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Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze

Du kennst bereits Höhen in einem Dreieck und kannst sie einzeichnen. Wir haben dies für die Fälle eines spitz - und stumpfwinkligen Dreiecks bereits getan. Wie sieht es nun aus, wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck vor uns haben? Es gibt zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck, welche zugleich auch die Höhen im Dreieck sind. Welche Seiten könnten dies sein und wie nennt man diese Seiten im rechtwinkligen Dreieck? Finde es heraus! Im Film wird dir zusätzlich gezeigt, wie du z. B. die Höhen in einem Parallelogramm und Trapez einzeichnest. Viel Spaß!

Transkript Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze

Hallo! Wir haben gesehen, was Höhen in einem Dreieck sind. Das hier ist ein spitzwinkliges Dreieck. Wir haben gesehen, wie Höhen in einem Dreieck aussehen, das einen stumpfen Winkel hat, also hier ist ja ein Winkel, der größer als 90 Grad ist. Eine Höhe verläuft innerhalb des Dreiecks und die anderen beiden Höhen verlaufen außerhalb des Dreiecks, also hier und hier. Jetzt brauchen wir noch die Höhen im rechtwinkligen Dreieck. Das hier ist ein rechtwinkliges Dreieck, das hier ist der rechte Winkel, und wir können eine Höhe wie gewohnt vom spitzwinkligen Dreieck einzeichnen. Die verläuft also von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite und trifft dort rechtwinklig auf, also hier ist der Höhenfußpunkt. Und wir wissen ja, dass ein Dreieck immer mehrere Höhen hat, also drei Höhen. Die Frage ist: Wo ist jetzt die Höhe, wenn ich das Dreieck so hinstelle? Das Dreieck hat ja jetzt eine bestimmte Höhe, das heißt, es gibt einen gewissen Abstand von dieser Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Und wir wissen, dass die Höhe von dieser Ecke hier zur gegenüberliegenden Seite so verläuft, dass sie hier rechtwinklig auftrifft. Naja und das macht die Seite ja auch. Deshalb ist die Höhe auch die Seite, hier ist der rechte Winkel. Das ist die Höhe, und wenn ich das Dreieck so hinstelle, dann haben wir noch eine Höhe, die verläuft hier, und das ist die andere Seite. Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, haben ja im Dreieck besondere Namen. Sie heißen Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse und es gilt also in einem rechtwinkligen Dreieck, dass zwei Höhen mit den Katheten zusammenfallen. Man kann auch sagen, die Katheten sind auch gleichzeitig die Höhen. Kommen wir zum Parallelogramm. Das ist ein Parallelogramm. Wie mir scheint, ich habe es nicht genau nachgemessen, sogar ein ganz besonderes Parallelogramm, nämlich eine Raute. Das heißt also ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Und da gibt es zwei Höhen in einem Parallelogramm. Es ist jeweils der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten, das ist die Länge der Höhe. Ich zeichne das eben ein. Und diese Höhe muss nicht unbedingt hier sein, sie kann auch da sein, oder da sein, denn der Abstand zwischen diesen beiden parallelen Seiten ist ja hier, und hier, und hier gleich groß. Wenn wir es so hinstellen, haben wir noch eine Höhe. Die Figur verläuft ja von hier unten bis hier oben, daher sagt man, das ist der Abstand der beiden parallelen Seiten ist die Länge der Höhe. Also dieser beiden konkreten parallelen Seiten. Und hier haben wir natürlich wieder einen rechten Winkel. Der ist hier natürlich auch hier, und da ist auch ein rechter Winkel. Meistens zeichnet man nur einen ein. So, das sind zwei Höhen und wie gesagt ist das hier, so wie es aussieht, ein besonderes Parallelogramm, nämlich eine Raute. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Und die Frage ist: Haben wir auch die zwei Höhen in einem Parallelogramm, was keine Raute ist. Das will ich wohl meinen, aber ich zeig es eben. Ich kann hier nämlich einfach einen Teil abschneiden, dann sind die Seiten nicht mehr gleich lang. Und auch dann ändert sich nichts an der Situation bezüglich der Höhen. Wir haben weiterhin zwei Höhen, nur sind jetzt beide Höhen nicht gleich groß. Das war es zum Parallelogramm, Kommen wir nun zum Trapez. Das ist ein Trapez. Ein Trapez ist ja eine Figur, die zwei parallele Seiten hat. Man muss sagen mindestens zwei parallele Seiten, aber so ist das ja immer gemeint. Es gibt hier nur eine Höhe und zwar die Höhe, die von einer Seite zur gegenüberliegenden parallelen Seite verläuft. Die Länge der Höhe ist der Abstand der beiden parallelen Seiten. Und die Höhe kann man jetzt auch hier eintragen, oder hier, oder hier, weil der Abstand ja auf der ganzen Länge hier gleich groß ist. Man könnte nun auch noch andere Höhen einzeichnen, wie im Dreieck zum Beispiel auch. Wenn wir diese Figur hier hinstellen, dann haben wir ja eine bestimmte Höhe der Figur. Das heißt, wir können von dieser Ecke zu gegenüberliegenden Seite eine Linie ziehen, die hier auch rechtwinklig auftrifft. Aber das macht man in der Regel nicht, weil diese Strecken oftmals keine Rollen spielen. Deshalb hat man denen keine besonderen Namen gegeben und daher hat ein Trapez normalerweise nur eine Höhe. Viel Spaß damit. Tschüss.

21 Kommentare

21 Kommentare
  1. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 7 Monaten
  2. Danke schreibe morgen einen test darüber und habe es jz endlich mal verstanden👍

    Von Balu01, vor 7 Monaten
  3. Toll !! Super !! Weiter so !!

    Von Sandra C., vor mehr als einem Jahr
  4. Gut

    Von Romeike, vor fast 2 Jahren
  5. Die Aufganen sind Okey das Video ist Super

    Von Marina Schultz, vor fast 2 Jahren
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Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Höhen von rechtwinkligen Dreiecken, Parallelogramme und Trapeze kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Höhen in einem rechtwinkligen Dreieck an.

    Tipps

    Wie wird eine Höhe im Dreieck eingezeichnet?

    Man zeichnet eine Linie von einem Eckpunkt des Dreiecks aus senkrecht zur gegenüberliegenden Seite, sodass hier ein rechter Winkel entsteht.

    Ein Dreieck besitzt immer drei Höhen, welche sich in einem Punkt schneiden.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegt dieser Schnittpunkt der Höhen an dem Punkt, wo sich auch der rechte Winkel befindet. Dies kannst du auch im obigen rechtwinkligen Dreieck beobachten.

    Lösung

    In diesem rechtwinkligen Dreieck sind

    • $b$ und $c$ die beiden Katheten und
    • $a$ die Hypotenuse.
    Die Höhe $h_a$ ist in dem Bild als rote Linie zu erkennen. Aber wo sind die beiden anderen Höhen $h_b$ und $h_c$?

    Da eine Höhe eine Strecke ist, welche von einem Eckpunkt des Dreiecks senkrecht zur gegenüberliegenden Seite verläuft, kann man sehen, dass

    • $h_c=b$ und
    • $h_b=c$ gilt.
    Also sind die Katheten des Dreiecks auch gleichzeitig zwei Höhen dieses Dreiecks. Dies ist bei allen rechtwinkligen Dreiecken der Fall.

  • Bestimme die Höhen des Parallelogramms.

    Tipps

    Bei einem Dreieck wird von einem Eckpunkt aus eine Linie senkrecht zur gegenüberliegenden Seite gezeichnet, sodass dort von der Höhe und der Seite ein rechter Winkel eingeschlossen wird.

    Ein Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind.

    In einem Parallelogramm gilt: Die Länge einer Höhe entspricht dem Abstand der beiden zueinander parallelen Seiten.

    Lösung

    Die Höhen des Parallelogramms sind hier in roter Farbe zu sehen.

    Die Länge einer Höhe ist so groß wie der Abstand der zueinander parallelen Seiten.

    In einem Parallelogramm sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Das bedeutet, dass zwei Höhen existieren, weil es zwei parallele Seitenpaare gibt. Die Höhen müssen nicht wie beim Dreieck durch die Eckpunkte verlaufen. Du kannst sie sogar an unendlich vielen Stellen eintragen.

    Somit sind in dem obigen Bild die mit den Nummern 2 und 3 gekennzeichneten Höhen die Höhen des Parallelogramms.

  • Entscheide, welche der Strecken Höhen in dem Trapez sind.

    Tipps

    Ein Trapez besitzt eine Höhe. Diese kann an verschiedenen Punkten der parallelen Seiten ansetzen.

    Ist eine Höhe gegeben, so ist jede dazu parallele Strecke zwischen den parallelen Seiten ebenfalls eine Höhe.

    Die Höhe in einem Trapez ist die kürzeste Strecke zwischen den parallelen Seiten.

    Die Höhe muss dabei nicht durch einen Eckpunkt verlaufen, wie es beim Dreieck der Fall ist.

    Lösung

    Die beiden rot und grün eingezeichneten Strecken sind Höhen des Trapezes. Sie liegen zwar an verschiedenen Punkten der parallelen Seiten an, jedoch spricht man trotzdem davon, dass ein Trapez nur eine Höhe besitzt, weil die rote und grüne sowie noch viele andere derartige Strecken gleich lang sind.

    Die Höhen müssen, anders als bei Dreiecken, nicht durch eine Eckpunkt verlaufen. Sie können aber auch durch einen Eckpunkt verlaufen. Wie dies dann aussieht, kannst du anhand der pinken Strecke im Bild betrachten.

  • Prüfe, welche Aussagen über Rechtecke und Quadrate stimmen.

    Tipps

    Wenn du ein Quadrat durch eine Diagonale teilst, erhältst du zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

    Ganz allgemein ist eine Höhe die kürzeste Strecke von einem Eckpunkt ausgehend zur gegenüberliegenden Seite.

    In einem Parallelogramm ist die Lage der Höhe nicht eindeutig.

    Lösung

    Sowohl ein Quadrat als auch ein Rechteck sind spezielle Parallelogramme. Daraus folgt, dass beide zwei Höhen haben.

    Da beide Vierecke nur rechte Winkel haben, sind die jeweils senkrecht zueinander stehenden Seiten auch Höhen des Rechtecks/Quadrats. Natürlich lassen sich die Höhen wie bei einem Parallelogramm auch verschieben.

  • Fasse zusammen, wie viele Höhen ein Dreieck, ein Parallelogramm und ein Trapez besitzen.

    Tipps

    In einem Dreieck ist eine Höhe eine Strecke von einem Eckpunkt des Dreiecks senkrecht zur gegenüberliegenden Seite, sodass sich dort ein rechter Winkel befindet.

    In einem Parallelogramm ist eine Höhe die kürzeste Strecke zwischen zwei parallelen Seiten.

    Auch in einem Trapez ist eine Höhe die kürzeste Strecke zwischen zwei parallelen Seiten.

    In einem Parallelogramm sind alle sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

    In einem Trapez sind nur zwei Seiten parallel zueinander.

    Lösung

    Da in einem Dreieck

    • eine Höhe die Strecke von einem Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite ist und
    • ein Dreieck drei Ecken und Seiten hat,
    besitzt ein Dreieck auch drei Höhen.

    Eine Höhe in einem Parallelogramm ist jeweils die kürzeste Strecke zwischen den zueinander parallelen Seiten. Da es zwei Paare an parallelen Seiten in einem Parallelogramm gibt, hat ein Parallelogramm also zwei Höhen.

    Bei einem Trapez ist die Höhe wie bei einem Parallelogramm die kürzeste Strecke zwischen zueinander parallelen Seiten. Da es nur ein solches Paar gibt, hat ein Trapez auch nur eine Höhe.

  • Bestimme die Höhen der drei Parallelogramme.

    Tipps

    Zeichne dir das jeweilige Parallelogramm auf.

    Eine Höhe in einem Parallelogramm ist die kürzeste Strecke zwischen zwei parallelen Seiten.

    Jede der Höhen ist in zwei der drei Parallelogramme ebenfalls eine Höhe.

    Lösung

    1. Das erste Parallelogramm, welches in dem Bild zu sehen ist, ist gegeben durch die Punkte $ABCD_1$. Der Punkt $D_1$ liegt so, dass die parallelen Seiten des Parallelogramms
    • $\overline{AB}$ und $\overline{CD_1}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_c$, sowie
    • $\overline{AC}$ und $\overline{BD_1}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_b$.
    2. Das zweite Parallelogramm ist gegeben durch die Punkte $ABCD_2$. Der Punkt $D_2$ liegt so, dass die parallelen Seiten des Parallelogramms
    • $\overline{AB}$ und $\overline{CD_2}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_c$.
    • $\overline{BC}$ und $\overline{AD_2}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_a$.
    3. Das dritte Parallelogramm ist gegeben durch die Punkte $ABCD_3$. Der Punkt $D_3$ liegt so, dass die parallelen Seiten des Parallelogramms
    • $\overline{AC}$ und $\overline{BD_3}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_b$.
    • $\overline{AD_3}$ und $\overline{BC}$ sind, die kürzeste Strecke zwischen diesen beiden ist $h_a$.

    Somit ist

    • $h_a$ auch gleichzeitig Höhe von Parallelogramm 2 und 3,
    • $h_b$ auch gleichzeitig Höhe von Parallelogramm 1 und 3 sowie
    • $h_c$ auch gleichzeitig Höhe von Parallelogramm 1 und 2.

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