6$.

  • Ermittle die Extrempunkte der Funktion.

    Tipps

    Zur Lösung der Gleichung $f'(x)=0$ kannst du $3x$ ausklammern.

    Du kannst die Nullstellen dann „ablesen“.

    Es gibt noch einen Tiefpunkt, dieser ist $TP(2|0)$.

    Um die y-Koordinate eines Punktes bei bekannter x-Koordinate zu erhalten, muss die x-Koordinate in der Funktionsgleichung eingesetzt werden.

    Zum Beispiel ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$.

    Lösung

    Der Ablauf bei der Bestimmung von Extrempunkten ist immer gleich:

    1. Es wird die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst.
    2. Die Lösungen dieser Gleichung werden in der zweiten Ableitung eingesetzt.
    3. Ist diese ungleich $0$, liegen Extrema vor.
    4. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt an, welches Extremum vorliegt: Positive (negative) zweite Ableitung bedeutet Tiefpunkt (Hochpunkt).
    5. Es muss noch durch Einsetzen des entsprechenden x-Wertes in der Funktionsgleichung die y-Koordinate des jeweiligen Punktes bestimmt werden.
    Man benötigt somit die ersten beiden Ableitungen der Funktion:

    • $f(x) = x^3-3x^2+4$
    • $f'(x) = 3x^2-6x$
    • $f''(x) = 6x-6$
    Zuächst wird die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst. Ausklammern von $3x$ führt zu $3x(x-2) =0$. Die gesuchten Lösungen sind somit $x_1=0$ sowie $x_2=2$.

    Nun wird jeweils die zweite Ableitung an jeder dieser Stellen überprüft:

    • $f''(0)=-6\neq 0$, das bedeutet, dass ein Extremum vorliegt.
    • $f''(2)=12-6=6\neq 0$. Also liegt auch hier ein Extremum vor.
    Da nun jeweils die zweite Ableitung an der jeweiligen Stelle bereits bestimmt ist, kann anhand des Vorzeichens entschieden werden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt:
    • $f''(0)=-6<0$. Hier liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate des Hochpunktes ist $f(0)=4$, also $HP(0|4)$.
    • $f''(2)=6>0$. Dies heißt, dass ein Tiefpunkt vorliegt. Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$, also $TP(2|0)$.
    Der zugehörige Funktionsgraph ist hier zu sehen.