Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel

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Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

Kongruenzsätze – SSS

Kongruenzsätze – WSW

Kongruenzsätze – SWS

Kongruenzsätze – SSW

Dreiecke konstruieren – Kongruenzsatz SsW

Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren

Die Höhe eines Dreiecks

Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick

Mittelpunkt eines Kreises konstruieren

Die Mittelsenkrechte

Die Winkelhalbierende

Die Seitenhalbierende

Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks

Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen
Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel Übung
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Beschreibe die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken.
TippsFür ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist, gilt folgende Dreiecksungleichung:
$c < a+b$
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$.
LösungWir betrachten nun ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist. Dann gilt folgende Dreiecksungleichung:
- $c < a+b$
- Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein. Genau das sagt die obige Dreiecksungleichung aus.
- Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
- Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.
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Gib an, bei welchen der Angaben die Konstruktion eines Dreiecks möglich ist.
TippsHast du drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.
Die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.
LösungBevor wir die Angaben zu den Dreiecken untersuchen, wiederholen wir die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken:
- Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.
- Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.
1. Beispiel
Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 30\ \text{cm}$ erfüllen nicht die erste Bedingung. Es gilt nämlich:
- $b+c=70\ \text{cm}+30\ \text{cm}=100\ \text{cm}<150\ \text{cm}$
2. Beispiel
Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 100\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die erste Bedingung erfüllen. Es gilt nämlich:
- $b+c=70\ \text{cm}+100\ \text{cm}=170\ \text{cm}>150\ \text{cm}$
3. Beispiel
Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 150^\circ$ erfüllen nicht die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:
- $\alpha+\beta=50^\circ+150^\circ=200^\circ>180^\circ$.
4. Beispiel
Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 52^\circ$ erfüllen die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:
- $\alpha+\beta=50^\circ+52^\circ=102^\circ<180^\circ$.
-
Ermittle jeweils die möglichen Längen für die dritte Seite der Dreiecke.
TippsKennst du zwei Seiten eines Dreiecks, so muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
LösungDa wir jeweils zwei Seiten der Dreiecke kennen, müssen wir nur noch die Differenz und die Summe dieser bestimmen, um die Grenzen für die Länge der dritten Seite zu bestimmen. Diese muss nämlich größer als die Differenz und kleiner als die Summe der gegebenen Seiten sein:
1. Beispiel
Mit $a=10\ \text{cm}$ und $b=50\ \text{cm}$ erhalten wir:
- $a+b=10\ \text{cm}+50\ \text{cm}=60\ \text{cm}$
- $b-a=50\ \text{cm}-10\ \text{cm}=40\ \text{cm}$
2. Beispiel
Mit $a=10\ \text{cm}$ und $c=80\ \text{cm}$ erhalten wir:
- $a+c=10\ \text{cm}+80\ \text{cm}=90\ \text{cm}$
- $c-a=80\ \text{cm}-10\ \text{cm}=70\ \text{cm}$
3. Beispiel
Mit $b=20\ \text{cm}$ und $c=110\ \text{cm}$ erhalten wir:
- $b+c=20\ \text{cm}+110\ \text{cm}=130\ \text{cm}$
- $c-b=110\ \text{cm}-20\ \text{cm}=90\ \text{cm}$
Beispiel 4
Mit $a=50\ \text{cm}$ und $b=60\ \text{cm}$ erhalten wir:
- $a+b=50\ \text{cm}+60\ \text{cm}=110\ \text{cm}$
- $b-a=60\ \text{cm}-50\ \text{cm}=10\ \text{cm}$
-
Bestimme, in welchem Bereich der gesuchte Winkel jeweils liegen darf.
TippsDie Innenwinkelsumme von Dreiecken beträgt immer $180^\circ$.
LösungDie Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks, also die Innenwinkelsumme, muss genau $180^\circ$ betragen. Darum gilt:
- $\alpha +\beta +\gamma=180^\circ$
- $\alpha +\beta < 180^\circ$
1. Beispiel
Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=100^\circ$, so gilt:
$\begin{array}{llll} 100^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -100^\circ \\ \beta &<& 80^\circ & \end{array}$
2. Beispiel
Ist $c=30\ \text{cm}$ und $\alpha=80^\circ$, so gilt:
$\begin{array}{llll} 80^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -80^\circ \\ \beta &<& 100^\circ & \end{array}$
3. Beispiel
Ist $c=60\ \text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$, so gilt:
$\begin{array}{llll} 30^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -30^\circ \\ \beta &<& 150^\circ & \end{array}$
4. Beispiel
Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=20^\circ$, so gilt:
$\begin{array}{llll} 20^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -20^\circ \\ \beta &<& 160^\circ & \end{array}$
-
Bestimme, welche Längen die Seite $c$ des Dreiecks $\Delta_{ABC}$ annehmen kann.
TippsDie längste Seite eines Dreiecks ist immer kürzer als die Summe der beiden kürzeren Seiten.
Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz der anderen Seiten sein.
LösungHaben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
Darum bestimmen wir zunächst die Differenz der gegebenen beiden Seiten:
- $a-b=150~\text{cm}-70~\text{cm}=80~\text{cm}$
- $a+b=150~\text{cm}+70~\text{cm}=220~\text{cm}$
- $80~\text{cm} < c < 220~\text{cm}$
- $50^\circ + 52^\circ < 180^\circ$
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Erschließe die fehlenden Größen.
TippsEin offenes Intervall $\rbrack a;b \lbrack$ enthält alle Zahlen von $a$ bis $b$ außer die Grenzen selbst, also $a$ und $b$.
Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel.
Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten.
LösungGleichschenkliges Dreieck
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel. Auch für ein gleichschenkliges Dreieck gelten die folgenden Bedingungen:
- Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
- Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.
Den Bereich, in dem der Basiswinkel $\alpha$ eines gleichschenkligen Dreiecks liegen muss, können wir uns wie folgt herleiten. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei Basiswinkel $\alpha$. Die Summe zweier Winkel in einem Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Damit folgt:
$\begin{array}{llll} \alpha+\alpha &<& 180^\circ & \\ 2\alpha &<& 180^\circ & \vert :2 \\ \alpha &<& 90^\circ & \end{array}$
Den Bereich für die Basislänge eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge $10\ \text{cm}$ können wir uns ebenfalls herleiten. Wir haben in einem gleichschenkligen Dreieck zwei Schenkel und wissen, dass die dritte Seite, also die Basis, größer als die Differenz und kleiner als die Summe der beiden Schenkel sein muss. Es gilt also:
- $10\ \text{cm} -10\ \text{cm}=0\ \text{cm}$
- $10\ \text{cm}+10\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
- $\rbrack 0;20\lbrack$
Das gleichseitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten und damit drei gleich große Winkel. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Es gilt also:
$\begin{array}{llll} 3\alpha &=& 180^\circ & \vert :3 \\ \alpha &=& 60^\circ & \\ \end{array}$
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