Fläche und Umfang eines Rechtecks

Fläche und Umfang eines Rechtecks Übung

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt wird z. B. in der Einheit Quadratzentimeter angegeben.

  Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe seiner Seitenlängen, der Flächeninhalt ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten.

  Ein Rechteck mit den Seiten $a=22~\text m$ und $b=10~\text m$ hat den Flächeninhalt $A= 22~\text m \cdot 10~\text m = 220~\text m^2$.

  Lösung

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten des Rechtecks. Üblicherweise bezeichnet man die nicht parallelen Seiten mit $a$ und $b$. Der Flächeninhalt $A$ ist dann $A=a \cdot b$. Sind die Längen der Seiten in der Maßeinheit $~\text m$ angegeben, so ist der Flächeninhalt $A$ das Produkt der Maßzahlen, versehen mit der Einheit $\text m^2$.

  Im Bild siehst du ein Rechteck mit den Seiten $a = 90~\text m$ und $b = 45~\text m$. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist daher $A = 90~\text m \cdot 45~\text m = 4.050~\text m^2$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Der Umfang eines Rechtecks ist diejenige Strecke, die du zurücklegst, wenn du alle Seiten des Rechtecks nacheinander einmal abschreitest.

  Auf ein Rechteck mit den Seiten $a=10~\text m$ und $b=20~\text m$ passen $50$ Elefanten, wenn jeder Elefant $4~\text m^2$ Platz braucht.

  Multipliziere die beiden verschieden langen Seiten des Rechtecks, um den Flächeninhalt zu berechnen.

  Lösung

  Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe seiner vier Seitenlängen. Bezeichnest du die nicht parallelen Seiten mit $a$ und $b$, so ist der Umfang $U = a+b+a+b = 2a+2b$. Der Flächeninhalt ist das Produkt der Längen zweier nicht paralleler Seiten, also $A = a \cdot b$. So erhältst du folgende vervollständigte Sätze:

  • Der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $90~\text m$ und $45~\text m$ ist $U = 270~\text m$.

  • Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $90~\text m$ und $45~\text m$ ist $A = 4.050~\text m^2$.

  • Der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ ist $U = 2a+2b$.

  • Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ ist $A = a \cdot b$.

• Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Rechtecke.

  Tipps

  Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller seiner Seitenlängen.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt zweier nicht paralleler Seiten.

  Ein Rechteck mit den Seiten $a = 5~\text m$ und $b=6~\text m$ hat den Flächeninhalt $A = 5~\text m \cdot 6~\text m = 3~\text m^2$ und den Umfang $U = 2 \cdot 5~\text m + 2 \cdot 6~\text m = 22~\text m$.

  Lösung

  Den Umfang $U$ eines Rechtecks kannst du berechnen, indem du die Länge aller vier Seiten des Rechtecks addierst. Mit den nicht parallelen Seiten $a$ und $b$ ist der Umfang daher $U = a+b+a+b = 2a+2b$. Den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks kannst du berechnen, indem du die beiden nicht parallelen Seiten multiplizierst. Daher ist $A = a \cdot b$. In den Bildern siehst du verschiedene Rechtecke mit Bezeichnung der Seitenlängen. Daraus erhältst du folgende Umfänge und Flächeninhalte:

  $a= 3$ und $b = 4$:

  • $U = 2a+2b = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6+8 = 14$
  • $A = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12$

  $a = 5$ und $b = 3$:

  • $U = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 2 \cdot (5+3) = 2 \cdot 8 = 16$
  • $A = 5 \cdot 3 = 15$

  $a = 6$ und $b = 3$:

  • $U = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 18$
  • $A = 6 \cdot 3 = 18$

  $a = b = 5$:

  • $U = 2a + 2b = 4a = 4 \cdot 5 = 20$
  • $A = a \cdot b = a \cdot a =5 \cdot 5 = 25$

• Erschließe den Umfang $U$ oder Flächeninhalt $A$.

  Tipps

  $\text m^2$ ist eine Maßeinheit für den Flächeninhalt.

  Ein Rechteck mit den Seiten $a=20~\text m$ und $b = 45~\text m$ hat nicht den Flächeninhalt $A=130~\text m^2$.

  Lösung

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden nicht parallelen Seiten bzw. ihrer Längen. Sind die Seitenlängen in der Maßeinheit $\text m$ angegeben, so ist der Flächeninhalt das Produkt der Maßzahlen, versehen mit der Einheit $\text m^2$. Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen seiner vier Seiten. Da je zwei einander gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, ist der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ gegeben durch $U = 2a +2b$. Aus den Bildern erhältst du folgende Zuordnungen:

  Beispiel: $~a=20~\text m$ und $b= 30~\text m$

  Das Rechteck hat folgenden Umfang:

  • $U = 2a+2b = 2 \cdot 20~\text m + 2 \cdot 30~\text m = 40~\text m + 60~\text m = 100~\text m$

  Der Flächeninhalt wird wie folgt berechnet und kommt hier als Auswahlmöglichkeit nicht vor:

  • $A = a \cdot b = 20~\text m \cdot 30~\text m = 600~\text m^2$

  Beispiel: $~a=25~\text m$ und $b=40~\text m$

  Das Rechteck hat den Umfang:

  • $U = 2 \cdot (25+40)~\text m = 130~\text m$

  Der zugehörige Flächeninhalt kommt in der Auswahl nicht vor. Denn dieser ist:

  • $A = 25~\text m \cdot 40~\text m = 1.000~\text m^2$

  Beispiel: $~a = 13~\text m$ und $b=10~\text m$

  Zu diesem Rechteck passt der folgende Flächeninhalt:

  • $A = 130~\text m^2$, denn $13~\text m \cdot 10~\text m = 130~\text m^2$

  Der zugehörige Umfang kommt hier als Auswahlmöglichkeit nicht vor. Denn mit den Werten der Seitenlängen wie oben ist:

  • $U = 2 \cdot (a+b) = 2 \cdot (13~\text m+ 10~\text m) = 46~\text m$

  Beispiel: $~a=35~\text m$ und $b=20~\text m$

  Hierzu passt der folgende Flächeninhalt:

  • $A = 700~\text m^2 = 35~\text m \cdot 20~\text m$

  Keiner der angegebenen Umfänge passt zu diesen Werten. Denn aus den Werten ergibt sich der folgende Umfang:

  • $U = 2 \cdot (a+b) = 2 \cdot (35~\text m + 20~\text m) = 110~\text m$

  Beispiel: $a = 30~\text m$ und $b = 45~\text m$

  Zu diesem Rechteck passt nur der Umfang:

  • $U = 150~\text m = 2 \cdot 30~\text m + 2 \cdot 45~\text m$

  Der zugehörige Flächeninhalt wäre:

  • $A = 30~\text m \cdot 45~\text m = 1.350~\text m^2$

  Dieser Wert kommt in der Auswahl aber nicht vor.

  $\,$

  Die Angabe $U = 130~\text m^2$ passt zu keinem Rechteck, denn der Umfang $U$ ist stets eine Länge und kann nicht in der Maßeinheit $\text m^2$ angegeben werden.

• Beschrifte die Rechtecke.

  Tipps

  Die Diagonale eines Rechtecks verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte.

  Die einander gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind parallel und gleich lang.

  Die Fläche eines Rechtecks ist nicht die Summe seiner Seitenlängen.

  Lösung

  Folgende geometrische Größen und Beziehungen werden in den Bildern gezeigt:

  • Die einander gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind zueinander parallel.

  • Ein Rechteck ist rechtwinklig, d. h. alle Winkel zwischen benachbarten Seiten sind rechte Winkel.

  • Jede Diagonale eines Rechtecks verbindet zwei einander gegenüberliegende Eckpunkte.

  • Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller vier Seitenlängen.

  • Jede Seite eines Rechtecks ist eine Verbindungsstrecke zweier gegenüberliegender Eckpunkte.

• Analysiere die Bilder.

  Tipps

  Es gibt kein Rechteck, dessen Flächeninhalt das Produkt des Umfangs $U$ und einer Seite ist. Denn für jedes Rechteck ist $U = 2a+2b$ und $b \cdot U = b \cdot (2a+2b) > b \cdot a = A$.

  Lösung

  Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks ist das Produkt der Längen seiner beiden nicht parallelen Seiten. Der Umfang $U$ ist die Summe der Längen seiner vier Seiten. Bezeichnet man die nicht parallelen Seiten mit $a$ und $b$, so ist also $U = 2a+2b$ und $A = a \cdot b$.

  Folgende Rechtecke sind korrekt bezeichnet:

  • Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 30~\text m$ ist ein spezielles Rechteck. Sein Flächeninhalt beträgt $A = 900~\text m^2$, denn $30~\text m \cdot 30~\text m = 900~\text m^2$.

  • Ein Rechteck mit den Seiten $a=30~\text m$ und $b = 35~\text m$ hat den Umfang $U = 130~\text m$.

  • Bei einem Rechteck mit den Seiten $a = 30~\text m$ und $b=25~\text m$ ist $A = 750~\text m^2 < 3.300~\text m^2 = (30~\text m) \cdot (110~\text m) = a \cdot U$. Tatsächlich gilt $A < a \cdot U$ für jedes Rechteck, denn $a \cdot U = a \cdot (2a+2b) = 2aa + 2ab > 2ab > ab = A$.

  • Bei einem Quadrat mit der Seitenlänge $a = 20~\text m$ ist $A = a \cdot a = 400~\text m^2$ und $U = 4 \cdot a = 80~\text m$. Daher ist $A = a \cdot a = \frac{1}{4} \cdot a \cdot (4a) = \frac{1}{4} \cdot a \cdot U$. Diese Formel gilt für jedes Quadrat.

  Folgende Bezeichnungen sind nicht korrekt:

  • Ein Rechteck mit den Seiten $a=90~\text m$ und $b=45~\text m$ hat den Flächeninhalt $A = a \cdot b = 4.050~\text m^2$ und den Umfang $U=2a+2b = 270~\text m$. Im Bild oben steht statt des Formelzeichens $A$ für den Flächeninhalt das Formelzeichen $U$ für den Umfang.

  • Bei einem Rechteck mit den Seitenlängen $a=3~\text m$ und $b=6~\text m$ beträgt der Umfang $U = 2a+2b = 18~\text m$ und der Flächeninhalt $A = a \cdot b = 18~\text m^2$. Die Maßzahlen sind gleich, aber die Maßeinheiten sind verschieden. Daher ist $A \neq U$. Dies gilt für jedes Rechteck.

  • Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=30~\text m$ und $b=10~\text m$ hat den Flächeninhalt $A=300~\text m^2$ und den Umfang $U = 80~\text m$. Im Bild oben sind die Maßeinheiten vertauscht.