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Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

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Thekla Haemmerling
Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

Stell dir einmal vor, du sollst ein Dreieck konstruieren und hast nur zwei Seiten gegeben. Du wirst schnell feststellen, dass es ziemlich viele Möglichkeiten gibt, dieses Dreieck zu zeichnen - genau genommen unendlich viele. Denn du hast zu wenig Informationen über das Dreieck! Um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren, benötigt man die sogenannten "Kongruenzsätze für Dreiecke": sws, sss, wsw und Ssw. In diesem Video lernst du sie kennen! Außerdem wird dir je ein Konstruktionsbeispiel gegeben. Viel Spaß!

Transkript Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

Hallo, mein Name ist Thekla und das ist Kathi. Kath hat ein Problem: Das schöne Mosaikfenster an ihrer Haustür ist kaputt gegangen. Sie hat nun eine neue dreieckige Glasplatte bestellt und dem Glaser die Länge von zwei Seiten gegeben, 30cm und 50cm. Doch was ist das? Die Glasplatte passt nicht. Was ist da schief gegangen? Das werden wir in diesem Video klären, indem wir uns mit den Kongruenzsätzen für Dreiecke beschäftigen. Der Glaser hat unendlich viele Möglichkeiten, dreieckige Scheiben aus zwei gegebenen Seitenlängen zu fertigen. Um ein ganz bestimmtes Dreieck zu erhalten, hätte Kathi dem Glaser noch den Winkel zwischen den beiden Seiten sagen müssen. Dann erhält sie genau die dreieckige Scheibe, die sie für das Fenster braucht. Das Dreieck ist also eindeutig konstruierbar. Alle Dreiecke, von denen man zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel, oder kurz sws, kennt, haben etwas gemeinsam. Alle Dreiecke mit diesen Angaben sind kongruent, also deckungsgleich. Daher nennt man dies auch Kongruenzsatz. Kathi hätte dem Glaser aber statt dem Winkel auch die Länge der dritten Seite sagen können. Ein Dreieck ist nämlich auch dann eindeutig konstruierbar, wenn man die Länge der dritten Seite kennt. Diesen Kongruenzsatz nennt man Seite Seite Seite, also kurz sss. Wichtig ist hier aber, dass die sogenannte Dreiecksungleichung ca+b gilt. Wenn die längste Seite c nämlich länger als die beiden kürzeren Seiten a und b zusammen ist, dann existiert kein Dreieck. Wenn du selbst ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten zeichnen willst, benötigst du einen Zirkel. Nehmen wir die Maße a=30cm, b=40cm und c=50cm. Du zeichnest eine Seite, z.B. c mit 50cm. Nun zeichnest du um die Endpunkte Kreise, die als Radius die jeweilige Länge der fehlenden Seiten haben. Hier sind es a=30cm und b=40cm. Den Schnittpunkt der Kreise markierst du und verbindest ihn mit den Endpunkten deiner Startseite. Die Kreise schneiden sich zweimal. Einmal hier oben und einmal hier unten. Welchen der beiden Schnittpunkte du nimmst, spielt keine Rolle, denn beide möglichen Dreiecke sind kongruent. Kathi hat noch eine weitere Möglichkeit gefunden, Maße für das neue Fenster zu übermitteln, sodass es eindeutig konstruierbar ist. Sie kann eine Seite mit den beiden angrenzenden Winkeln angeben. Diesen Kongruenzsatz nennt man Winkel Seite Winkel, also kurz wsw. Stell dir folgende Maße vor: Eine Seite ist 50cm lang und die angrenzenden Winkel sind α=53° und β=37°. Du zeichnest die gegebene Seite ein. Dann zeichnest du die anliegenden Winkel ein. Zeichne die Schenkel ruhig ein wenig länger. Der Schnittpunkt der Schenkel ist dann der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Wie du siehst, gibt es mit diesen Angaben auch wieder nur eine einzige Möglichkeit für ein Dreieck. Alle Dreiecke mit diesen Angaben sind kongruent zueinander. Es gibt sogar noch eine vierte Möglichkeit, wie Kathi die Maße übermitteln könnte, bei der das Dreieck wieder eindeutig konstruierbar ist. Kathi könnte zwei Seiten angeben und den Winkel, der der längeren Seite gegenüber liegt. Diesen Kongruenzsatz nennt man Seite Seite Winkel, oder kurz Ssw. Achtung, das erste S ist groß geschrieben, um zu verdeutlichen, dass es sich um die längere der beiden Seiten handelt. Der angegebene Winkel muss dieser Seite gegenüber liegen. Stellen wir uns einmal folgende Maße vor: a=40cm, b=30cm und α=53°. Der Winkel α ist der gegenüberliegende Winkel zur Seite a. Um das Dreieck zu konstruieren, zeichnest du zuerst die kürzere Seite, in diesem Fall b. Dann trägst du den Winkel α an der einen Seite ab. Zeichne den Schenkel ruhig ein wenig länger. Anschließend setzt du den Zirkel an den anderen Eckpunkt an und zeichnest einen Kreis mit dem Radius der längeren Seite. Hier also a mit 40cm. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Kathi hat also insgesamt vier Möglichkeiten, um dem Glaser die Maße des Dreiecks zu nennen, mit denen die Scheibe auf jeden Fall passt. Um eindeutige bzw. zueinander kongruente Dreiecke zu konstruieren, gibt es folgende vier Kongruenzsätze: Den Seite-Winkel-Seite-Satz, kurz sws, wobei der Winkel von den beiden Seiten eingeschlossen ist. Den Seite-Seite-Seite-Satz, kurz sss, wenn die längste Seite kleiner gleich der Summe der beiden kürzeren Seiten ist. Den Winkel-Seite-Winkel-Satz, kurz wsw, wobei die beiden Winkel an der angegebenen Seite anliegen. Und den Seite-Seite-Winkel-Satz, kurz Ssw. Bei diesem Kongruenzsatz ist wichtig, dass der Winkel der längeren Seite gegenüber liegt. Deswegen ist dieses S groß geschrieben. Kathis Fenster ist nun wieder heile, denn die dreieckige Scheibe passt dieses Mal dank der Kongruenzsätze perfekt. Ich hoffe, du hattest heute viel Spaß und konntest etwas Nützliches lernen. Ich freue mich schon aufs nächste Mal, Tschüss!

40 Kommentare

40 Kommentare
  1. Hallo Maria Molineus, vielen Dank für deinen Hinweis. Ich habe erst einmal den Fehler als Kommentar im Video angemerkt und außerdem zur Überarbeitung weitergegeben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor 3 Monaten
  2. Bzw. müssen je zwei Seiten länger als die dritte Seite sein, also muss gelten:
    a + b > c
    b + c > a
    a + c > b

    Von Maria Molineus, vor 4 Monaten
  3. Bei der Dreiecksungleichung muss gelten:
    c < a + b (und nicht c = a + b).

    Wenn c = a + b wäre, würde der dritte Dreieckspunkt direkt auf der Seite C liegen! Damit entsteht auch kein Dreieck.

    Von Maria Molineus, vor 4 Monaten
  4. Hallo an Loki, Sollum, Hydroo

    Von Dasha Raf, vor etwa einem Jahr
  5. Es ist ein sehr hilfreiches Video,
    Für die nächste Klassenarbeit fühle ich mich jetzt dank diesem Video sehr gut vorbereitet.
    Allerdings ist es an manchen stellen etwas missverständlich zu verstehen.

    Von Lucio, vor etwa einem Jahr
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Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Kongruenzsätze für Dreiecke an.

    Tipps

    Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn die Dreiecke sich gegenseitig abdecken, nachdem sie ausgeschnitten und übereinander gelegt wurden.

    Beachte, dass alle gleichseitigen Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen. Diese bemessen alle $60^\circ$.

    Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich zueinander, jedoch nicht kongruent.

    Kongruenz ist ein spezieller Fall von Ähnlichkeit.

    Bei ähnlichen Dreiecken stimmen alle Winkel überein.

    Die Kongruenzsätze geben auch an, wie ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann.

    Lösung

    Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn jeweils drei Größen übereinstimmen. Dabei sind dies nicht irgendwelche Größen:

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn

    • sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Seite“ oder kurz sss.
    • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Winkel Seite“ oder kurz sws.
    • sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Winkel Seite Winkel“ oder kurz wsw.
    • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem der längeren dieser Seiten gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Winkel“ oder kurz Ssw. Das erste „S“ ist großgeschrieben, um anzudeuten, dass dies die längere der beiden Seiten ist.
  • Beschreibe, wie ein Dreieck nach dem Kongruenzsatz „sss“ konstruiert werden kann.

    Tipps

    Schaue dir das oben zu sehende Plandreieck an:

    • Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.
    • Die den Eckpunkten gegenüber liegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.

    Beachte, dass die beiden Endpunkte von $c$ die Punkte $A$ und $B$ sind.

    Lösung

    Die Kongruenzsätze zeigen nicht nur, wann zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, zueinander sind. Sie können auch wie folgt interpretiert werden, am Beispiel des Kongruenzsatzes sss:

    Wenn die drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben sind, so lässt dieses Dreieck sich eindeutig konstruieren.

    Es muss gelten, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten größer oder gleich der längeren Seite sein muss. Sei zum Beispiel $c$ die längste Seite, so muss $c\lt a+b$ gelten.

    Nun kann das Dreieck wie folgt konstruiert werden:

    1. Zeichne eine, zum Beispiel die längste Seite $c$.
    2. Die Endpunkte dieser Seite sind $A$ und $B$.
    3. Zeichne einen Kreis um $A$ ($B$) mit dem Radius $b$ ($a$).
    4. Dort, wo die beiden Kreise sich schneiden, befindet sich der Punkt $C$.
    5. Zuletzt werden sowohl $A$ als auch $B$ mit $C$ verbunden.
    Das Dreieck ist fertig konstruiert.

    Die beiden Kreise schneiden sich übrigens zweimal. Die resultierenden beiden Dreiecke sind kongruent zueinander.

  • Erkläre die Konstruktion eines Dreiecks nach dem Kongruenzsatz „Ssw“.

    Tipps

    Achte darauf, mit welcher Seite angefangen wird. Überlege dir, an welcher Seite der Winkel $\gamma$ anliegt.

    Hier siehst du eine Konstruktionsvorlage mit den Eckpunkten, den Seiten und den Winkeln.

    Lösung

    Hier ist die komplette Konstruktion zu sehen.

    1. Zunächst wird die kürzere der beiden Seiten, also $a=6~cm$ gezeichnet. Sie Endpunkte sind $C$ und $B$.
    2. Dann wird der Winkel $\gamma$ in $C$ abgetragen. So erhält man eine Halbgerade. Diese ist hier grün gestrichelt.
    3. Um den Punkt $B$ zeichnet man einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die längere der beiden Seiten, also $c=9~cm$.
    4. Dieser Kreis schneidet die Halbgerade aus 2. in einem Punkt. Dies ist der dritte Punkt $A$ des Dreiecks.
  • Entscheide, welcher der Kongruenzsätze erfüllt ist.

    Tipps
    • sss steht für „Seite Seite Seite“: Alle drei Seitenlängen sind bekannt.
    • sws steht für „Seite Winkel Seite“: Zwei Seitenlängen sowie der eingeschlossene Winkel sind bekannt.
    • wsw steht für „Winkel Seite Winkel“: Eine Seitenlänge sowie die beiden anliegenden Winkel sind bekannt.

    Beachte: Es ist nicht bei jedem Beispiel ein Kongruenzsatz gegeben.

    Versuche, das jeweilige Dreieck zu konstruieren.

    Beachte:

    • In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$ groß und die Summe der beiden übrigen Winkel beträgt ebenfalls $90^\circ$.
    • In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
    Lösung

    Für die Kongruenzsätze müssen auf jeden Fall drei Größen bekannt sein. Wenn jedoch drei Winkel gegeben sind, sind die Dreiecke in der Regel ähnlich und nicht kongruent. Schauen wir uns die verschiedenen Fällen einmal genauer an:

    • Wenn nur eine Seite und ein Winkel (wie in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Hypotenuse bekannt ist) bekannt sind, lässt sich das Dreieck nicht eindeutig konstruieren.
    • Da nach dem Winkelsummensatz die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt, kennt man, wenn der rechte Winkel und ein spitzer Winkel bekannt sind, alle drei Winkel. Ist zusätzlich die Länge der Hypotenuse bekannt, gilt der Kongruenzsatz wsw.
    • Bei einem gleichseitigen Dreieck mit gegebener Seitenlänge sind alle drei Seitenlängen bekannt. Es gilt also der Kongruenzsatz sss. Allerdings sind in einem gleichseitigen Dreieck auch alle Winkel - je $60^\circ$ - gegeben. Man könnte daher auch für wsw argumentieren.
    • Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen an dem rechten Winkel an oder - anders ausgedrückt - schließen diesen ein. Es gilt also der Kongruenzsatz sws.
  • Beschreibe, welche Auswirkung es auf die Konstruktion von Dreiecken hat, wenn drei Größen gemäß der Kongruenzsätze bekannt sind.

    Tipps

    Betrachte den Kongruenzsatz sws:

    • Zeichne eine der beiden Seiten.
    • Trage den Winkel ab und zeichne eine Halbgerade.
    • Trage die Länge der anderen Seite an dieser Halbgeraden ab.

    Führe die obige Konstruktion mit mehreren Freunden durch.

    Wenn ihr fertig seid, schneidet die Dreiecke aus und legt diese übereinander.

    Lösung

    Wenn man drei Größen gemäß den Kongruenzsätzen kennt, kann das zugehörige Dreieck eindeutig konstruiert werden. Das bedeutet, wenn zwei verschiedene Personen mit diesen Angaben jeweils ein Dreieck konstruieren, so kann man diese Dreiecke ausschneiden. Die Dreiecke decken sich gegenseitig komplett ab.

    Dies kann man sich zum Beispiel an wsw klarmachen:

    1. Man zeichnet zunächst die eine gegebene Seite mit den zugehörigen Endpunkten.
    2. Dann trägt man die bekannten Winkel an den entsprechenden Scheiteln ab. So erhält man zwei Halbgeraden.
    3. Dort, wo die beiden Halbgeraden sich schneiden, befindet sich der dritte Punkt des Dreiecks.
  • Untersuche, was passiert, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist oder bei „Ssw“ der Winkel nicht der längeren Seite gegenüberliegt.

    Tipps

    Zeichne für sss die längere Seite und trage über jedem der beiden Endpunkte Kreise ab mit Radien, die so groß sind wie die beiden übrigen Seiten.

    Beachte, dass $c>a+b$ gilt, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist.

    Wählen wir folgende Streckenlängen:

    • $c=10~cm$,
    • $a=b=4~cm$
    Es gilt also $c>a+b$ weil $10>4+4=8$. Schneiden sich die Kreise?

    Diese Abbildung macht deutlich, was passiert, wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt.

    Lösung

    Wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist (also zum Beispiel $c=10~cm$ und $a=b=4~cm$), so kann man wie folgt konstruieren:

    • Zeichne die Seite $c$ mit den Endpunkten $A$ und $B$.
    • Zeichne sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem Radius $r=4~cm$.
    • Da der Abstand von $A$ zu $B$ größer ist als die Summe dieser beiden Radien, können sich die beiden Kreise nicht schneiden.
    Es lässt sich also kein Dreieck konstruieren.

    In der Abbildung ist ein Beispiel zu sehen, bei welchem der Winkel $\alpha$ gegeben ist sowie die Länge der blauen und der roten Seite. Da der Winkel der kürzeren der beiden Seiten (der roten) gegenüberliegt, schneidet der Kreis die Halbgerade, welche mit der blauen Seite den Winkel $\alpha$ einschließt, zweimal. Es gibt also zwei Dreiecke mit diesen Größen. Diese Dreiecke sind jedoch nicht kongruent, wie in dem Bild zu sehen ist.

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