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Konvex und konkav – Anschauliche Bedeutung 00:36 min

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Transkript Konvex und konkav – Anschauliche Bedeutung

Wann ist eine Funktion konvex und konkav? Konvex ist eine Funktion im Intervall I, wenn der Graph mit größer werdenden x-Werten eine Linkskurve beschreibt. Im Koordinatensystem würde es ungefähr so aussehen. Man sagt auch, die Funktion dreht sich mit steigenden x-Werten gegen den Uhrzeigersinn. Und eine Funktion heißt konkav im Intervall I, wenn der Graph mit größer werdenden x-Werten eine Rechtskurve beschreibt. Oder, mit größeren x-Werten dreht sich die Funktion im Uhrzeigersinn.

Konvex und konkav – Anschauliche Bedeutung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Konvex und konkav – Anschauliche Bedeutung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu einer konvexen Funktion.

    Tipps

    Wie kann man sich den Unterschied zwischen konvex und konkav merken?

    Der erste Buchstabe, in dem sich die beiden Begriffe unterscheiden ist das „v“.

    Male dir ein „v“ auf ein Blatt. Dann hast du eine konvexe Funktion.

    Das Krümmungsverhalten, Links- oder Rechtskurve, wird in positiver x-Achsenrichtung betrachtet.

    Lösung

    Ein Funktion heißt konvex im Intervall $I$, wenn der Graph mit größer werdenden $x$-Werten eine Linkskurve beschreibt.

    Man sagt auch die Funktion dreht sich mit größer werdenden $x$-Werten gegen den Uhrzeigersinn.

  • Bestimme, welcher Funktionsgraph konvex und welcher konkav ist.

    Tipps

    Der Graph einer konvexen Funktion beschreibt bei größer werdenden $x$-Werten eine Linkskurve.

    Der Graph einer konvexen Funktion dreht sich bei größer werdenden $x$-Werten gegen den Uhrzeigersinn.

    Lösung

    Eine Funktion heißt konvex im Intervall $I$, wenn der Graph mit größer werdenden $x$-Werten eine Linkskurve beschreibt.

    Man sagt auch die Funktion dreht sich mit größer werdenden $x$-Werten gegen den Uhrzeigersinn.

    Der obere der beiden Funktionsgraphen ist konvex.

    Eine Funktion heißt konkav im Intervall $I$, wenn der Graph mit größer werdenden $x$-Werten eine Rechtskurve beschreibt.

    Dies kann man sich anschaulich wie folgt klarmachen: Der Graph dreht sich mit größer werdenden $x$-Werten im Uhrzeigersinn.

    Der untere der beiden Funktionsgraphen ist konkav.

  • Benenne die Eigenschaften von konkaven bzw. konvexen Funktionen.

    Tipps

    Wenn die eine Kurvenart zur Definition von konkav gehört, gehört die andere zur Definition von konvex.

    Wie kann man sich den Unterschied von konkav und konvex merken?

    Du kannst dir „konvex“ so klar machen, dass der erste Buchstabe, in welchem sich die beiden Begriffe unterscheiden, das „v“ ist. Dieser Buchstabe sieht so aus wie der Graph einer konvexen Funktion.

    Lösung

    Eine Funktion heißt konkav im Intervall $I$, wenn der Graph mit größer werdenden $x$-Werten eine Rechtskurve beschreibt.

    Ein Funktion heißt konvex im Intervall $I$, wenn der Graph mit größer werdenden $x$-Werten eine Linkskurve beschreibt.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Die Linse in unserem Auge, erkennbar an dem roten Pfeil, ist konvex.

    Dies ist der Funktionsverlauf der konvexen Funktion $y=x^2-2$.

    Übertrage diesen Graph auf ein Blatt und mache dir die obigen Aussagen an diesem Beispiel klar.

    Lösung

    In dem Bild ist der Graph einer konvexen Funktion zu erkennen. Die Sekante, welche durch die beiden Punkte $P$ und $Q$ verläuft, liegt komplett oberhalb des Graphen.

    Entsprechend liegt bei einer konkaven Funktion die Sekante komplett unterhalb des Graphen.

    Die Spiegelung an der $x$-Achse $-f(x)$ einer konvexen (konkaven) Funktion $f(x)$ ist konkav (konvex).

  • Gib die Bereiche an, in denen die Funktion konvex oder konkav ist.

    Tipps

    Eine Funktion ist auf einem Intervall $I$

    • konvex, wenn für größer werdende $x$-Werte der Graph eine Linkskurve beschreibt.
    • konkav, wenn für größer werdende $x$-Werte der Graph eine Rechtskurve beschreibt.

    Schau dir den Funktionsgraphen genau an. Kannst du erkennen, wo der Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskurve stattfindet?

    Lösung

    Eine Funktion ist auf einem Intervall $I$

    • konvex, wenn für größer werdende $x$-Werte der Graph eine Linkskurve beschreibt.
    • konkav, wenn für größer werdende $x$-Werte der Graph eine Rechtskurve beschreibt.
    Es kann durchaus Funktionen geben, welche sowohl Bereiche haben, in welchen sie konvex sind, als auch solche, in welchen sie konkav sind.

    Bei dem abgebildeten Funktionsgraphen der kubischen Funktion $y=x^3$ liegt

    • ein konvexer Verlauf für alle $x>0$, das heißt auf dem Intervall $I=(0;\infty)$, vor und
    • ein konkaver Verlauf für alle $x<0$, das heißt auf dem Intervall $I=(-\infty;0)$.

  • Untersuche die Graphen von quadratischen Funktion auf Konvexität oder Konkavität.

    Tipps

    Dies ist die Parabel zu $y=x^2+6x+9$.

    Dies ist die Parabel zu $y=-2x^2+3$.

    Die Öffnung der Parabel (nach oben oder nach unten) hängt ausschließlich von dem Faktor $a$ vor dem $x^2$ ab.

    Lösung

    Der Funktionsgraph der Funktion $y=ax^2+bx+c$ ist eine Parabel.

    Ob diese Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, hängt von dem Faktor $a$ vor dem $x^2$ ab:

    • für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet. Ein Beispiel hierfür, $y=x^2+6x+9$, also $a=1$, ist in dem Bild zu sehen. Dieser Funktionsgraph beschreibt eine Linkskurve, die Funktion ist demnach konvex.
    • für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Funktionsgraph beschreibt eine Rechtskurve, die Funktion ist demnach konkav.