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Höhen von Dreiecken

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Martin Wabnik
Höhen von Dreiecken
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Höhen von Dreiecken

In dem folgenden Video lernst du, was die Höhen eines Dreiecks sind. Die Höhe eines Dreiecks ist die Strecke zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks und der gegenüberliegende Seite. Wichtig hierbei ist, dass die Höhe und die Seite einen rechten Winkel bilden. Wie viel Höhen besitzt ein Dreieck? Natürlich, ein Dreieck besitzt drei Höhen. Wie die Höhen im Dreieck eingezeichnet und beschriftet werden, zeigen wir dir im Video. Interessant ist auch die Frage, ob die Höhe eines Dreiecks immer im Dreieck liegt. In welchem Fall könnte die Höhe außerhalb liegen und wie wird sie dann gezeichnet? Wirf einen Blick ins Video! Viel Spaß!

Transkript Höhen von Dreiecken

Hallo. Das hier ist ein Dreieck. Dieses Dreieck kann man hinstellen und dann geht das von hier unten bis hier oben, bis zur Spitze. Das ist die Höhe des Dreiecks. Das Dreieck ist so hoch wie der Abstand dieser Ecke hier zu dieser Seite, zur gegenüberliegenden Seite. Und das kann ich auch einzeichnen, und zwar indem ich einen Strich einzeichne, der von dieser Ecke zur gegenüberliegenden Seite führt und dort auf diese Seite rechtwinklig auftrifft. Hier ist ein rechter Winkel. Das ist die Höhe im Dreieck. Oh, ja, das ist jetzt aber blöd. Jetzt geht das Dreieck von hier bis hier. Und die Höhe ist jetzt anders. Na ja, gut, warum nicht? Wenn man das so hinstellt, ist das Dreieck höher und so ist es halt nicht so hoch. Das heißt, es gibt ja noch eine Höhe im Dreieck. Also die Linie, die von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite führt und dort rechtwinklig auftrifft, ist die Höhe im Dreieck, beziehungsweise eine Höhe im Dreieck, denn wir haben ja gesehen, dass es nicht nur eine einzige gibt. Hier ist ein rechter Winkel wieder. Oh, das ist aber jetzt blöd, jetzt gibt es ja noch eine Höhe. Na ja, drei Ecken, drei Höhen. Warum nicht? Also, von dieser Linie hier, von dieser Seite bis zu dieser Ecke ist es eine bestimmte Höhe und diese Linie, die da entlang geht, zeichne ich jetzt auch mal ein. So, hier ist ein rechter Winkel und das ist jetzt die dritte Höhe im Dreieck. Und nebenbei kannst du sehen, die schneiden sich in einem Punkt, die drei Höhen. Und das ist auch kein Zufall, das ist immer so, das beweise ich jetzt hier im Moment aber nicht. Wenn das Dreieck hier so liegt, hat es meistens Bezeichnungen, A, B und C, das sind die Ecken. Der Ecke A gegenüber liegt die Seite a und gegenüber der Ecke B liegt die Seite b und gegenüber der Ecke C liegt die Seite c. Die Höhe, die von der Ecke A zur Seite A führt, die heißt ha. Und die Höhe, die von der Ecke B zur Seite B führt, die heißt hb. Und die Höhe, die von der Ecke C zur Seite C führt, heißt, wer hätte das gedacht, hc. Es ist aber auch möglich, dass die Höhen ein bisschen anders liegen und zwar dann, wenn das Dreieck so aussieht. Das ist auch ein Dreieck und wenn ich das hier hinstelle, dann hat das auch eine Höhe. Also, das Dreieck geht von hier unten bis hier oben. Aber anders bei dieser Höhe ist jetzt, dass diese Höhe außerhalb des Dreiecks verläuft. Das ist aber kein Problem. Das Dreieck ist ja trotzdem so hoch. Es geht ja bis hierhin. Und wenn man das aufzeichnet, dann sieht das so aus: Ich male mal eben dieses Dreieck hier nach. Na, das hat nicht ganz geklappt. Das ist das Dreieck. Und jetzt kann man diese Grundseite, diese Seite hier unten, die nennt man Grundseite, die kann man jetzt verlängern. So und dann kann man eine Linie zeichnen, die von dieser Ecke zur verlängerten Grundlinie verläuft und dort rechtwinklig auf diese Grundlinie auftrifft. Und diese schwarze Linie ist dann die Höhe in diesem roten Dreieck. Ja, das war es zu den Höhen im Dreieck. Es gibt natürlich, ach, das wollte ich noch sagen, es gibt natürlich noch zwei andere Höhen hier genauso. Und für die dritte Höhe, da müsste ich jetzt diese Grundseite hier verlängern und dann würde die Höhe hier auftreffen. Auch dieses Dreieck hat also drei Höhen. Viel Spaß damit. Tschüss.

39 Kommentare

39 Kommentare
  1. 1A Video 👍

    Von Bellasrouter, vor 26 Tagen
  2. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 8 Monaten
  3. Sehr gutes Video

    Von Yde, vor 8 Monaten
  4. Super 👍 aber es ist schon glaublich Sachkunde
    😂

    Von Zobair1, vor 8 Monaten
  5. Gut erklart !! Toll !!

    Von Sandra C., vor mehr als einem Jahr
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Höhen von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Höhen von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, was die Höhe eines Dreiecks ist.

    Tipps

    Zeichne ein Dreieck, wähle einen der drei Eckpunkte aus und entscheide, wie hoch das Dreieck ist.

    Schneide das gezeichnete Dreieck aus und stelle dieses Dreieck so hin, dass eine der drei Seiten auf dem Boden steht.

    Stelle dir einen Punkt im Raum vor. Wie kannst du den Abstand dieses Punktes zum Boden messen?

    Lösung

    Ein Dreieck hat eine Höhe. Diese geht von einer Seite bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt.

    Das Dreieck ist so hoch wie der Abstand eines Eckpunktes zur gegenüberliegenden Seite.

    Man kann die Höhe wie folgt konstruieren:

    Man zeichnet von einem Eckpunkt aus eine Linie, welche senkrecht auf die gegenüberliegende Seite trifft.

  • Beschreibe Eigenschaften zur Höhe eines Dreiecks.

    Tipps

    Die Höhe wird wie folgt konstruiert:

    • Von einem Punkt aus wird eine Linie gezeichnet,
    • welche senkrecht auf die gegenüberliegende Seite trifft.

    Ein Dreieck hat $3$ Ecken und $3$ Seiten.

    Konstruiere die Höhe vom Punkt $C$ aus zur gegenüberliegenden Seite.

    Lösung

    Da ein Dreieck $3$ Ecken hat, kann auch von jeder dieser Ecken eine Höhe zur gegenüberliegenden Seite gezeichnet werden. Es gibt also $3$ Höhen. Diese schneiden sich in einem Punkt.

    An dem nebenstehenden Bild kann man erkennen, dass eine Höhe auch außerhalb des Dreiecks liegen kann.

  • Entscheide, welche der Strecken Höhen in dem Dreieck sind.

    Tipps

    Eine Höhe

    • geht durch einen Punkt und
    • trifft senkrecht auf die gegenüberliegende Seite.

    Wenn eine Strecke durch keinen Eckpunkt geht, kann es sich nicht um die Höhe handeln.

    Lösung

    Eine Höhe eines Dreiecks verläuft

    • durch einen Punkt des Dreiecks und
    • senkrecht zur diesem Punkt gegenüberliegenden Seite.
    Die Höhe auf die Seite $c$, also $h_c$, ist die grüne Strecke mit der Nummer 3.

    Die Höhe auf die Seite $a$, also $h_a$, ist die rote Strecke mit der Nummer 4.

  • Prüfe, welche Aussagen über die Höhe von Dreiecken stimmen.

    Tipps

    Zeichne dir ein Dreieck, bei welchem die Höhen außerhalb des Dreiecks liegen.

    Zeichne dir ein rechtwinkliges Dreieck, wie in der Aussage angegeben, und prüfe die Aussagen.

    Lösung

    An diesem Bild ist zu erkennen, dass

    • sich die Höhen nicht immer innerhalb des Dreiecks schneiden,
    • sich allerdings auch außerhalb eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.
    Sei das Dreieck $\Delta{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $C$. Dann sind $a$ und $b$ die Katheten. Diese stehen senkrecht aufeinander. Somit ist
    • $h_b=a$ und
    • $h_a=b$.
    Da die beiden Katheten sich in $C$ schneiden und die Höhe $h_c$ sicher durch $C$ geht, ist $C$ der Schnittpunkt der Höhen.

  • Beschrifte die Höhen in dem Dreieck.

    Tipps

    Es gibt $3$ Höhen in einem Dreieck, deshalb müssen diese verschieden bezeichnet werden.

    Die Bezeichnung der Höhen erfolgt nach den Punkten und den Seiten, zu denen sie gehören.

    Lösung

    Die Höhen werden danach bezeichnet, von welchem Punkt aus sie zur welcher Seite gehen.

    In einem Dreieck werden die Ecken zum Beispiel mit $A$, $B$ und $C$ sowie die gegenüberliegenden Seiten mit den entsprechenden Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ bezeichnet.

    So heißt zum Beispiel die Höhe zu Punkt $C$ und zur Seite $c$: $h_c$. Das vollständig beschriftete Dreieck ist in dem Bild zu sehen.

  • Skizziere, wie die Höhen in einem Dreieck gezeichnet werden, welche außerhalb des Dreiecks liegen.

    Tipps

    Wenn ein oder zwei Winkel in einem Dreieck stumpf sind, das heißt größer als $90^\circ$, dann liegen die Höhen außerhalb des Dreiecks.

    Die Seite, welche dem Punkt gegenüberliegt, muss verlängert werden.

    Lösung

    Die Höhen sind hier entsprechend des Alphabets eingezeichnet worden. Dabei müssen für die Höhen $h_a$ und $h_c$ die entsprechenden Seiten $a$ und $c$ verlängert werden.

    Auch in diesem Fall schneiden die Höhen sich in einem Punkt, wie in diesem Bild zu erkennen ist.

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