Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW) 07:31 min
Transkript Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW)
Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir wie man Dreiecke konstruiert, bei denen zwei Winkel und eine Seite gegeben sind. In diesem Video gehe ich auf das Schema SWW ein. Hierbei ist eine Seite, zum Beispiel b, mit einem angrenzenden Winkel, zum Beispiel Alpha und einem Winkel, welcher der gegebenen Seite gegenüberliegt, in unserem Beispiel ist das Beta, gegeben. Zuerst zeige ich dir anhand eines Beispiels wie man ein solches Dreieck konstruiert. Du erhältst dazu ein Beispiel für eine Konstruktionsbeschreibung. Danach hast du selbst die Möglichkeit zu üben. In einem weiteren Video lernst du dann, wie man ein Dreieck nach dem Schema WSW konstruiert. Wir haben für den Fall SWW zum Beispiel die zwei Winkel Alpha gleich 50 Grad und Beta gleich 60 Grad. Und die Seite b gleich acht Zentimeter gegeben. Zuerst machen wir uns eine Planfigur und zeichnen uns die gegebenen Größen ein. Die Zeichnung muss nicht perfekt sein und kann per Hand gezeichnet sein. Wir tragen die gegebenen Größen farbig ein. Das sind Alpha, Beta und b. Bei der Konstruktion beginnen wir mit der gegebenen Seite b. Diese Seite ist die Strecke AC. Das heißt, wir konstruieren diese Seite indem wir zum Beispiel den Punkt A als Ausgangspunkt wählen. Dann stechen wir in diesen Punkt den Zirkel ein und zeichnen einen Kreisbogen mit einer Radiuslänge von acht Zentimeter um diesen Punkt. An einer beliebigen Stelle definieren wir den Punkt C. Dann verbinden wir diese Punkte und erhalten die Seite b. Anschließend tragen wir den angrenzenden Winkel Alpha mit 50 Grad im Punkt A an. Wir legen dazu das Geodreieck mit der Null an den Punkt A und messen einen Winkel von 50 Grad ab. Diesen Punkt markieren wir und verbinden diesen mit dem Punkt A. Nun gibt es zwei Möglichkeiten. Möglichkeit eins. Du berechnest dir mithilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke den dritten Winkel Gamma. Dieser lässt sich berechnen durch: γ=180°- ∝ - β. Das ist gleich 180° - 50 ° - 60°. Zusammengefasst ergibt das 70 Grad. Dann verfahren wir weiter wie im Fall WSW. Tragen also den Winkel Gamma im Punkt C an und der Schnittpunkt der beiden Hilfslinien ergibt den Punkt B. Wir konzentrieren uns aber im Weiteren auf die Möglichkeit zwei. Also nochmal zurück zur Ausgangsstelle. Jetzt definieren wir uns auf dem freien Schenkel des Winkels Alpha einen Hilfspunkt B-Strich. In diesem Punkt tragen wir nun den Winkel Beta gleich 60 Grad an. Dies ergibt eine weitere Hilfslinie. Mithilfe einer Parallelverschiebung dieser Hilfslinie in den Punkt C erhalten wir eine Parallele zum freien Schenkel des Winkels Beta. Durch den Punkt C und gleichzeitig einen Schnittpunkt dieser Parallelen mit unserem Strahl durch die Punkte A und B-Strich. Dieser Schnittpunkt ist unser Punkt B. Wir ziehen die Dreiecksseiten noch einmal nach und haben unser fertiges Dreieck. Das ging jetzt vielleicht etwas schnell. Nun noch einmal langsam zum Mitschreiben. Zuerst haben wir die Strecke AC konstruiert. Danach haben wir den Winkel Alpha am Punkt A angetragen. Anschließend haben wir einen Hilfspunkt B-Strich auf dem freien Schenkel von Alpha definiert. An diesem haben wir den Winkel Beta angetragen. Dann haben wir eine Parallele zum freien Schenkel des Winkels Beta durch den Punkt C gezeichnet. Dadurch entstand ein Schnittpunkt der Parallelen mit dem Strahl durch A und B-Strich. Dieser Schnittpunkt ist unser Punkt B. Zum Schluss zeichnen wir noch einmal die Dreiecksseiten nach und unser Dreieck ist fertig. Jetzt bist du dran. Nimm dir ein Blatt Papier und los geht es mit dem Zeichnen. Ich gebe dir die Winkel Alpha gleich 40 Grad, Gamma gleich 70 Grad und die Seite c mit sieben Zentimeter vor. Mache wieder eine Planfigur und konstruiere dann das Dreieck. Halte das Video so lange an, bis du fertig bist. Danach kannst du dir die Lösung ansehen. Schon fertig? Na dann kann es ja losgehen. Ich fertige wieder eine Planfigur an. Diesmal haben wir die Winkel Alpha und Gamma gegeben und die an den Winkel angrenzende Seite c. Beginnen wir mit der gegebenen Seite c. Dazu konstruieren wir zuerst die Strecke AB mit einer Länge von sieben Zentimeter. Danach tragen wir den Winkel Alpha im Punkt A an. Anschließend definieren wir einen Hilfspunkt C-Strich auf dem freien Schenkel von Alpha. An diesem tragen wir den Winkel Gamma an. Dann zeichnen wir eine Parallele zum freien Schenkel des Winkels Gamma durch den Punkt B. Dadurch entsteht ein Schnittpunkt der Parallelen mit dem Strahl durch A und C-Strich. Dieser Schnittpunkt ist unser Punkt C. Zum Schluss zeichnen wir noch einmal die Dreiecksseiten nach. Damit ist auch dieses Dreieck fertig und wir sind am Ende des Videos angekommen. Ich hoffe du weißt jetzt wie man Dreiecke konstruiert, wenn zwei Winkel und eine Seite nach dem Schema SWW gegeben sind. Nun sage ich bye, bye und bis zum nächsten Mal.
Videobeschreibung
Dreiecke konstruieren ist nicht schwer. Beim Konstruieren von Dreiecken können unterschiedliche Größen gegeben sein. So sind in diesem Fall zwei Winkel und eine Seite nach dem Schema SWW gegeben. Wie man ein Dreieck mit diesen Angaben konstruiert, lernst du in dem Video. Das wird dir zu Beginn des Videos anhand eines Beispiels erklärt. Danach erhältst du noch eine Konstruktionsbeschreibung, die du später nutzen kannst, um Dreiecke zu zeichnen, bei denen die gleichen Größen gegeben sind. Anschließend hast du selbst die Möglichkeit zu üben. Dazu kannst du das Video anhalten, um selbst das Dreieck zu zeichnen. Wenn du fertig bist, kannst du fortfahren und dir die Lösung ansehen. In weiteren Videos lernst du noch Dreiecke mit anderen Angaben zu konstruieren (WSW und SSW).
Die Tutorin:
Studienrat
Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW)
Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW) Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW) kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe das Vorgehen bei der Konstruktion des Dreiecks nach dem Schema SWW.
Tipps
Fertige dir zur Orientierung eine Planskizze an.
Merke dir, dass die Winkel eines Dreiecks $\triangle_{ABC}$ mit den entsprechenden griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha) für $a$, $\beta$ (beta) für $b$ und $\gamma$ (gamma) für $c$ bezeichnet werden.
Lösung
Hier siehst du die komplette Konstruktion.
Schritt 1
Du konstruierst die bekannte Seite. Verwende hierfür einen Zirkel oder ein Geodreieck. Du kennst nun bereits die beiden Punkte $A$ und $C$ des Dreiecks.
Schritt 2
Trage den Winkel $\alpha$ in $A$ an. Lege dafür ein Geodreieck in $A$ an die Seite $b$ an und lies den Winkel ab. An der entsprechenden Stelle machst du einen Punkt. Zeichne eine Hilfslinie von $A$ zu diesem Punkt und darüber hinaus. So erhältst du einen freien Schenkel.
Schritt 3
Wähle einen Hilfspunkt $B'$ auf diesem freien Schenkel. In diesem Punkt trägst du nun den Winkel $\beta$ an. Wenn dieser bereits die Seite $b$ in $C$ schneidet, bist du fertig.
Schritt 4
Verschiebe den Schenkel von $\beta$ aus Schritt 3 parallel in den Punkt $C$. Diese Parallele schneidet den freien Schenkel von $\alpha$ in einem Punkt. Dies ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks.
Schritt 5
Bezeichne den Schnittpunkt aus Schritt 4 mit $B$. Zeichne nun die Dreieckseiten nach und entferne die Hilfslinien.
Fertig ist das Dreieck.
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Benenne die einzelnen Schritte zur Konstruktion eines Dreiecks.
Tipps
Beachte die Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel in diesem Plandreieck.
An der Seite $b$ liegen beispielsweise die Punkte $A$ und $C$ an.
Der freie Schenkel ist der Schenkel, dessen Länge noch nicht bekannt ist. Er liegt auf der Seite $c$.
Lösung
Hier siehst du das allgemeine Vorgehen zur Konstruktion eines Dreiecks, wenn du eine Seite, einen an dieser Seite anliegenden Winkel und den dieser Seite gegenüberliegenden Winkel kennst.
Am besten machst du dir eine Skizze. Im Folgenden sei die Seite $b=8~\text{cm}$ gegeben. Der anliegende Winkel ist $\alpha=50^\circ$. Der der Seite $b$ gegenüberliegende Winkel ist $\beta=60^\circ$.
- Konstruiere (zeichne) die bekannte Seite $b.$ So kennst du bereits die Punkte $A$ und $C$ des Dreiecks.
- Trage den Winkel $\alpha$ in $A$ an.
- Definiere einen Hilfspunkt $B'$ auf dem freien Schenkel dieses Winkels.
- Trage in diesem Punkt den gegenüberliegenden Winkel $\beta$ an.
- Verschiebe den so erhaltenen Schenkel von $\beta$ in den Punkt $C$.
- Benenne den Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem freien Schenkel aus 3. mit $B$. Dies ist der fehlende Punkt des Dreiecks.
- Zeichne die Dreieckseiten nach und entferne die Hilfslinien.
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Beschrifte die Seiten und Winkel in der Planfigur.
Tipps
Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks kennst, kannst du den dritten mit Hilfe des Innenwinkelsatzes berechnen.
Addiere die beiden bekannten Winkel und subtrahiere die Summe von $180^\circ$.
Die Ecken des Dreiecks sind bereits beschriftet. Die anderen Bezeichnungen machst du wie folgt:
- Die Winkel werden gemäß dem jeweiligen Scheitelpunkt benannt. Dabei liegt $\alpha$ in $A$, $\beta$ in $B$ und $\gamma$ in $C$.
- Die Seiten werden mit dem jeweiligen Kleinbuchstaben des gegenüberliegenden Punktes bezeichnet.
Lösung
Hier siehst du die gegebenen Größen in der Planskizze. Es ist wichtig, dass du dir dies immer zuerst klarmachst. Dies erleichtert dir die Konstruktion.
In diesem Fall sind die Seite $c=12~\text{cm}$ und die beiden Winkel $\alpha=40^\circ$ und $\gamma=75^\circ$ gegeben.
- Die Seite $c$ liegt dem Punkt $C$ gegenüber.
- Der Winkel $\alpha$ liegt an der Seite $c$ im Punkt $A$ an.
- Der Winkel $\gamma$ liegt der Seite $c$ gegenüber. Der Scheitelpunkt dieses Winkels ist $C$.
- Du erhältst den fehlenden Winkel $\beta$ (in $C$) mit Hilfe des Innenwinkelsatzes. Es gilt $\beta=180^\circ-(40^\circ+75^\circ)=65^\circ$.
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Bestimme die Reihenfolge bei der Konstruktion des Dreiecks.
Tipps
Beginne mit der bekannten Seite. Diese verbindet die beiden Punkte $A$ und $B$.
Der Winkel $\alpha$ liegt in $A$. Trage diesen Winkel anschließend an.
Wähle nun einen Punkt auf dem freien Schenkel von $\alpha$ und trage in diesem Punkt den Winkel $\gamma$ an.
Verschiebe schließlich den Schenkel von $\gamma$ parallel in den Punkt $B$.
Lösung
Paul ist wie folgt vorgegangen:
- Zuerst hat er die Seite $c=12~\text{cm}$ gezeichnet.
- In $A$ trägt er nun den Winkel $\alpha=45^\circ$ an. So erhält er einen freien Schenkel.
- Auf diesem freien Schenkel wählt er einen Punkt $C'$, in dem er den Winkel $\gamma=75^\circ$ anträgt.
- Dann verschiebt er den freien Schenkel von $\gamma$ parallel bis in den Punkt $B$.
- Der Schnittpunkt dieses Schenkels mit dem freien Schenkel von $\alpha$ ist der gesuchte dritte Punkt $C$ des Dreiecks.
- Zuletzt zeichnet Paul die Seiten des Dreiecks nach und entfernt alle Hilfslinien.
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Gib an, wie du den fehlenden Winkel im Dreieck berechnen kannst.
Tipps
Der Innenwinkelsatz (oder auch Winkelsummensatz) für Dreiecke besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel bei jedem Dreieck $180^\circ$ ergibt.
Hier siehst du ein gleichschenkliges Dreieck. Der Basiswinkelsatz besagt, dass die beiden Basiswinkel gleich groß sind. Dies erkennst du hier daran, dass beide Winkel mit $\alpha$ bezeichnet sind.
Sei zum Beispiel $\alpha=70^\circ$ und $\beta=40^\circ$, dann ist $\gamma=70^\circ$.
Lösung
Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks bereits kennst, kannst du den dritten mit Hilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke berechnen. Vielleicht kennst du diesen Satz auch als Winkelsummensatz. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in beliebigen Dreiecken immer $180^\circ$ beträgt.
Dies kannst du nun an dem oben angegebenen Beispiel üben.
- $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
- Setze die bekannten Winkel ein: $50^\circ+60^\circ+\gamma=180^\circ$, also $110^\circ+\gamma=180^\circ$.
- Ziehe nun $110^\circ$ ab. So erhältst du $\gamma=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.
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Ermittle die fehlenden Größen des Dreiecks.
Tipps
Zeichne zunächst die Seite $b$. Diese verbindet die beiden Punkte $A$ und $C$.
Trage den Winkel $\alpha=110^\circ$ in $A$ an.
Wähle einen Punkt $B'$ auf dem freien Schenkel von $\alpha$. Dort trägst du den Winkel $\beta=40^\circ$ an.
Verschiebe den Schenkel von $\beta$ parallel in den Punkt $C$. So erhältst du den Punkt $B$.
Die Seite $a$ verbindet die Punkte $B$ und $C$. Die Seite $c$ verbindet die Punkte $A$ und $B$.
Lösung
Konstruiere zunächst das Dreieck.
Gehe bei dem Messen der Winkel sorgfältig vor.
Deine Ergebnisse stimmen nicht exakt mit den hier gefundenen überein? Das kann an Ungenauigkeiten beim Messen liegen.
Den fehlenden Winkel kannst du exakt bestimmen. Die drei Innenwinkel des Dreiecks summieren sich zu $180^\circ$. Dies ist die Aussage des Winkelsummensatzes. Setze die bekannten Winkel ein: Es gilt $\alpha+\beta+\gamma=110^\circ+40^\circ+\gamma=180^\circ$. Subtrahiere nun $150^\circ$. Dies führt zu $\gamma=180^\circ-150^\circ=30^\circ$.
Die fehlenden beiden Seitenlängen kannst du messen:
- $a \approx 8,8~\text{cm}$ und
- $c \approx 4,7~\text{cm}$.
26 Kommentare
Sehr gut
GUT
Hilfreiches Video!
schlecht
oh habs vertauscht :-) Sehr gut erklährt