Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW) 07:31 min

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecke konstruieren – 1 Seite und 2 Winkel gegeben (SWW) kannst du es wiederholen und üben.

• Beschreibe das Vorgehen bei der Konstruktion des Dreiecks nach dem Schema SWW.

  Tipps

  Fertige dir zur Orientierung eine Planskizze an.

  Merke dir, dass die Winkel eines Dreiecks $\triangle_{ABC}$ mit den entsprechenden griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha) für $a$, $\beta$ (beta) für $b$ und $\gamma$ (gamma) für $c$ bezeichnet werden.

  Lösung

  Hier siehst du die komplette Konstruktion.

  Schritt 1

  Du konstruierst die bekannte Seite. Verwende hierfür einen Zirkel oder ein Geodreieck. Du kennst nun bereits die beiden Punkte $A$ und $C$ des Dreiecks.

  Schritt 2

  Trage den Winkel $\alpha$ in $A$ an. Lege dafür ein Geodreieck in $A$ an die Seite $b$ an und lies den Winkel ab. An der entsprechenden Stelle machst du einen Punkt. Zeichne eine Hilfslinie von $A$ zu diesem Punkt und darüber hinaus. So erhältst du einen freien Schenkel.

  Schritt 3

  Wähle einen Hilfspunkt $B'$ auf diesem freien Schenkel. In diesem Punkt trägst du nun den Winkel $\beta$ an. Wenn dieser bereits die Seite $b$ in $C$ schneidet, bist du fertig.

  Schritt 4

  Verschiebe den Schenkel von $\beta$ aus Schritt 3 parallel in den Punkt $C$. Diese Parallele schneidet den freien Schenkel von $\alpha$ in einem Punkt. Dies ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks.

  Schritt 5

  Bezeichne den Schnittpunkt aus Schritt 4 mit $B$. Zeichne nun die Dreieckseiten nach und entferne die Hilfslinien.

  Fertig ist das Dreieck.

• Benenne die einzelnen Schritte zur Konstruktion eines Dreiecks.

  Tipps

  Beachte die Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel in diesem Plandreieck.

  An der Seite $b$ liegen beispielsweise die Punkte $A$ und $C$ an.

  Der freie Schenkel ist der Schenkel, dessen Länge noch nicht bekannt ist. Er liegt auf der Seite $c$.

  Lösung

  Hier siehst du das allgemeine Vorgehen zur Konstruktion eines Dreiecks, wenn du eine Seite, einen an dieser Seite anliegenden Winkel und den dieser Seite gegenüberliegenden Winkel kennst.

  Am besten machst du dir eine Skizze. Im Folgenden sei die Seite $b=8~\text{cm}$ gegeben. Der anliegende Winkel ist $\alpha=50^\circ$. Der der Seite $b$ gegenüberliegende Winkel ist $\beta=60^\circ$.

  1. Konstruiere (zeichne) die bekannte Seite $b.$ So kennst du bereits die Punkte $A$ und $C$ des Dreiecks.
  2. Trage den Winkel $\alpha$ in $A$ an.
  3. Definiere einen Hilfspunkt $B'$ auf dem freien Schenkel dieses Winkels.
  4. Trage in diesem Punkt den gegenüberliegenden Winkel $\beta$ an.
  5. Verschiebe den so erhaltenen Schenkel von $\beta$ in den Punkt $C$.
  6. Benenne den Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem freien Schenkel aus 3. mit $B$. Dies ist der fehlende Punkt des Dreiecks.
  7. Zeichne die Dreieckseiten nach und entferne die Hilfslinien.

• Beschrifte die Seiten und Winkel in der Planfigur.

  Tipps

  Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks kennst, kannst du den dritten mit Hilfe des Innenwinkelsatzes berechnen.

  Addiere die beiden bekannten Winkel und subtrahiere die Summe von $180^\circ$.

  Die Ecken des Dreiecks sind bereits beschriftet. Die anderen Bezeichnungen machst du wie folgt:

  • Die Winkel werden gemäß dem jeweiligen Scheitelpunkt benannt. Dabei liegt $\alpha$ in $A$, $\beta$ in $B$ und $\gamma$ in $C$.
  • Die Seiten werden mit dem jeweiligen Kleinbuchstaben des gegenüberliegenden Punktes bezeichnet.

  Lösung

  Hier siehst du die gegebenen Größen in der Planskizze. Es ist wichtig, dass du dir dies immer zuerst klarmachst. Dies erleichtert dir die Konstruktion.

  In diesem Fall sind die Seite $c=12~\text{cm}$ und die beiden Winkel $\alpha=40^\circ$ und $\gamma=75^\circ$ gegeben.

  • Die Seite $c$ liegt dem Punkt $C$ gegenüber.
  • Der Winkel $\alpha$ liegt an der Seite $c$ im Punkt $A$ an.
  • Der Winkel $\gamma$ liegt der Seite $c$ gegenüber. Der Scheitelpunkt dieses Winkels ist $C$.
  • Du erhältst den fehlenden Winkel $\beta$ (in $C$) mit Hilfe des Innenwinkelsatzes. Es gilt $\beta=180^\circ-(40^\circ+75^\circ)=65^\circ$.

• Bestimme die Reihenfolge bei der Konstruktion des Dreiecks.

  Tipps

  Beginne mit der bekannten Seite. Diese verbindet die beiden Punkte $A$ und $B$.

  Der Winkel $\alpha$ liegt in $A$. Trage diesen Winkel anschließend an.

  Wähle nun einen Punkt auf dem freien Schenkel von $\alpha$ und trage in diesem Punkt den Winkel $\gamma$ an.

  Verschiebe schließlich den Schenkel von $\gamma$ parallel in den Punkt $B$.

  Lösung

  Paul ist wie folgt vorgegangen:

  1. Zuerst hat er die Seite $c=12~\text{cm}$ gezeichnet.
  2. In $A$ trägt er nun den Winkel $\alpha=45^\circ$ an. So erhält er einen freien Schenkel.
  3. Auf diesem freien Schenkel wählt er einen Punkt $C'$, in dem er den Winkel $\gamma=75^\circ$ anträgt.
  4. Dann verschiebt er den freien Schenkel von $\gamma$ parallel bis in den Punkt $B$.
  5. Der Schnittpunkt dieses Schenkels mit dem freien Schenkel von $\alpha$ ist der gesuchte dritte Punkt $C$ des Dreiecks.
  6. Zuletzt zeichnet Paul die Seiten des Dreiecks nach und entfernt alle Hilfslinien.

  Nun ist er fertig.

• Gib an, wie du den fehlenden Winkel im Dreieck berechnen kannst.

  Tipps

  Der Innenwinkelsatz (oder auch Winkelsummensatz) für Dreiecke besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel bei jedem Dreieck $180^\circ$ ergibt.

  Hier siehst du ein gleichschenkliges Dreieck. Der Basiswinkelsatz besagt, dass die beiden Basiswinkel gleich groß sind. Dies erkennst du hier daran, dass beide Winkel mit $\alpha$ bezeichnet sind.

  Sei zum Beispiel $\alpha=70^\circ$ und $\beta=40^\circ$, dann ist $\gamma=70^\circ$.

  Lösung

  Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks bereits kennst, kannst du den dritten mit Hilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke berechnen. Vielleicht kennst du diesen Satz auch als Winkelsummensatz. Er besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in beliebigen Dreiecken immer $180^\circ$ beträgt.

  Dies kannst du nun an dem oben angegebenen Beispiel üben.

  • $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
  • Setze die bekannten Winkel ein: $50^\circ+60^\circ+\gamma=180^\circ$, also $110^\circ+\gamma=180^\circ$.
  • Ziehe nun $110^\circ$ ab. So erhältst du $\gamma=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

• Ermittle die fehlenden Größen des Dreiecks.

  Tipps

  Zeichne zunächst die Seite $b$. Diese verbindet die beiden Punkte $A$ und $C$.

  Trage den Winkel $\alpha=110^\circ$ in $A$ an.

  Wähle einen Punkt $B'$ auf dem freien Schenkel von $\alpha$. Dort trägst du den Winkel $\beta=40^\circ$ an.

  Verschiebe den Schenkel von $\beta$ parallel in den Punkt $C$. So erhältst du den Punkt $B$.

  Die Seite $a$ verbindet die Punkte $B$ und $C$. Die Seite $c$ verbindet die Punkte $A$ und $B$.

  Lösung

  Konstruiere zunächst das Dreieck.

  Gehe bei dem Messen der Winkel sorgfältig vor.

  Deine Ergebnisse stimmen nicht exakt mit den hier gefundenen überein? Das kann an Ungenauigkeiten beim Messen liegen.

  Den fehlenden Winkel kannst du exakt bestimmen. Die drei Innenwinkel des Dreiecks summieren sich zu $180^\circ$. Dies ist die Aussage des Winkelsummensatzes. Setze die bekannten Winkel ein: Es gilt $\alpha+\beta+\gamma=110^\circ+40^\circ+\gamma=180^\circ$. Subtrahiere nun $150^\circ$. Dies führt zu $\gamma=180^\circ-150^\circ=30^\circ$.

  Die fehlenden beiden Seitenlängen kannst du messen:

  • $a \approx 8,8~\text{cm}$ und
  • $c \approx 4,7~\text{cm}$.