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Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren

Erkunde die Welt der gleichschenkligen Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten und den Basiswinkeln. Lerne, wie man sie mithilfe von Zirkel und Lineal einfach konstruieren kann. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

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Die Autor*innen
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Lennartneums
Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Hier siehst du ein gleichschenkliges Dreieck.

    Sind in einem Dreieck nur zwei Seiten gleich lang, dann sind auch nur zwei Innenwinkel (die Basiswinkel) gleich groß.

    Lösung

    Die Eigenschaften eines ausschließlich gleichschenkligen Dreiecks sind:

    • zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel),
    • die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß (Basiswinkel), und
    • es besitzt eine Spiegelachse
    Jedes Dreieck mit genau zwei gleich großen Winkeln oder genau zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig.

  • Tipps

    Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Diese nennt man Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis. Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

    Zeichne zunächst die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.

    Trage anschließend die Länge der Schenkel (ausgehend von den Eckpunkten der Basis) ab.

    Lösung

    Konstruktion eines Dreiecks mithilfe der Seitenlängen:

    • Man zeichnet zunächst die Basis.
    • Dann stellt man den Zirkel auf die Länge des Schenkels ein.
    • Anschließend sticht man den Zirkel in einen Eckpunkt der Basis ein und zeichnet einen Kreisbogen.
    • Vom zweiten Eckpunkt zeichnet man ebenfalls einen Kreisbogen oberhalb der Basis.
    • Zum Schluss verbindet man den Schnittpunkt der Kreisbögen mit den Eckpunkten der Basis.

  • Tipps

    Du beginnst, indem du zunächst die Basis zeichnest.

    Die untere Seite der gleichschenkligen Dreiecke ist hier die Basis. Die Schenkel sind gleich lang und die Basiswinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem nur die Basis und die Länge der Schenkel gegeben ist, konstruiert du, indem du:

    1. Zunächst die Basis zeichnest.
    2. Man misst mit dem Geodreieck von einem Eckpunkt der Basis den Basiswinkel ab und zeichnet den ersten Schenkel.
    3. Man misst den Basiswinkel vom anderen Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den zweiten Schenkel.
    4. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ergibt den dritten Winkel des gleichschenkligen Dreiecks. Überstände können entfernt werden.
  • Tipps

    Der Winkel gegenüber der Basis ist gegeben. Um das Dreieck konstruieren zu können, benötigst du jedoch die Basiswinkel, also die Winkel an der Basis.

    Die unterste Seite der gleichschenkligen Dreiecke ist hier die Basis. Die Schenkel sind gleich lang und die Basiswinkel sind gleich groß.

    Mithilfe des Innenwinkelsummensatzes kannst du die Basiswinkel berechnen. Alle drei Innenwinkel in einem Dreieck ergeben zusammen $180°$.

    Da beide Basiswinkel gleich groß sind, kannst du den gegebenen Winkel von $180°$ abziehen und dann die Basiswinkel berechnen.

    Lösung

    Ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem nur die Basis und der gegenüber liegende Winkel gegeben ist, könnte man wie folgt konstruieren:

    $1.$ Du zeichnest zunächst die Basis.

    $2.$ Mit dem Innenwinkelsummensatz berechnest du die Größe der beiden Basiswinkel. Diese sind gleich groß. In unserem Beispiel ist der Winkel gegenüber der Basis $40°$ groß, dann gilt $ 40° + β + γ = 180°$. Da die Basiswinkel gleich groß sind, könnte man auch einen der Basiswinkel mit 2 multiplizieren. Wir erhalten dann: $ 40° + 2 \cdot β = 180°$. Stellt man diese Gleichung nach dem gesuchten Basiswinkel $β$ um, erhält man $β = (180° - 40°) : 2 = 70°$

    $3.$ Man trägt den Basiswinkel vom Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den ersten Schenkel ein.

    $4.$ Man trägt den Basiswinkel vom anderen Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den zweiten Schenkel ein.

    $5.$ Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks.

  • Tipps

    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten immer gleich lang.

    Lösung

    Die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks sind, dass alle seine Seiten gleich lang und auch alle seine Winkel gleich groß sind.

    Wenn wir Gegenstände aus dem Alltag betrachten, können wir meistens nur durch Betrachten der Seiten erkennen, ob es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt.

    Von unseren vier Gegenständen haben das Verkehrsschild und das Zelt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Natürlich gibt es auch Zelte, die weiter gespannt werden und damit die Form eines gleichschenkligen Dreiecks haben, aber bei unserem Zelt ist das nicht der Fall.

    Das Hausdach von vorne sowie das Käsestück von oben betrachtet entsprechen je einem gleichschenkligen Dreieck, da jeweils nur zwei Seiten gleich lang sind.

  • Tipps

    Der Innenwinkelsummensatz sagt aus, dass in einem Dreieck die Summe aller Innenwinkel immer $180°$ ergibt. Hier gilt: $ 90° + 43° + 47° = 180°$

    Ein gestreckter Winkel ist immer um $180°$ gestreckt. das heißt $142° + 38° = 180°$

    Lösung

    Das Dreieck besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken, die hier in gelb und grün markiert sind.

    Wir kennen einen Basiswinkel vom grünen Dreieck. Er ist $16°$ groß. Dadurch ist der andere Basiswinkel auch $16°$ groß.

    Wegen des Innenwinkelsummensatzes, der besagt, dass in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer zusammen $180°$ ist, muss der dritte Winkel

    $180° - 16° - 16° = 148°$ groß sein.

    Ein gestreckter Winkel ist immer $180°$ groß. Das heißt, dass der Winkel neben den $148°$ so groß sein muss, damit gilt:

    $148° + ? = 180°$

    Daraus folgt, dass der Winkel

    $180° - 148° = 32°$ groß ist.

    Dieser Winkel ist ein Basiswinkel im gelben Dreieck. Das heißt, dass der andere Basiswinkel im gelben Dreieck auch $32°$ groß ist.

    Nach dem Innenwinkelsummensatz ist damit unser gesuchter Winkel

    $180° - 32° - 32° = 116°$ groß.

    Der gesuchte Winkel ist also $116°$ groß.

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