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Höhen von Dreiecken berechnen

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Martin Wabnik
Höhen von Dreiecken berechnen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Höhen von Dreiecken berechnen

Willkommen zu einer Übungsaufgabe zum Satz des Pythagoras. Es handelt sich hierbei, um eine absolute Standardaufgabe bei der du dein Wissen aus der Geometrie miteinander verknüpfen musst. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seiten c = 10 cm und b = 8 cm. Außerdem ist gegeben, dass der Flächeninhalt A des Dreiecks 24 cm² beträgt. Gesucht ist die Länge der Seite a. Wie du hierfür vorgehen musst, zeige ich dir nun ganz ausführlich in diesem Videos. Viel Spaß dabei!

Transkript Höhen von Dreiecken berechnen

Hallo, hier ist eine kleine Standardaufgabe zu Dreiecken. Wir haben ein Dreieck ABC, das ist ein rechtwinkeliges Dreieck und der rechte Winkel ist bei c.
Eine Seite c=10 cm, die Seite b=8 cm lang und die Fläche A= 24 cm² dieses Dreiecks. Zu berechnen ist der ganze Rest, also zum Beispiel Seite a und alle 3 Höhen. Wie geht man da vor? Am besten ist, man malt sich erst mal ein Dreieck auf. Vielleicht eins, das mit dem tatsächlichen Dreieck irgendwas zu tun hat. Fange ich mal mit der Seite c an, nur mal skizzenhaft. Dann haben wir die Seite b. Wir wissen ja, es wird entgegengesetzt des Uhrzeigersinns nummeriert, also hier müsste dann a sein und hier müsste irgendwo b sein, wenn da c ist. Wir wissen, dass hier ein rechter Winkel ist, das heißt, wir können uns direkt schon mal direkt den Taliskreis vorstellen, der verläuft hier so. Und wenn wir b haben, und b ist nicht viel kürzer als c, dann müsste das ungefähr hier sein. So kommt das ungefähr hin. Dann ist hier b. Ich denke, das ist ein bisschen zu klein geworden hier. So ungefähr kommt das mit den Maßen hin, hier ist der rechte Winkel, da ist die Ecke c. Wir sollen die Höhen ausrechnen und wir haben hier die Fläche gegeben A. Und wir haben hier b gegeben, da würde ich sagen, fangen wir direkt mal an, die Höhe b auszurechnen. Wenn du den Film mit den Umformungen geguckt hast, dann weißt du gleich Bescheid. Ich schreibe das mal allgemein hier hin: Wir haben Fläche A=½×b×hb. Wenn man diese Umformungen ein bisschen geübt hat, dann sieht man hier auch gleich, aha, damit fange ich an, klare Sache. Dann müssen wir das Ganze noch nach hb umformen. Das bedeutet: 2A/b=hb. Jetzt kann ich hier die Zahlen einsetzen. Wir haben also 2×A, das ist 2×24 cm², geteilt durch b, also durch 8 cm. Da brauche ich nicht viel rechnen, 3×8=24, ich kann mit 8 kürzen, 2×3 bleibt über, das ist 6. Cm²/cm=cm, also 6 cm ist dann die Höhe hb. Also das ist die Höhe auf b. Wenn man sich die Sache hier mal scharf anguckt, dann darf einem natürlich was auffallen: Die Höhe hb verläuft ja von der Ecke B zur Seite b und trifft dort rechtwinkelig auf. Das bedeutet, hb ist in dem Fall auch die Seite a. Da braucht man nicht mehr viel rechnen. Ebenso ist die Seite b die Höhe auf a. Hier ist die Ecke A und die Höhe geht zur Seite a hin. Also ha haben wir damit auch schon ausgerechnet. Und jetzt fehlt noch die Höhe c. Da spare ich mir das mit der Umformung. Wenn du das hier öfter gemacht hast mit den Umformungen, dann siehst du, wenn hier jetzt c steht und hc, dann steht hier c und da steht hc. Das bedeutet, ich kann gleich schreiben: 2× die Fläche 24 cm², geteilt durch c, geteilt durch 10 cm, das ist gleich der Höhe hc. 2×24=48/10=4,8 cm = hc. So, das ist die Lösung dazu. Ich glaube, mehr ist nicht zu sagen. Umfang könnte man noch ausrechnen. Klar, dann müsste man alle Seiten addieren, das mache ich jetzt nicht. Schluss damit. Tschüss.

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. sympathischer Lehrer ^^

    Von Oliver Z Weng, vor 9 Monaten
  2. ehre brudi

    Von Govorstefan, vor etwa 2 Jahren
  3. ehre

    Von Poppy Blautzik, vor etwa 2 Jahren
  4. bester mann

    Von L Oltap Izz Da, vor etwa 2 Jahren
  5. lol

    Von L Oltap Izz Da, vor etwa 2 Jahren
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Höhen von Dreiecken berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Höhen von Dreiecken berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man bei gegebenem Flächeninhalt und einer Dreiecksseite die entsprechende Höhe berechnen kann.

    Tipps

    Die Flächenformel lautet $A=\frac12\cdot b\cdot h_b$.

    Da $h_b$ unbekannt ist, muss du mit $2$ multiplizieren und durch $b$ dividieren.

    Die Höhe $h_a$

    • steht senkrecht auf die Seite $a$, diese liegt dem Punkt $A$ gegenüber, und
    • verläuft durch $A$.

    Die Strecken $\overline{CA}$ sowie $\overline{CB}$ schließen einen rechten Winkel ein, sind also Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.

    Lösung

    Bekannt sind die Seite $b=8~cm$ sowie der Flächeninhalt $A=24~cm^2$.

    Unter Verwendung der Formel $A=\frac12\cdot b\cdot h_b$ kann $h_b$ berechnet werden. Hierfür muss die Formel umgeformt werden:

    $\begin{align} A& = \frac12\cdot b\cdot h_b &|&\cdot 2 \\ 2A & = b\cdot h_b &|&:b\\ \frac{2A}b & = h_b \end{align}$

    Nun können die bekannten Werte eingesetzt werden:

    $h_b=\frac{2\cdot 24~cm^2}{8~cm}=6~cm$.

    Die Höhe $h_b$

    • steht senkrecht auf die Seite $b$, diese liegt dem Punkt $B$ gegenüber, und
    • verläuft durch $B$.
    Dies ist gerade die Seite $a$. Ebenso ist $h_a=b=8~cm$.

  • Berechne die Höhe $h_c$.

    Tipps

    Forme die obigen Formel um, indem du zunächst mit $2$ multiplizierst und dann durch $c$ dividierst.

    Verwende beim Einsetzen die Maßeinheiten. Wenn du richtig eingesetzt hast, erhältst du die Maßeinheit $\frac{cm^2}{cm}=cm$.

    Du kannst zur Probe die berechnete Länge der Höhe in der Flächenformel einsetzen. Erhältst du $A=\frac12\cdot 10~cm\cdot 4,9~cm=24~cm^2$?

    Lösung

    Hier ist die Umformung der Flächenformel nach $h_c$ zu sehen. Da sowohl die Länge der Seite $c=10~cm$ sowie der Flächeninhalt $A=24~cm^2$ bekannt sind, können sie in dieser Formel eingesetzt werden:

    $h_c=\frac{2\cdot24~cm^2}{10~cm}=4,8~cm$.

    Zur Probe kann die berechnete Länge der Höhe in der Flächenformel eingesetzt werden:

    $A=\frac12\cdot 10~cm\cdot 4,9~cm=24~cm^2$ $\surd$.

  • Gib an, welche Formeln verwendet werden können, um die fehlenden Größen zu berechnen.

    Tipps

    Mache dir zunächst klar, welche Größen gesucht sind und überlege dir, ob du Zusammenhänge / Formeln kennst, die du anwenden kannst.

    Du kannst auch Formeln ausschließen, wenn dafür notwendige Voraussetzungen nicht gegeben sind.

    Du kannst dir den Umfang eines Dreiecks so vorstellen:

    Starte bei einem Punkt, zum Beispiel $A$, gehe von dort zu $B$, dann zu $C$ und zurück zu $B$. Wie lang ist die Strecke insgesamt, welche du gegangen bist.

    Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken und besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Gesucht sind in dieser Skizze die Länge der Seite $a$ sowie der Winkel bei $B$, dieser wird mit dem griechischen Buchstaben $\beta$ bezeichnet.

    Zunächst kann man sich die fehlende Länge berechnen: Da der Umfang gegeben ist, kann man die Formel $U=a+b+c$ verwenden. Diese wird nach $a$ umgeformt:

    $a=U-b-c$.

    Nun können die bekannten Größen eingesetzt werden:

    $U=31,5~cm-13,8~cm-10,7~cm=7~cm$.

    In einem beliebigen Dreieck gilt der Winkelsummensatz. Dieser besagt, dass die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Diese Formel wird ebenfalls nach der gesuchten Größe umgestellt

    $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$.

    Nun werden die bekannten Winkel eingesetzt:

    $\beta=180^\circ-30^\circ-50^\circ=100^\circ$.

    Da in diesem Dreieck kein rechter Winkel vorliegt, können weder der Satz des Pythagoras noch die Definition des Sinus verwendet werden.

    Ein Flächeninhalt ist hier nicht angegeben. Somit fällt auch die Flächenformel aus.

  • Ermittle die fehlenden Höhen, die fehlende Seite und den Umfang des Dreiecks.

    Tipps

    Verwende die Formel für die Flächenberechnung

    $A=\frac12\cdot a\cdot h_a=\frac12\cdot b\cdot h_b=\frac12c\cdot h_c$.

    Forme diese Formel nach der jeweils gesuchten Größe um.

    Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der einzelnen Seitenlängen.

    Lösung

    Da die Größen unabhängig - bis auf den Umfang - voneinander berechnet werden können, ist es egal, mit welcher man beginnt.

    Für die Seitenlängen benötigt man die Flächenformel $A=\frac12\cdot a\cdot h_a=\frac12\cdot b\cdot h_b=\frac12c\cdot h_c$. Diese wird dann nach der entsprechenden Größen umgeformt.

    1. Berechnen wir zunächst $a$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $a=\frac{2A}{h_a}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{10,5~cm}=7,028...~cm\approx 7~cm$. Jetzt kann bereits der Umfang berechnet werden. Hierzu wird $U=a+b+c$ verwendet. Somit ist $U=7~cm+13,8~cm+10,7~cm=31,5~cm$.
    2. Berechnen wir dann $h_b$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $h_b=\frac{2A}{b}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{13,8~cm}=5,347...~cm\approx 5,3~cm$.
    3. Berechnen wir zuletzt $h_c$: Die Umformung der Flächenformel führt zu $h_c=\frac{2A}{c}=\frac{2\cdot 36,9~cm^2}{10,7~cm}=6,897...~cm\approx 6,9~cm$.
  • Vervollständige die Skizze.

    Tipps

    Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben bezeichnet, die diesen Punkten gegenüberliegenden Seiten mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben.

    Die Höhen haben im Index die Seite, auf welcher sie senkrecht stehen.

    Der Punkt zeigt an, dass ein rechter Winkel vorliegt.

    Beachte die Klein- und Großschreibung.

    Lösung

    Grundsätzlich ist es ratsam, sich Skizzen anzufertigen, um klarer zu sehen, was gegeben ist.

    Bei einem Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Die gegenüberliegenden Seiten erhalten die zugehörigen Kleinbuchstaben.

    Wenn man von einem Punkt das Lot, eine Senkrechte, auf die gegenüberliegende Seite fällt, erhält man die entsprechende Höhe. Diese wird mit $h_?$ bezeichnet, wobei der Index die Seite enthält, auf welche das Lot gefällt wird.

    In diesem Dreieck liegt ein besonderer Fall vor:

    • die Seite $b$ ist die Höhe $h_a$ und
    • die Seite $a$ ist die Höhe $h_b$,
    da in $C$ ein rechter Winkel liegt. Dieser wird mit einem Punkt angedeutet.

  • Berechne die fehlenden Größen sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Forme die Umfangsformel $U=a+b+c$ bei bekanntem $a$ nach $b$ oder $c$ um.

    Wenn du diesen Wert in dem Satz des Pythagoras einsetzt und eine binomische Formel anwendest, erhältst du eine quadratische Gleichung. Bei dieser Gleichung kannst du durch Subtraktion den quadratischen Term eliminieren.

    Schließlich erhältst du eine lineare Gleichung in der Größe, nach welcher die Umfangsformel umgeformt wurde.

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt gegeben als die Hälfte des Produktes der beiden Katheten.

    Lösung

    Hier sind

    • zum einen die Länge einer Kathete $a=8~cm$ sowie
    • zum anderen der Umfang $U=24~cm$ bekannt.
    Die Formel für den Umfang $U=a+b+c$ kann zum Beispiel nach $c$ umgeformt werden:

    $c=U-a-b$.

    Durch Einsetzen der bekannten Werte erhält man $c=24-8-b=16-b$.

    Nun können $a=8$, $c=16-b$ und $b$ in dem Satz des Pythagoras, $a^2+c^2=b^2$, eingesetzt werden:

    $64+(16-b)^2=b^2$.

    Mit der zweiten binomischen Formel erhält man

    $64+256-32b+b^2=b^2$.

    Nun kann $b^2$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und zusammengefasst werden:

    $320-32b=0$.

    Addition von $32b$ und anschließendes Dividieren durch $32$ führt zu $b=10$.

    Mit diesem $b$ kann $c=16-b=16-10=6$ berechnet werden.

    Die fehlenden Seiten sind somit

    • die Hypotenuse $b=10~cm$ sowie
    • die weitere Kathete $c=6~cm$.
    Weil es sich in diesem Beispiel um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann der Flächeninhalt als die Hälfte des Produktes der beiden Katheten berechnet werden:

    $A=\frac12\cdot (8~cm)\cdot (6~cm)=24~cm^2$.

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