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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Ableitungen 06:13 min

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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Ableitungen

Hallo. Wir machen eine Kurvendiskussion oder Funktionsuntersuchung, wie man auch sagt. Und zwar mit einer einfachen Funktion. Bedeutet, die Funktion hat keine Eigenschaften. Zumindest keine Eigenschaften, die einem bei der Kurvendiskussion gefährlich werden könnten. Gegeben ist f(x)=(30-2x)×(20-2x)×x. Und wir werden folgende Punkte untersuchen: erstens: die Ableitungen, zweitens: die Symmetrie, drittens: die Nullstellen, viertens: die Extremstellen, fünftens: die Wendestellen und sechstens: wir werden den Graphen zeichnen. Es gibt mehrere Auffassungen darüber, was eine Funktionsuntersuchung beinhaltet. Einig ist man sich aber, dass die sechs Punkte, die wir gerade gesehen haben, auf jeden Fall mit dabei sind. Also dann geht es los mit den Ableitungen. Die Funktion, die wir gegeben haben, ist eine ganzrationale Funktion und besteht aus drei Faktoren. Das bedeutet, wir könnten die Produktregel anwenden. Dann brauchen wir die Produktregel für drei Faktoren und die lautet: ist die Funktion f(x)=u(x)×v(x)×w(x), dann ist die Ableitung f´(x)=u´(x)×v(x)×w(x)+u(x)×v´(x)×w(x)+u(x)×v(x)+w´(x). Ja und das würde jetzt doch ein bisschen Arbeit machen. Und das wollen wir nicht, nein, das wollen wir überhaupt gar nicht. Nein nein nein. Wir können aber auch ausmultiplizieren und erhalten dann f(x)=4x3-100x2+600x. Und das lässt sich nun viel einfacher ableiten. Wir haben also f´(x) ist gleich- Naja, wir haben hier eine Summe stehen. Deshalb können wir die Summenregel verwenden. Die besagt, dass wir Summand weise ableiten können. Fangen wir also mit dem ersten Summanden an. Der ist 4x3. Wenn wir x3 ableiten, verwenden wir die Potenzregel und erhalten als Ableitung 3x2. Die 4 ist ein Faktor, darauf wenden wir die Faktorregel an. Die besagt, dass der Faktor einfach stehen bleibt. Also haben wir 4×3x2 und das sind 12x2. In dem zweiten Summanden befindet sich ein x2. Das leiten wir mit der Potenzregel ab und erhalten 2x1. Und x1 ist das gleiche wie x. Und deshalb können wir die eins weglassen. Nach der Faktorregel bleibt der Faktor erhalten. Dieser ist -100. Und den finden wir hier wieder. Und das lassen wir so natürlich nicht stehen. Und wir schreiben -200x. Der dritte Summand enthält ein x. Das ist nichts anderes als x1. Was wir mit der Potenzregel ableiten. Dann steht hier einmal x0. x0 = 1. Und 1×1=1. Nach der Faktorregel bleibt der Faktor einfach stehen. Und mal eins kann man weglassen. Und dann bleibt einfach die 600 übrig. So, und nun haben wir die erste Ableitung in voller Schönheit hier. f´(x)=12x2-200x+600. So, jetzt fehlt uns noch die zweite und dritte Ableitung. Und die können wir im Prinzip genauso berechnen, wie wir das gerade auch gemacht haben. Mit zunehmender Ableitung wird es ja immer einfacher. Aber daran liegt auch eine Gefahr, nämlich die Gefahr nachlässig zu werden. Aber das machen wir hier nicht. Nein nein nein. Wir ziehen unser Ding hier völlig entspannt und konzentriert durch. Die zweite Ableitung beginnt mit der Ableitung von x2. Dazu brauchen wir die Potenzregel. Und wir erhalten 2x1. Und das ist 2x. Die 12 ist ein Faktor. Und nach der Faktorregel bleibt dieser stehen. Also haben wir 12×2x und das sind 24x. Vor dem x steht -200. Das ist ein Faktor. Den können wir also einfach wieder hinschreiben. x ist x1, das leiten wir nach der Potenzregel ab. Das ist dann ein mal x0. x0=0. 1×1=1. Und diesen Faktor 1 können wir weglassen. 600=600×x0. x0 leiten wir nach der Potenzregel ab. Und wir erhalten 0×x-1. Irgendwas mal null ist immer null. Also auch 0×x-1. Der Faktor 600 bleibt stehen. Nach der Faktorregel: 600×0=0. Also kann das wieder weg. Die dritte Ableitung ist die Ableitung von 24x. Diese Ableitung ist 24. Plus die Ableitung von minus 200. Die ist null, also haben wir einfach hier eine 24 stehen. So, dann haben wir alles erledigt. Das, was du gerade gesehen hast, kannst du bei jeder ganz rationalen Funktion eigentlich gleich anwenden. Du kannst den Funktionsterm als Summe schreiben. Die hat dann einen besonderen Namen. Es ist Polynom. Ein Polynom besteht aus Summanden. Diese Summanden kannst du einzeln ableiten. Das besagt die Summenregel. Die Potenzen von x kannst du nach der Potenzregel ableiten. Und die Faktoren vor den Potenzen bleiben einfach stehen. Und das sagt uns die Faktorregel. Wenn du dieses Verfahren ein bisschen geübt hast, kannst du das in jeder Klausur sicher anwenden und hast damit schon mal einige freundliche Punkte auf deiner Seite. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Ableitungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Ableitungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Punkte an, die zu einer Kurvendiskussion gehören.

    Tipps

    Zusätzlich gehören auch noch Untersuchung auf Symmetrie sowie Zeichnen des Funktionsgraphen zu einer Kurvendiskussion.

    Baumdiagramme werden im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsrechnung gezeichnet.

    Normalerweise stellst du Ebenengleichungen in der Geometrie auf.

    Eine zentrische Streckung kennst du vielleicht noch aus der Geometrie.

    Lösung

    Die folgenden Punkte gehören zu einer Kurvendiskussion. Darüber hinaus können noch weiter führende Fragen gestellt werden, wie zum Beispiel Steigungswinkel oder Tangenten oder Flächenberechnung:

    1. Ableitungen
    2. Symmetrie
    3. Nullstellen
    4. Extremstellen
    5. Wendestellen
    6. Graph zeichnen
    Baumdiagramme kommen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Sowohl Ebenengleichungen als auch zentrische Streckung kommen in der Geometrie vor.

  • Gib die Ableitungsregeln an.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Potenzregel.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Summenregel.

    Zur Ableitung der einzelnen Summanden wird die Potenzregel verwendet.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Faktorregel.

    Der Faktor darf dabei nicht von $x$ abhängen. Zur Ableitung des Faktors, welcher von $x$ abhängt, wird die Potenzregel verwendet.

    Lösung

    Um gebrochen rationale Funktionen ableiten zu können, benötigt man einige Ableitungsregeln.

    Die Summenregel: Diese besagt, dass die Ableitung der Summe zweier (oder mehrerer) Funktionen gerade die Summe der Ableitungen der Funktionen ist:

    $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$

    Die Potenzregel gibt an, wie Potenzen abgeleitet werden können:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

    Hier sind ein paar Beispiele für diese Regel:

    • $(x^4)'=4x^{4-1}=4x^3$
    • $(x^8)'=8x^{8-1}=8x^7$
    • $(x^3)'=3x^2$
    Die Faktorregel besagt, dass die Ableitung des Vielfachen einer Funktion (dieses muss unabhängig von $x$ sein) das Vielfache der Ableitung ist:

    $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

  • Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Verwende die folgenden Ableitungsregeln

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$
    • Potenzregl $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und die dritte die Ableitung der zweiten.

    Die Funktion, so wie sie oben steht, könnte mit der Produktregel abgeleitet werden.

    Um die Ableitungsregeln anzuwenden, muss die Funktion ausmultipliziert werden.

    Beim Ableiten von ganzrationalen Funktionen wird der Grad der Funktion von Ableitung zu Ableitung immer kleiner.

    Lösung

    Um diese Funktion mit den Ableitungsregeln

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$
    anwenden zu können, muss die Funktion zunächst ausmultipliziert werden:

    $\begin{align} f(x) & =(600-60x-40x+4x^2)x\\ & =4x^3-100x^2+600x \end{align}$.

    Die erste Ableitung ist dann

    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(4x^3)'-(100x^2)'+(600x)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~4(x^3)'-100(x^2)'+600(x)'&|&\text{Faktorregel}\\ &=&~4\cdot 3x^2-100\cdot 2x^1+600\cdot 1x^0&|&\text{Potenzregel}\\ &=&~12x^2-200x+600 \end{array}$

    Ebenso können die beiden folgenden Ableitungen berechnet werden. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung

    $f''(x)=24x-200$

    und die dritte Ableitung die Ableitung der zweiten Ableitung

    $f'''(x)=24$.

  • Gib zu jeder der Funktionen die Ableitung an.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Potenzregel.

    Wenn du das Produkt eines Faktors sowie einer Potenz in $x$ ableiten sollst, kannst du die Faktorregel verwenden. Hier siehst du ein Beispiel.

    Alle Koeffizienten sind ganzzahlig.

    Lösung

    Ableiten ist ein sehr zentraler Punkt bei Kurvendiskussionen. Sowohl für die Bestimmung von Extrem- als auch von Wendestellen werden Ableitungen benötigt.

    Deshalb ist es extrem wichtig, Ableitungen gut zu üben. Dabei können die Ableitungsregeln (Summenregel, Potenzregel sowie Faktorregel) zum Ableiten von ganzrationalen Funktionen verwendet werden.

    Zur Ableitung von $f(x)=-4x^3+12x-7$:

    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(-4x^3)'+(12x)'-(7)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~-4(x^3)'+12(x^1)'-7(x^0)'&|&\text{Faktorregel}\\ &=&~-4\cdot 3x^2+12\cdot 1x^0-7\cdot 0x^{-1}&|&\text{Potenzregel}\\ &=&~-12x^2+12 \end{array}$

    Nun kann $g(x)=4x^4-3x^3+2x^2-x$ abgeleitet werden:

    $\begin{array}{rclll} g'(x)&=&~(4x^4)'-(3x^3)'+(2x^2)'-(x)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~4(x^4)'-3(x^3)'+2(x^2)'-(x^1)'&|&\text{Faktorregel}\\ &=&~4\cdot 4x^3-3\cdot 3x^2+2\cdot 2x^1-1x^0&|&\text{Potenzregel}\\ &=&~16x^3-9x^2+4x-1 \end{array}$

    Als letztes Beispiel wird $h(x)=1,2x^5-1,5x^4+2x^3-3,5x^2+7$ abgeleitet:

    $\begin{array}{rclll} h'(x)&=&~(1,2x^5)'-(1,5x^4)'+(2x^3)'-(3,5x^2)'+(7)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~1,2(x^5)'-1,5(x^4)'+2(x^3)'-3,5(x^2)'+7(x^0)'&|&\text{Faktorregel}\\ &=&~1,2\cdot 5x^4-1,5\cdot 4x^3+2\cdot 3x^2-3,5\cdot 2x^1+7\cdot 0x^{-1}&|&\text{Potenzregel}\\ &=&~6x^4-6x^3+6x^2-7x \end{array}$

  • Ermittle zu jeder der Funktionen die erste Ableitung.

    Tipps

    Verwende die folgenden Ableitungsregeln

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$
    • Potenzregl $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$

    Beachte, dass

    • $x=x^1$ und
    • $1=x^0$
    ist.

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$. Unter einer Konstanten versteht man alle Terme einer Funktionsgleichung, die nicht von $x$ abhängen. In der Regel steht diese Konstante am Ende der Funktionsgleichung, wie hier im allgemeinen Fall zu sehen ist. Die Konstante heißt hier $a_0$.

    Lösung

    Mit Hilfe der folgenden Ableitungsregeln kann man ganzrationale Funktionen ableiten:

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$
    Damit ist
    • $(x^4-3x^2)'=(x^4)'-(3x^2)'=4x^3-3\cdot 2x^1=4x^3-6x$
    • $(4x^3-2x^2)'=(4x^3)'-(2x^2)'=4\cdot 3x^2-2\cdot 2x^1=12x^2-4x$
    • $(x^3-3)'=(x^3)'-(3)'=3x^2-0=3x^2$
    • $(3x^4-4x^3)'=(3x^4)'-(4x^3)'=3\cdot 4x^3-4\cdot 3x^2=12x^3-12x^2$

  • Leite die Funktion dreimal ab.

    Tipps

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$.

    Verwende die

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und die dritte wiederum ist die Ableitung der zweiten.

    Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.

    Lösung

    Bei der Bestimmung der ersten Ableitung ist rechts immer die verwendete Ableitungsregel zu sehen:

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.
    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(3x^3)'-(4x^2)'+(8x)'-(12)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3(x^3)'-4(x^2)'+8(x)'-12(x^0)'&|&\text{Faktorregel}\\ &=&~3\cdot 3x^2-4\cdot 2x^1+8\cdot 1x^0-12\cdot 0x^{-1}&|&\text{Potenzregel}\\ &=&~9x^2-8x+8 \end{array}$

    Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung bestimmt werden:

    $f''(x)=18x-8$

    sowie die dritte Ableitung als Ableitung der zweiten

    $f'''(x)=18$.

    Übrigens: Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.