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Dreiecke konstruieren – 2 Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben 06:22 min

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Transkript Dreiecke konstruieren – 2 Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben

Pharao Ahmose hat einen fabelhaften Pool bauen lassen, um sich von der ägyptischen Hitze abzukühlen. Aber Khufu, seine Katze, benötigt eine spaßige Ablenkung. Also beauftragt der Pharao seinen Architekten damit eine Wasserrutsche zu bauen, die Khufu's hohen Standards gerecht werden. Um eine einzigartige Rutsche bauen zu können, müssen die Architekten ein Dreieck konstruieren, bei dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind. Die Wasserrutsche bildet ein Dreieck mit der Leiter, der Rutsche und dem Boden als Seiten. Es gibt so viele Wege, um hier ein Dreieck zu konstruieren. Aber welche Angaben helfen bei der Konstruktion eines Dreiecks überhaupt? Naja, ein Dreieck hat ja drei Seiten und drei Winkel. Also insgesamt sechs mögliche Werte. Aber manchmal reichen auch schon drei von diesen aus, um ein einziges Dreieck zu konstruieren. Die Architekten des Pharaos haben eine Leiter gegeben, die 5m lang ist und eine Rutsche, die 4m lang ist. Der Pharao bestimmt außerdem, dass die Leiter mit dem Boden einen 45 Grad Winkel, also einen spitzen Winkel, bilden soll. Diese drei Angaben sollten ausreichen, um ein eindeutiges Dreieck zu konstruieren, oder? Lass uns das mal ausprobieren, indem wir eine Skizze mit unserem Lineal, Geodreieck und Zirkel anlegen. Um besser zeichnen zu können, nehmen wir hier 1cm in unserer Zeichnung als 1m. Zunächst lass uns von A aus einmal eine Linie für unseren Boden zeichnen. Nun können wir mit dem Geodreieck den Winkel von 45 Grad einzeichnen und eine weitere Linie einzeichnen. Den Winkel können wir nun mit 45 Grad beschriften. Jetzt können wir die 5cm hier ausmessen. Das ist unsere 5m lange Leiter. Die Leiter ist also unsere Strecke 'AB'. Mithilfe des Lineals können wir den Zirkel auf die Länge von 4cm einstellen und dann einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt 'B' zeichnen. Dies zeigt uns, wie wir die 4m lange Rutsche platzieren könnten. Wir sehen, dass es hier aber zwei Stellen gibt, an die wir die 4m lange Rutsche einzeichnen können, damit ein Dreieck entsteht. Also gibt es hier zwei verschiedene Dreiecke. Das Dreieck ABC und das Dreieck ABD. Diese beiden Dreiecke sind sehr unterschiedlich! Die Angaben, die uns zuvor gegeben wurden, waren ja zwei Seitenlängen und ein Winkel, der aber nicht zwischen diesen beiden Seitenlängen lag. Außerdem war die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere. Es ist tatsächlich so, dass bei zwei gegebenen Seiten und einem davon nicht eingeschlossenen, spitzen Winkel, keine eindeutige Konstruktion durchgeführt werden kann. Das Ergebnis ist also nicht sehr zufriedenstellend. Katze Khufu lehnt diesen Plan ab! Eventuell ist ein stumpfer Winkel ja mehr nach Khufu's Geschmack! Pharao Ahmose befiehlt also, dass die Rutsche dieselbe 5m lange Leiter haben soll, die mit dem Boden einen stumpfen Winkel von 120 Grad bilden soll. Außerdem soll die Rutsche diesmal 10m lang sein. Lass uns auch hier wieder eine Skizze anfertigen, um diese neue Idee auszutesten. Wir benutzen wieder unser Lineal, um eine Gerade für den Boden zu zeichnen, die bei dem Punkt 'A' beginnt. Von 'A' aus messen wir dann den Winkel von 120 Grad und zeichnen auch hier wieder eine Gerade. Mit dem Lineal können wir dann die 5cm für die Leiter ausmessen und den Punkt 'B' beschriften. Wir benutzen nun wieder unser Lineal, um den Zirkel auf die Länge von 10cm einzustellen und können dann einen Kreis um 'B' mit diesem Radius einzeichnen. Wie viele Dreiecke können wir denn in diesem Fall konstruieren? Genau, eins! Die Bedingungen des Pharaos ergeben eine eindeutige Konstruktion! Wir sehen also, dass die Angaben von zwei Seiten und einem nicht-eingeschlossenen stumpfen Winkel ausreichen. Wichtig ist dabei, dass die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere ist. Also befiehlt Pharao Ahmose, dass die Leiter 5m lang bleibt, die Rutsche 10m lang bleibt und der nicht-eingeschlossene Winkel ein 90 Grad Winkel, also ein rechter Winkel, ist. Das heißt, dass wir den stumpfen Winkel von zuvor einfach so anpassen können, dass dieser ein 90 Grad Winkel ist. Wie viele Dreiecke können wir nun konstruieren, wenn wir diese Angaben verwenden? Schon wieder nur eins! Haben wir also zwei Seiten und einen nicht-eingeschlossenen rechten Winkel gegeben, erhalten wir auch eine eindeutige Konstruktion. Auch hier ist es wichtig, dass die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere Seite ist. Entspricht dies denn den Erwartungen von Khufu? Ja! Während die Rutsche gebaut wird, fassen wir zusammen. Zwei Seiten und ein nicht-eingeschlossener spitzer Winkel sind nicht die Voraussetzungen, um nur ein einziges Dreieck konstruieren zu können, wenn die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, die kürzere ist. Aber zwei Seiten und ein nicht-eingeschlossener stumpfer Winkel genügen, um ein einziges Dreieck konstruieren zu können. Dabei muss die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, die längere Seite sein. Dasselbe gilt für zwei gegebene Seiten und einen nicht-eingeschlossenen rechten Winkel. Khufu kann es kaum erwarten diese einzigartige Rutsche zu testen!

1 Kommentar
  1. sehr gut

    Von Vbieber, vor 6 Monaten

Dreiecke konstruieren – 2 Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecke konstruieren – 2 Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks, bei dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind.

    Tipps

    Da in den meisten Fällen die Größe des Papiers für die Abbildung der tatsächlichen Längen nicht ausreicht, legt man sich zunächst einen Maßstab fest, wie zum Beispiel: $1:100$

    Das bedeutet, dass $1\text{cm}$ auf dem Papier $100\text{cm}=1\text{m}$ in Wirklichkeit entspricht.

    Du zeichnest die Seiten des Dreiecks in folgender Reihenfolge:

    • Boden
    • Leiter
    • Rutsche
    Die Länge für den Boden ist nicht bekannt, daher wird zunächst nur ein Strahl und keine Strecke gezeichnet. Der Endpunkt ergibt sich dann im letzten Konstruktionsschritt.

    Lösung

    Ein Dreieck setzt sich aus drei Seiten und drei von diesen eingeschlossenen Winkeln zusammen. Manchmal reichen schon drei von diesen Größen aus, um ein Dreieck zu konstruieren. Hier betrachten wir den Fall, dass zwei Seiten und ein, von diesen beiden nicht eingeschlossener Winkel, bekannt sind. Dabei unterscheiden wir Angaben, mit denen ein Dreieck eindeutig und nicht eindeutig konstruierbar ist. Für diese gilt:

    • Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel genügen nicht für die Konstruktion eines eindeutigen Dreiecks, wenn die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die kürzere der beiden gegebenen Seiten ist.
    • Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener stumpfer oder rechter Winkel genügen für die Konstruktion eines eindeutigen Dreiecks, wenn die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die längere der beiden gegebenen Seiten ist.
    Bei der Konstruktion eines solchen Dreiecks gehen wir wie folgt vor:
    1. Zunächst legen wir einen Maßstab für die Zeichnung fest.
    2. Dann zeichnen wir ausgehend von einem Eckpunkt des Dreiecks, zum Beispiel $A$, einen Strahl für den Boden.
    3. Im Punkt $A$ tragen wir nun mit Hilfe des Geodreiecks den gegebenen Winkel ab. Die beiden von $A$ ausgehenden Strahlen bilden die Schenkel, die den gegebenen Winkel einschließen.
    4. An diesem zweiten Strahl tragen wir nun die gegebene Leiterlänge ab, sodass sich eine Strecke ergibt. Der Endpunkt dieser Strecke liefert den nächsten Eckpunkt, zum Beispiel $B$, des Dreiecks.
    5. Jetzt stellen wir den Zirkel auf die Länge der Rutsche ein und zeichnen einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt $B$. Schneidet dieser Kreis den ersten Strahl, liefert er den dritten Eckpunkt des Dreiecks.
    6. Existiert nur ein Schnittpunkt, so handelt es sich bei den gegebenen Seiten und Winkel um ein eindeutiges Dreieck. Liegen zwei Schnittpunkte vor, so ist das Dreieck mit den Angaben nicht eindeutig konstruierbar. Gibt es keinen Schnittpunkt, ist keine Konstruktion eines Dreiecks möglich.

  • Bestimme, mit welchen der gegebenen Größen ein eindeutiges Dreieck konstruierbar ist.

    Tipps

    Die Angaben liefern genau dann ein eindeutiges Dreieck, wenn mit ihnen das Dreieck nur auf eine Art und Weise gezeichnet werden kann.

    Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind, bei dem die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist. Dies gilt sowohl für spitze Winkel als auch für stumpfe und rechte Winkel.

    Lösung

    Merke dir:

    • Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind, bei dem die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist. Dies gilt sowohl für spitze Winkel als auch für stumpfe und rechte Winkel.
    • Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden ist.
    Demnach können wir die Angaben wie folgt eindeutigen und nicht eindeutigen Dreiecken zuordnen:

    eindeutig konstruierbare Dreiecke

    • $a=10\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 120^\circ$: Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$, welche die längere der beiden Seiten ist. Zudem ist $\alpha$ ein stumpfer Winkel.
    • $a=10\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 90^\circ$: Wieder ist $a$ die längere der beiden Seiten. $\alpha$ entspricht einem rechten Winkel.
    nicht eindeutig konstruierbare Dreiecke

    • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 45^\circ$: Hier ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ ein spitzer Winkel.
    • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 120^\circ$: Wieder ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ entspricht einem stumpfen Winkel. Hier entsteht kein Dreieck.
    • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 90^\circ$: Auch hier ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ entspricht einem rechten Winkel. Hier entsteht gar kein Dreieck.
  • Entscheide, mit welchen Angaben das betrachtete Dreieck eindeutig konstruierbar ist.

    Tipps

    Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere ist.

    Lösung

    Ein Dreieck, von dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind, ist dann eindeutig konstruierbar, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite länger ist. Das ist hier nur für folgende Kombination der Fall:

    • $a$, $b$ und $\beta$
    • $b$, $c$ und $\beta$
    Bei den übrigen drei Kombinationen ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite immer die kürzere. Damit ist das Dreieck mit folgenden Kombinationen nicht eindeutig konstruierbar:

    • $a$, $c$ und $\alpha$
    • $b$, $c$ und $\gamma$
  • Ermittle die Kombinationen, die die eindeutige Konstruktion des jeweiligen Dreiecks ermöglichen.

    Tipps

    Beachte, dass nur dann eine eindeutige Konstruktion möglich ist, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite länger ist als die anliegende Seite. Dies gilt für spitze, stumpfe und rechte Winkel.

    Hier sind zwei Kombinationen, die für eine eindeutige Konstruktion nicht genügen:

    • $a$, $b$ und $\alpha$
    $\alpha$ ist hier ein spitzer Winkel und liegt der Kürzeren der beiden Seiten gegenüber.

    • $b$, $c$ und $\beta$
    $\beta$ ist hier ein spitzer Winkel und liegt der Kürzeren der beiden Seiten gegenüber.

    Der Winkel darf nicht von den beiden Seiten eingeschlossen sein.

    Lösung

    Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere ist. Ausgehend von dieser Erklärung erhalten wir die folgenden Kombinationen, die eine eindeutige Konstruktion des Dreiecks ermöglichen:

    • $a$, $b$ und $\beta$
    • $a$, $c$ und $\gamma$
    • $b$, $c$ und $\gamma$
    Die Reihenfolge der drei Größen einer Kombination spielt keine Rolle. Du kannst also statt $a$, $b$ und $\beta$ auch $b$, $\beta$ und $a$ angeben. Für die Konstruktion ist das egal.

  • Gib die Voraussetzungen für eindeutig konstruierbare Dreiecke an.

    Tipps

    Das hier abgebildete Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn die Seiten $b$, $c$ und der rechte Winkel gegeben sind. Sind die Seiten $a$, $b$ und der Winkel $\alpha$ gegeben, so ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar.

    Lösung

    Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Winkel und oftmals genügt es nur drei dieser Größen zu kennen, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können. Kennst du von einem Dreieck zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel, so ist dieses genau dann eindeutig konstruierbar, wenn es nur auf eine Art und Weise gezeichnet werden kann. Generell ist ein Dreieck mit der Angabe von zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel genau dann eindeutig konstruierbar, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden Seiten ist. Demnach kannst du den Lückentext wie folgt vervollständigen:

    • Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener stumpfer oder rechter Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden ist.
    • Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener spitzer Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist.
  • Bestimme die fehlende Seite des Dreiecks, indem du dieses konstruierst.

    Tipps

    Bekannt sind die Größen $b$, $c$ und $\gamma$ des Dreiecks.

    Hier ist eine eindeutige Konstruktion möglich. Lege zunächst einen Maßstab fest, z. B. könnte $1\ \text{cm}$ einem Kilometer entsprechen. Zeichne dann einen Strahl für die Seite $a$ ausgehend von dem Eckpunkt $C$.

    Im nächsten Schritt trägst du in $C$ den Winkel $\gamma=120^\circ$ ab und zeichnest die Seite $b$.

    Mit einem Zirkel zeichnest du um den Punkt $A$ einen Kreis mit dem Radius $c$. Dieser schneidet den Strahl einmal, nämlich im Punkt $B$. Nun kannst du die Strecke $\overline{BC}$ messen.

    Lösung

    Mit den Größen $b=5\ \text{km}$, $c=7\ \text{km}$ und $\gamma=120^\circ$ können wir das abgebildete stumpfwinklige Dreieck eindeutig konstruieren, da die dem Winkel $\gamma$ gegenüberliegende Seite $c$ länger ist als $b$. Bei der Konstruktion gehen wir wie folgt vor:

    • Wir legen zunächst einen Maßstab fest. Hier bietet es sich an für einen Kilometer einen Zentimeter anzunehmen.
    • Jetzt zeichnen wir einen Strahl für die Seite $a$ ausgehend von dem Eckpunkt $C$, denn in diesem Eckpunkt kennen wir den Winkel $\gamma$.
    • Nun tragen wir in $C$ den Winkel $\gamma=120^\circ$ ab und zeichnen die Seite $b=5\ \text{cm}$. So erhalten wir nun den zweiten Eckpunkt des Dreiecks, nämlich $A$.
    • Mit einem Zirkel zeichnen wir um den Punkt $A$ einen Kreis mit dem Radius $c=7\ \text{cm}$. Dieser schneidet den Strahl einmal, nämlich im Punkt $B$.
    • Wir messen die Strecke $\overline{BC}$, also die gesuchte Seite $a$. Diese hat eine Länge von $3\ \text{cm}$. Ausgehend von unserem Maßstab, erhalten wir also eine Entfernung von $3$ Kilometern.