Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick Übung

• Gib die Kongruenzsätze für Dreiecke an.

  Tipps

  Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn die Dreiecke sich gegenseitig abdecken, nachdem sie ausgeschnitten und übereinander gelegt wurden.

  Beachte, dass alle gleichseitigen Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen. Diese bemessen alle $60^\circ$.

  Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich zueinander, jedoch nicht kongruent.

  Kongruenz ist ein spezieller Fall von Ähnlichkeit.

  Bei ähnlichen Dreiecken stimmen alle Winkel überein.

  Die Kongruenzsätze geben auch an, wie ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn jeweils drei Größen übereinstimmen. Dabei sind dies nicht irgendwelche Größen:

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn

  • sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Seite“ oder kurz sss.
  • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Winkel Seite“ oder kurz sws.
  • sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Winkel Seite Winkel“ oder kurz wsw.
  • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem der längeren dieser Seiten gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Winkel“ oder kurz Ssw. Das erste „S“ ist großgeschrieben, um anzudeuten, dass dies die längere der beiden Seiten ist.

• Beschreibe, wie ein Dreieck nach dem Kongruenzsatz „sss“ konstruiert werden kann.

  Tipps

  Schaue dir das oben zu sehende Plandreieck an:

  • Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.
  • Die den Eckpunkten gegenüber liegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.

  Beachte, dass die beiden Endpunkte von $c$ die Punkte $A$ und $B$ sind.

  Lösung

  Die Kongruenzsätze zeigen nicht nur, wann zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, zueinander sind. Sie können auch wie folgt interpretiert werden, am Beispiel des Kongruenzsatzes sss:

  Wenn die drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben sind, so lässt dieses Dreieck sich eindeutig konstruieren.

  Es muss gelten, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten größer oder gleich der längeren Seite sein muss. Sei zum Beispiel $c$ die längste Seite, so muss $c\lt a+b$ gelten.

  Nun kann das Dreieck wie folgt konstruiert werden:

  1. Zeichne eine, zum Beispiel die längste Seite $c$.
  2. Die Endpunkte dieser Seite sind $A$ und $B$.
  3. Zeichne einen Kreis um $A$ ($B$) mit dem Radius $b$ ($a$).
  4. Dort, wo die beiden Kreise sich schneiden, befindet sich der Punkt $C$.
  5. Zuletzt werden sowohl $A$ als auch $B$ mit $C$ verbunden.

  Das Dreieck ist fertig konstruiert.

  Die beiden Kreise schneiden sich übrigens zweimal. Die resultierenden beiden Dreiecke sind kongruent zueinander.

• Erkläre die Konstruktion eines Dreiecks nach dem Kongruenzsatz „Ssw“.

  Tipps

  Achte darauf, mit welcher Seite angefangen wird. Überlege dir, an welcher Seite der Winkel $\gamma$ anliegt.

  Hier siehst du eine Konstruktionsvorlage mit den Eckpunkten, den Seiten und den Winkeln.

  Lösung

  Hier ist die komplette Konstruktion zu sehen.

  1. Zunächst wird die kürzere der beiden Seiten, also $a=6~cm$ gezeichnet. Sie Endpunkte sind $C$ und $B$.
  2. Dann wird der Winkel $\gamma$ in $C$ abgetragen. So erhält man eine Halbgerade. Diese ist hier grün gestrichelt.
  3. Um den Punkt $B$ zeichnet man einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die längere der beiden Seiten, also $c=9~cm$.
  4. Dieser Kreis schneidet die Halbgerade aus 2. in einem Punkt. Dies ist der dritte Punkt $A$ des Dreiecks.

• Entscheide, welcher der Kongruenzsätze erfüllt ist.

  Tipps

  • sss steht für „Seite Seite Seite“: Alle drei Seitenlängen sind bekannt.
  • sws steht für „Seite Winkel Seite“: Zwei Seitenlängen sowie der eingeschlossene Winkel sind bekannt.
  • wsw steht für „Winkel Seite Winkel“: Eine Seitenlänge sowie die beiden anliegenden Winkel sind bekannt.

  Beachte: Es ist nicht bei jedem Beispiel ein Kongruenzsatz gegeben.

  Versuche, das jeweilige Dreieck zu konstruieren.

  Beachte:

  • In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$ groß und die Summe der beiden übrigen Winkel beträgt ebenfalls $90^\circ$.
  • In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.

  Lösung

  Für die Kongruenzsätze müssen auf jeden Fall drei Größen bekannt sein. Wenn jedoch drei Winkel gegeben sind, sind die Dreiecke in der Regel ähnlich und nicht kongruent. Schauen wir uns die verschiedenen Fällen einmal genauer an:

  • Wenn nur eine Seite und ein Winkel (wie in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Hypotenuse bekannt ist) bekannt sind, lässt sich das Dreieck nicht eindeutig konstruieren.
  • Da nach dem Winkelsummensatz die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt, kennt man, wenn der rechte Winkel und ein spitzer Winkel bekannt sind, alle drei Winkel. Ist zusätzlich die Länge der Hypotenuse bekannt, gilt der Kongruenzsatz wsw.
  • Bei einem gleichseitigen Dreieck mit gegebener Seitenlänge sind alle drei Seitenlängen bekannt. Es gilt also der Kongruenzsatz sss. Allerdings sind in einem gleichseitigen Dreieck auch alle Winkel - je $60^\circ$ - gegeben. Man könnte daher auch für wsw argumentieren.
  • Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen an dem rechten Winkel an oder - anders ausgedrückt - schließen diesen ein. Es gilt also der Kongruenzsatz sws.

• Beschreibe, welche Auswirkung es auf die Konstruktion von Dreiecken hat, wenn drei Größen gemäß der Kongruenzsätze bekannt sind.

  Tipps

  Betrachte den Kongruenzsatz sws:

  • Zeichne eine der beiden Seiten.
  • Trage den Winkel ab und zeichne eine Halbgerade.
  • Trage die Länge der anderen Seite an dieser Halbgeraden ab.

  Führe die obige Konstruktion mit mehreren Freunden durch.

  Wenn ihr fertig seid, schneidet die Dreiecke aus und legt diese übereinander.

  Lösung

  Wenn man drei Größen gemäß den Kongruenzsätzen kennt, kann das zugehörige Dreieck eindeutig konstruiert werden. Das bedeutet, wenn zwei verschiedene Personen mit diesen Angaben jeweils ein Dreieck konstruieren, so kann man diese Dreiecke ausschneiden. Die Dreiecke decken sich gegenseitig komplett ab.

  Dies kann man sich zum Beispiel an wsw klarmachen:

  1. Man zeichnet zunächst die eine gegebene Seite mit den zugehörigen Endpunkten.
  2. Dann trägt man die bekannten Winkel an den entsprechenden Scheiteln ab. So erhält man zwei Halbgeraden.
  3. Dort, wo die beiden Halbgeraden sich schneiden, befindet sich der dritte Punkt des Dreiecks.

• Untersuche, was passiert, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist oder bei „Ssw“ der Winkel nicht der längeren Seite gegenüberliegt.

  Tipps

  Zeichne für sss die längere Seite und trage über jedem der beiden Endpunkte Kreise ab mit Radien, die so groß sind wie die beiden übrigen Seiten.

  Beachte, dass $c>a+b$ gilt, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist.

  Wählen wir folgende Streckenlängen:

  • $c=10~cm$,
  • $a=b=4~cm$

  Es gilt also $c>a+b$ weil $10>4+4=8$. Schneiden sich die Kreise?

  Diese Abbildung macht deutlich, was passiert, wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt.

  Lösung

  Wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist (also zum Beispiel $c=10~cm$ und $a=b=4~cm$), so kann man wie folgt konstruieren:

  • Zeichne die Seite $c$ mit den Endpunkten $A$ und $B$.
  • Zeichne sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem Radius $r=4~cm$.
  • Da der Abstand von $A$ zu $B$ größer ist als die Summe dieser beiden Radien, können sich die beiden Kreise nicht schneiden.

  Es lässt sich also kein Dreieck konstruieren.

  In der Abbildung ist ein Beispiel zu sehen, bei welchem der Winkel $\alpha$ gegeben ist sowie die Länge der blauen und der roten Seite. Da der Winkel der kürzeren der beiden Seiten (der roten) gegenüberliegt, schneidet der Kreis die Halbgerade, welche mit der blauen Seite den Winkel $\alpha$ einschließt, zweimal. Es gibt also zwei Dreiecke mit diesen Größen. Diese Dreiecke sind jedoch nicht kongruent, wie in dem Bild zu sehen ist.