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Kongruenzsätze für Dreiecke 07:23 min

Textversion des Videos

Transkript Kongruenzsätze für Dreiecke

Hallo, mein Name ist Thekla und das ist Kathi. Kath hat ein Problem: Das schöne Mosaikfenster an ihrer Haustür ist kaputt gegangen. Sie hat nun eine neue dreieckige Glasplatte bestellt und dem Glaser die Länge von zwei Seiten gegeben, 30cm und 50cm. Doch was ist das? Die Glasplatte passt nicht. Was ist da schief gegangen? Das werden wir in diesem Video klären, indem wir uns mit den Kongruenzsätzen für Dreiecke beschäftigen. Der Glaser hat unendlich viele Möglichkeiten, dreieckige Scheiben aus zwei gegebenen Seitenlängen zu fertigen. Um ein ganz bestimmtes Dreieck zu erhalten, hätte Kathi dem Glaser noch den Winkel zwischen den beiden Seiten sagen müssen. Dann erhält sie genau die dreieckige Scheibe, die sie für das Fenster braucht. Das Dreieck ist also eindeutig konstruierbar. Alle Dreiecke, von denen man zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel, oder kurz sws, kennt, haben etwas gemeinsam. Alle Dreiecke mit diesen Angaben sind kongruent, also deckungsgleich. Daher nennt man dies auch Kongruenzsatz. Kathi hätte dem Glaser aber statt dem Winkel auch die Länge der dritten Seite sagen können. Ein Dreieck ist nämlich auch dann eindeutig konstruierbar, wenn man die Länge der dritten Seite kennt. Diesen Kongruenzsatz nennt man Seite Seite Seite, also kurz sss. Wichtig ist hier aber, dass die sogenannte Dreiecksungleichung ca+b gilt. Wenn die längste Seite c nämlich länger als die beiden kürzeren Seiten a und b zusammen ist, dann existiert kein Dreieck. Wenn du selbst ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten zeichnen willst, benötigst du einen Zirkel. Nehmen wir die Maße a=30cm, b=40cm und c=50cm. Du zeichnest eine Seite, z.B. c mit 50cm. Nun zeichnest du um die Endpunkte Kreise, die als Radius die jeweilige Länge der fehlenden Seiten haben. Hier sind es a=30cm und b=40cm. Den Schnittpunkt der Kreise markierst du und verbindest ihn mit den Endpunkten deiner Startseite. Die Kreise schneiden sich zweimal. Einmal hier oben und einmal hier unten. Welchen der beiden Schnittpunkte du nimmst, spielt keine Rolle, denn beide möglichen Dreiecke sind kongruent. Kathi hat noch eine weitere Möglichkeit gefunden, Maße für das neue Fenster zu übermitteln, sodass es eindeutig konstruierbar ist. Sie kann eine Seite mit den beiden angrenzenden Winkeln angeben. Diesen Kongruenzsatz nennt man Winkel Seite Winkel, also kurz wsw. Stell dir folgende Maße vor: Eine Seite ist 50cm lang und die angrenzenden Winkel sind α=53° und β=37°. Du zeichnest die gegebene Seite ein. Dann zeichnest du die anliegenden Winkel ein. Zeichne die Schenkel ruhig ein wenig länger. Der Schnittpunkt der Schenkel ist dann der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Wie du siehst, gibt es mit diesen Angaben auch wieder nur eine einzige Möglichkeit für ein Dreieck. Alle Dreiecke mit diesen Angaben sind kongruent zueinander. Es gibt sogar noch eine vierte Möglichkeit, wie Kathi die Maße übermitteln könnte, bei der das Dreieck wieder eindeutig konstruierbar ist. Kathi könnte zwei Seiten angeben und den Winkel, der der längeren Seite gegenüber liegt. Diesen Kongruenzsatz nennt man Seite Seite Winkel, oder kurz Ssw. Achtung, das erste S ist groß geschrieben, um zu verdeutlichen, dass es sich um die längere der beiden Seiten handelt. Der angegebene Winkel muss dieser Seite gegenüber liegen. Stellen wir uns einmal folgende Maße vor: a=40cm, b=30cm und α=53°. Der Winkel α ist der gegenüberliegende Winkel zur Seite a. Um das Dreieck zu konstruieren, zeichnest du zuerst die kürzere Seite, in diesem Fall b. Dann trägst du den Winkel α an der einen Seite ab. Zeichne den Schenkel ruhig ein wenig länger. Anschließend setzt du den Zirkel an den anderen Eckpunkt an und zeichnest einen Kreis mit dem Radius der längeren Seite. Hier also a mit 40cm. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Kathi hat also insgesamt vier Möglichkeiten, um dem Glaser die Maße des Dreiecks zu nennen, mit denen die Scheibe auf jeden Fall passt. Um eindeutige bzw. zueinander kongruente Dreiecke zu konstruieren, gibt es folgende vier Kongruenzsätze: Den Seite-Winkel-Seite-Satz, kurz sws, wobei der Winkel von den beiden Seiten eingeschlossen ist. Den Seite-Seite-Seite-Satz, kurz sss, wenn die längste Seite kleiner gleich der Summe der beiden kürzeren Seiten ist. Den Winkel-Seite-Winkel-Satz, kurz wsw, wobei die beiden Winkel an der angegebenen Seite anliegen. Und den Seite-Seite-Winkel-Satz, kurz Ssw. Bei diesem Kongruenzsatz ist wichtig, dass der Winkel der längeren Seite gegenüber liegt. Deswegen ist dieses S groß geschrieben. Kathis Fenster ist nun wieder heile, denn die dreieckige Scheibe passt dieses Mal dank der Kongruenzsätze perfekt. Ich hoffe, du hattest heute viel Spaß und konntest etwas Nützliches lernen. Ich freue mich schon aufs nächste Mal, Tschüss!

29 Kommentare
  1. 20170708 212712

    Sehr gutes video mit den übungen dazu hat es Mir sehr geholfen den alter stoff zu wiederholen

    Von Marisa M., vor 2 Monaten
  2. Default

    Sehr hilfreiches Video!

    Von Lina Hope20, vor 3 Monaten
  3. Default

    Das Video war gut und hat geholfen aber die Übungen nach dem Video sind nicht besonders fördernt

    Von Gabi Laesser, vor 7 Monaten
  4. Default

    hat geholfen , Danke

    Von Jjanzen, vor 7 Monaten
  5. Default

    sehr gut danke

    Von Jonas D., vor 8 Monaten
  1. Default

    Perfekt danke sie haben das in 10 Minuten geschafft meine Lehrerin nivhtmal innerhalb von 5wochen

    Von Salfner Funke, vor 8 Monaten
  2. Thomas

    @Silvia Bartenschlager: Die Konstruktion eines Dreiecks mit den Angaben (SWW) ist prinzipiell eindeutig möglich, jedoch nicht ganz so einfach. Jedoch lässt sich mit den Angaben (SWW) ganz einfach der fehlende dritte Winkel berechnen. Damit kann man dann mit dem berechneten Winkel den Kongruenzsatz WSW anwenden und das Dreieck einfach und eindeutig konstruieren.
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Super erklärtes Video! Eine Frage: In der Schule haben wir noch den SWW-Satz gelernt,warum kam er nicht in dem Video vor?

    Von Silvia Bartenschlager, vor mehr als einem Jahr
  4. 702fba78 e259 43ae 93a4 d86e8922b0df

    Bei 1:02 Minute, aber ist das denn nicht dann der falsche Winkel? Weil Kathi hat ja 50cm und 30cm angegeben, oder?

    Von Hxnnxh, vor mehr als einem Jahr
  5. Image

    DANKE!!!

    Von Cami E., vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    super erklärt, danke

    Von Anitalauer, vor mehr als einem Jahr
  7. Sofa

    S U P E R G U T E R K L Ä R T ! ! !

    Von Toni22, vor mehr als einem Jahr
  8. Default

    Danke! Dieses Video hat mir sehr geholfen. Echt gut erklärt :)

    Von Änne W., vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    Danke hat mir voll geholfen :):):):):):):):):)

    Von Markus Kalina, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Danke, Danke, Danke :)
    Endlich hab ich es durch das Video verstanden (im Unterricht hab ich es nie verstanden :( ).

    Von Turnen1964, vor mehr als einem Jahr
  11. Thomas

    @Jakobus: Bei den Kongruenzsätzen geht es darum, mit welchen minimal gegebenen Größen man ein Dreieck eindeutig konstruieren kann.
    Bei deinem Ansatz wären alle Winkel und alle Seiten bekannt, die Anzahl der gegebenen Größen ist also nicht minimal. Die Konstruktion des zugehörigen Dreiecks ist dann natürlich immer möglich, vorausgesetzt, dass die Werte korrekt sind.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als einem Jahr
  12. Ccross.svg

    warum gibt es nicht swswsw

    Von Jakobus, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    Vielen Dankt für das tolle Video, ich habe alles verstanden und ich fand das Video sehr gut gemacht und alles super erklärt, Vielen Dank.... :D

    Von Lukas G., vor mehr als einem Jahr
  14. Default

    Vielen Dank ich habe es verstanden :)

    Von Jeany Hackbarth, vor mehr als 2 Jahren
  15. Felix

    @Jeany Hackbarth: Du kannst ja mal zwei Dreiecke zeichnen, die gleiche Winkel haben. Dir könnte auffallen, dass sie unterschiedliche Größen haben können. Diese Dreiecke sind dann ähnlich aber nicht kongruent (deckungsgleich). Deshalb kann es keinen Kongruenzsatz www geben.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 2 Jahren
  16. Default

    warum gibt es denn nicht WWW?

    Von Jeany Hackbarth, vor mehr als 2 Jahren
  17. Img 0006

    :)

    Von Noemi P., vor mehr als 2 Jahren
  18. Default

    OK

    Von Unknown U., vor mehr als 2 Jahren
  19. Felix

    @Lulu128: Richtig! Wenn du die Dreiecksseiten a, b und c eines Dreiecks gegeben hast, kannst du es folgendermaßen konstruieren. Zeichne die Seite AB der Länge c, schlage einen Kreisbogen um A mit dem Radius b und einen Kreisbogen um B mit dem Radius a. Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt C.

    Von Martin B., vor mehr als 2 Jahren
  20. Default

    Eine Frage! Welchen Radius soll man um die Eckpunkte A und B machen? Soll man um A den Radius von b zeichnen und für B den Radius von a?

    Sehr gut erklärt.

    Von Palu2003, vor mehr als 2 Jahren
  21. Default

    Hat sich erledigt :)

    Von Grafikbuero Happe, vor mehr als 2 Jahren
  22. Default

    Du hast gesagt, wenn c länger als a+b zusammen ist dann ensteht kein Dreieck!
    Gilt dies nur für c oder auch wenn eine andere Seite die längste ist

    Von Grafikbuero Happe, vor mehr als 2 Jahren
  23. Default

    Mehr Beispiele

    Von E T Valbert, vor fast 3 Jahren
  24. Default

    Danke Hans endlich verstanden

    Von valentin t., vor etwa 3 Jahren
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