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Das Haus der Vierecke

Ein Viereck ist eine ebene Figur. Ein Viereck hat, wie du an dem Namen bereits erkennen kannst, vier Ecken.

Es gibt verschiedene Vierecke: Diese kannst du im Haus der Vierecke sehen.

1110_Haus_der_Vierecke.jpg

Lass' uns mal ganz oben beginnen.

  • Das Quadrat: Es zeichnet sich dadurch aus, dass alle vier Seiten gleich lang sind. Die jeweils gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander. Jeweils zwei Seiten schließen einen rechten Winkel ein. Jedes Quadrat ist auch eine Raute und ein Rechteck. Dies wird hier durch die Pfeile angedeutet.
  • Die Raute: Sie wird auch Rhombus genannt. Du findest sie in dem Zimmer links unter dem Quadrat. Bei einer Raute sind auch alle Seiten gleich lang und die jeweils einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander. Die Winkel sind allerdings keine rechten Winkel mehr. Jede Raute ist auch ein Drachenviereck oder ein Parallelogramm.
  • Das Rechteck: Es wohnt in dem Zimmer rechts unter dem Quadrat und unterscheidet sich von diesem dadurch, dass nur die einander gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind. Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm oder ein gleichschenkliges Trapez.
  • Das Drachenviereck: Es wohnt in dem Zimmer ganz links unter der Raute. Die beiden einander anliegenden Seiten sind gleich lang. Jedes Drachenviereck ist auch ein allgemeines Viereck.
  • Das Parallelogramm wohnt in dem mittleren Zimmer. Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander und gleich lang. Was unterscheidet ein Parallelogramm von einem Rechteck? Die Winkel sind keine rechten Winkel. Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez.
  • Das gleichschenklige Trapez wohnt in dem rechten Zimmer unter dem Rechteck. Es ist ein besonderes Trapez. Die beiden Schenkel sind gleich lang.
  • Das Trapez wohnt unter den grünen Vierecken: In einem Trapez sind (mindestens!) zwei Seiten parallel zueinander. Jedes Trapez ist auch ein allgemeines Viereck.
  • Ganz unten wohnt das allgemeine Viereck.

Siehst du den Schornstein? Auch dieser ist ein Viereck. Na: Kannst du nun sagen, welches der oben genannten Vierecke der Schornstein ist? Richtig: ein Trapez.

Die Innenwinkel in einem Viereck

Du kennst doch sicher noch den Winkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks beträgt $180^\circ$.

Nun schauen wir uns an, wie groß die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Vierecks ist. Schaue dir hierfür dieses Viereck an.

1110_beliebiges_Viereck.jpg

Durch die gestrichelte Linie wird das Viereck $ABCD$ in zwei Dreiecke $ABD$ und $BCD$ geteilt. In jedem dieser Dreiecke gilt, dass die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ beträgt. Somit gilt für das Viereck, dass die Summe der Innenwinkel

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\cdot 180^\circ=360^\circ$

beträgt. Dies gilt für jedes beliebige Viereck.

Innenwinkel im Parallelogramm

1110_Parallelogramm_2.jpg

Da die untere Seite des Parallelogramms von zwei parallelen Geraden geschnitten wird, sind die beiden Winkel $\alpha$ sowie $\bar{\alpha}$ Stufenwinkel und somit gleich groß $\alpha=\bar{\alpha}$.

Damit kannst du folgern, dass $\beta+\alpha=180^\circ$ ist. Dies gilt übrigens für jedes Paar benachbarter Innenwinkel in einem Parallelogramm.

$\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^\circ$.

Wenn du zwei gegenüber liegende Punkte verbindest, erhältst du eine Diagonale.

1110_Parallelogramm_3.jpg

Diese Diagonale teilt das Parallelogramm $ABDC$ in zwei kongruente Dreiecke $ABD$ sowie $BCD$, da alle drei Seiten gleich lang sind. Dies ist der Kongruenzsatz SSS.

Damit stimmen auch die Winkel überein und somit gilt $\alpha=\gamma$. Ebenso ist $\beta=\delta$.

Das bedeutet, dass zwei einander gegenüber liegende Winkel in einem Parallelogramm immer gleich groß sind.

Diese Aussagen gelten natürlich auch für jede Raute, für jedes Rechteck und für jedes Quadrat.

Diagonalabschnitte im Parallelogramm

Betrachten wir nun die Diagonalabschnitte im Parallelogramm.

1110_Parallelogramm_5.jpg

Wir schauen uns die beiden Dreiecke $ABM$ sowie $CDM$ an:

  • Die Winkel $\angle(BAM)$ sowie $\angle(DCM)$ stimmen überein, da sie Wechselwinkel sind.
  • Ebenso stimmen die Winkel $\angle(ABM)$ sowie $\angle(CDM)$ überein.
  • Die Strecken $\overline{AB}$ sowie $\overline{CD}$ sind gleich lang.

Da also die beiden Dreiecke in einer Seite und den anliegenden Winkeln überein stimmen, sind sie kongruent. Dies ist der Kongruenzsatz WSW.

Somit sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{MC}$ gleich lang. Die Strecken $\overline{BM}$ und $\overline{MD}$ sind ebenfalls gleich lang.

Das bedeutet, dass die beiden Diagonalen sich genau in der Mitte schneiden.

Diese Aussage gilt ebenso für jede Raute, für jedes Rechteck und für jedes Quadrat.

Schnittwinkel der Diagonalen im Drachenviereck

In welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen in einem Drachenviereck?

1110_Drachenviereck.jpg

Die Dreiecke $ACD$ sowie $ABC$

  • Die Strecken $\overline{AD}$ sowie $\overline{AB}$ sind gleich lang, da es sich um ein Drachenviereck handelt.
  • Mit der gleichen Begründung stimmen auch die Strecken $\overline{BC}$ sowie $\overline{CD}$ überein.
  • Die beiden Dreiecke haben die Strecke $\overline{AC}$ gemeinsam.

Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke in ihren drei Seiten überein stimmen und somit kongruent sind. Daraus kannst du schließen, dass die Winkel $\angle(ACD)$ sowie $\angle(ACB)$ gleich groß sind.

Die Dreiecke $CDM$ sowie $BCM$

  • Die beiden Dreiecke haben die Strecke $\overline{CM}$ gemeinsam.
  • Die Winkel $\angle(ACD)$ sowie $\angle(ACB)$ sind gleich groß.
  • Die beiden Strecken $\overline{BC}$ sowie $\overline{CD}$ sind gleich lang.

Die beiden Dreiecke stimmen also in zwei Seiten und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel überein. Dies ist der Kongruenzsatz SWS. Sie sind demnach kongruent.

Daraus folgt, dass die beiden Winkel $\angle(CMD)$ sowie $\epsilon=\angle(CMB)$ gleich groß sind. Da die Summe dieser beiden Winkel gerade $180^\circ$ ist, folgt $2\epsilon=180^\circ$. Division durch $2$ führt zu $\epsilon=90^\circ$.

Die Diagonalen in einem Drachenviereck schneiden sich also in einem rechten Winkel.

Dies gilt übrigens auch für jedes Quadrat und für jede Raute.