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Was ist eine Gleichung?

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Martin Wabnik
Was ist eine Gleichung?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Gleichungen sind z.B. 4-2=2 oder x+9=20. Enthält eine Gleichung keine Variable, ist sie entweder richtig oder falsch. Z.B. ist 35=15 eine richtige Gleichung. Die Gleichung 35=16 hingegen ist falsch. Enthält eine Gleichung eine Variable, dann kannst du diese Variable durch eine Zahl ersetzen und es entsteht dann eine richtige oder eine falsche Gleichung.

Transkript Was ist eine Gleichung?

Hallo. Wenn du weißt, was Terme sind und wenn du weißt, was Variablen sind, dann können wir uns jetzt mal anschauen, was Gleichungen sind. Gleichungen sind die Grundlage der Algebra. Das heißt, wir machen jetzt ein ganz neues, großes Kapitel der Mathematik auf und da gucken wir uns erstmal an, was die Definition der Gleichung ist. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Ja so weit, so gut, aber da schauen wir uns jetzt erstmal ein paar Beispiele zu an. 3 + 5 ist ein Term und 8 ist ein Term. Ja, auch einzelne Zahlen sind Terme. Und wenn wir die beiden Terme durch ein Gleichheitszeichen verbinden, entsteht eine Gleichung. a * (b + c) ist ein Term und a * b + a * c ist auch ein Term. Und wenn wir die beiden mit einem Gleichheitszeichen verbinden, entsteht eine Gleichung. Das ist übrigens das Distributivgesetz und wenn hier für a 5 einsetzen, für b x einsetzen und für c 2 einsetzen, erhalten wir wieder eine Gleichung. Enthält eine Gleichung keine Variablen, ist diese Gleichung entweder richtig oder falsch. 17 - 9 = 6 ist eine Gleichung und sie ist falsch. 17 - 9 = 8 ist eine Gleichung und sie ist richtig. Enthält eine Gleichung Variablen, ist sie weder richtig noch falsch. Wir können aber die Variablen durch Zahlen ersetzen und erhalten dann eine Gleichung, die wieder entweder richtig oder falsch ist. Und hier können wir mehrere Fälle unterscheiden. Es gibt Gleichungen, aus denen wir immer falsche Gleichungen erhalten, egal welche Zahlen wir einsetzen. Zum Beispiel x = x - 1. Wichtig ist hier, dass wir gleiche Variablen immer durch gleiche Zahlen ersetzen. Zum Beispiel erhalten wir, wenn wir x durch 3 ersetzen, 3 = 3 - 1 und das ist falsch. Es gibt Gleichungen, aus denen wir immer richtige Gleichungen erhalten, egal welche Zahlen wir einsetzen. Das gilt zum Beispiel für Formeln. Das ist wieder das Distributivgesetz und das ist das Kommutativgesetz der Addition. Stehen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Ergebnis-gleiche Terme, ist das auch eine Gleichung, aus der wir immer eine richtige Gleichung erhalten, egal welche Zahlen wir einsetzen. Es gibt aber auch Gleichungen, in die wir nur eine einzige Zahl so einsetzen können, dass eine richtige Gleichung erhalten. Das gilt zum Beispiel für die Gleichung x - 2 = 19. Nur dann, wenn wir für x 21 einsetzen, erhalten wir eine richtige Gleichung. Ja und mit solchen und ähnlichen Gleichungen werden wir uns in Zukunft noch beschäftigen. Da werden wir noch viel Spaß mit haben. Hier sind wir aber erstmal fertig. Wir haben gesehen, was Gleichungen sind. Wir haben auch gesehen, dass Gleichungen richtig oder falsch sein können und wir haben gesehen, dass, wenn wir die Variablen in Gleichungen durch Zahlen ersetzen, wir dann Gleichungen erhalten, die richtig oder falsch sind. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. ich wünsche mir, ich hätte auch so einen Mathelehrer, der so gut erklärt und freundlich ist.

    Von Ben, vor 5 Monaten
  2. ich mag den Sprecher dieses Videos sehr,er ist freundlich und kann die Aufgaben gut erklären.

    Von Ben, vor 5 Monaten
  3. Schade, dass ihr keine Textaufgaben zu Gleichungen habt. Hab jedenfalls nichts gefunden. :(

    Von Marie B., vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Utelensker,
    jede Gleichung ist eine Aussage, die "wahr/richtig" oder "unwahr/falsch" sein kann. Zum Beispiel ist die Gleichung 5+1=2 eine falsche Aussage.
    Die Gleichung x+1=2 ist ebenfalls eine Aussage. Aber was für eine? Und ist sie wahr? Setzt du für x den Wert 1 ein, dann ist x+1=2 wahr. Für alle anderen Werte von x (z. B. für 5) ist die Gleichung unwahr. Der Wert bzw. die Werte, für welche die Gleichung wahr ist, werden daher die "Lösungen" der Gleichung genannt.
    Zwei "äquivalente" Gleichungen sind Gleichungen, die genau dieselben Aussagen beinhalten oder - wenn es um Variablen geht - Lösungen haben.
    Zum Beispiel: Die Gleichung x+1=2 hat genau dieselbe Lösung wie die Gleichung x+2=3. Und beide haben wieder dieselbe Lösung wie x=1. Wir sagen daher: Die Gleichungen sind äquivalent.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor fast 3 Jahren
  5. Heißen richtige Gleichungen ,,äquivalent'' ?

    Von Utelensker, vor fast 3 Jahren
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Was ist eine Gleichung? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Gleichung? kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib alle Antworten an, die auf die Definition von Gleichungen zutreffen!

    Tipps

    Gleichungen können nur aus Zahlen, aber auch nur aus Variablen bestehen.

    $3x + 7 - 5$ ist keine Gleichung.

    Terme können aus Zahlen und Variablen bestehen.

    Lösung

    1. Da eine Gleichung stets aus zwei Termen besteht, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind, kann die Aussage „Eine Gleichung besteht nur aus einem Term.“ nicht stimmen.

    2. Aus der Definition einer Gleichung (wie in Punkt 1 beschrieben) ergibt sich, dass auch ein Gleichheitszeichen vorhanden sein muss.

    3. Dementsprechend stimmt auch: „Zwei mit einem Gleichheitszeichen verbundene Terme sind eine Gleichung.“

    4. „In einer Gleichung dürfen keine Variablen enthalten sein.“ stimmt nicht, denn da eine Gleichung unter anderem aus Termen besteht und in Termen Variablen enthalten sein können, dürfen demnach auch in Gleichungen Variablen enthalten sein.

    5. „In den Termen einer Gleichung können Zahlen und Variablen enthalten sein.“ stimmt hingegen. Ein Term kann aus Zahlen und Variablen bestehen und auch die Terme einer Gleichung können aus Zahlen und Variablen bestehen.

    6. Aus Punkt 5 ergibt sich dementsprechend, dass die letzte Aussage nicht stimmt. In einer Gleichung dürfen Zahlen enthalten sein.

  • Nenne die Werte für $x$, sodass die Gleichung richtig ist.

    Tipps

    Überlege, welche Zahl für $x$ eingesetzt werden muss, sodass das Ergebnis stimmt! Beispiel: In die Gleichung $x+10=15$ muss die Zahl $5$ für $x$ eingesetzt werden, sodass die Gleichung stimmt.

    Rechne rückwärts und mache die Probe!

    Beispiel: $x+4=12$. Rechnen wir rückwärts, bedeutet das, dass wir zur Probe $12-4$ rechnen können. In diesem Fall ist das Ergebnis $8$. Dies ist der gesuchte Wert für $x$ in dem Beispiel.

    Lösung

    1. Für die Gleichung $x-2=19$ gilt es, eine Zahl für $x$ zu finden, die vermindert um $2$ gleich $19$ ergibt. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $21$, denn $21-2=19$.

    2. Bei $3+x=17$ ist eine Zahl für $x$ gesucht, die zu $3$ addiert gleich $17$ ergibt. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $14$, denn $3+14=17$.

    3. Eine andere Zahl für $x$ ist bei $50-x=35$ gesucht. Also eine Zahl, die von $50$ subtrahiert werden muss, sodass das Ergebnis gleich $35$ ist. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $15$, denn $50-15=35$.

    4. Die gesuchte Zahl für $x$ muss bei $3 \cdot x=54$ mit $3$ multipliziert $54$ ergeben. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $18$, denn $3 \cdot 18 = 54$.

  • Nenne alle Gleichungen, alle Terme und alle Ausdrücke, die weder Term noch Gleichung sind.

    Tipps

    $3+9=10$ ist eine Gleichung, auch wenn sie nicht richtig berechnet wurde. Dennoch entspricht sie der Definition einer Gleichung und ist somit der Kategorie Gleichung zuzuordnen.

    Terme sind mathematisch sinnvolle Ausdrücke ohne Relationszeichen. Relationszeichen sind zum Beispiel $=$, $<$, $\geq$ usw. Jede Zahl ist demnach ein Term, da sie ein sinnvoller mathematischer Ausdruck ist. $+-+3+-65$ ist hingegen kein Term, da hier beispielsweise schon die Aneinanderreihung von Rechenoperatoren wie $+$, $-$ und $+$ keinen Sinn ergibt.

    Zur Erinnerung:

    Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Dementsprechend muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ein mathematisch korrekter Term stehen.

    Lösung

    1. $3+5=25$ ist zwar nicht richtig berechnet. Dennoch steht auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ein Term und somit ist dieser Ausdruck eine Gleichung.

    2. $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ ist die allgemeine Schreibweise des Distributivgesetzes. Auch hier stehen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Terme und somit ist es eine Gleichung.

    3. $4=4$ ist ebenfalls eine Gleichung, da auch hier auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens je ein Term steht.

    4. $x =3+4$ ist auch eine Gleichung. $x$ ist ein Term und $3+4$ ist ein Term. Dazwischen steht ein Gleichheitszeichen. Somit entspricht es der Definition einer Gleichung.

    5. $5 \cdot x + 5 \cdot 2$ ist zwar keine Gleichung, jedoch ein Term, da es ein zulässiger mathematischer Ausdruck ist, der Sinn ergibt.

    6. $3+4-x$ ist ein Term. Da hier das Gleichheitszeichen fehlt, ist direkt sichtbar, dass es sich nicht um eine Gleichung handeln kann.

    7. $6$ ist zwar nur eine Zahl, aber somit gleichzeitig auch ein Term.

    8. $5 \cdot (x+2) =$ ist keine Gleichung. Hier steht nur auf einer Seite des Gleichheitszeichens ein Term. Auf der anderen Seite steht nichts. Somit entspricht es nicht der Definition einer Gleichung. Da hier ein Gleichheitszeichen vorhanden ist, ist es zudem auch kein Term und somit weder Term noch Gleichung.

    9. $3+5-+$ enthält keine Gleichheitszeichen und kann daher keine Gleichung sein. Außerdem ergibt der Ausdruck $-+$ am Ende mathematisch keinen Sinn. Deshalb ist dieser Ausdruck weder Term noch Gleichung.

    10. $25 > 18$ enthält zwar auf beiden Seiten des Relationszeichens Terme. Jedoch ist das Relationszeichen kein Gleichheitszeichen. Somit ist es keine Gleichung. Da jedoch ein Relationszeichen (in Form von $>$) vorhanden ist, ist es weder Term noch Gleichung.

  • Gib alle passenden Gleichungen an.

    Tipps

    Beachte: Setzt du einmal für $x$ zum Beispiel die Zahl $3$ ein und für $y$ die Zahl $4$, dann musst du die $3$ für jedes $x$ und die $4$ für jedes $y$ in der Gleichung einsetzen.

    In Formeln kannst du jede Zahl einsetzen und die Gleichung wird immer stimmen. Beispielsweise ist $x + (y+z)=(x+y)+z$ die Formel für das Assoziativgesetz der Addition. Hier kannst du jede beliebige Zahl für $x$, $y$ und $z$ einsetzen und die Gleichung wird immer stimmen.

    In $x + x = 2x$ kann man sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $1238$ einsetzen.

    Lösung

    1. $x-2=19$ ist eine Gleichung, die nur für eine Zahl erfüllt ist. In diesem Fall können wir für $x$ nur die Zahl $21$ einsetzen, sodass die Gleichung richtig wird, denn $21-2=19$ ist korrekt.

    2. $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c~$ ist eine Gleichung, für die wir jede Zahl einsetzen können, und die Gleichung stimmt. Wichtig ist hier, stets zu beachten, dass man für eine Variable immer dieselbe Zahl einsetzt. In diesem Fall können wir jede Zahl für $a$, $b$ und $c$ einsetzen und die Gleichung ist richtig. Zum Beispiel stimmt die Gleichung für $a=1$, $b=2$ und $c=3$, denn: $1 \cdot (2+3) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3$. Versuche es doch einmal mit anderen Zahlen und du wirst sehen, die Gleichung stimmt immer.

    3. $2 \cdot x + y = x + x + 2\cdot y - y~$ ist ebenfalls eine Gleichung, für die wir jeden beliebigen Wert für $x$ und $y$ einsetzen können, und die Gleichung wird richtig. Setzen wir hier beispielsweise für $x=1$ und für $y=2$ ein, sehen wir, dass $2 \cdot 1 + 2 = 1 + 1 + 2 \cdot 2 - 2$ ebenfalls richtig wird.

    4. $x-1=x$ ist hingegen eine Gleichung, die für keine Zahl richtig wird, egal welche Zahl wir für $x$ einsetzen werden. Setzen wir zum Beispiel $x=5$ ein, ergibt sich: $5-1=5$. Du siehst, dass die Gleichung nicht stimmt. Dies gilt auch für alle anderen Zahlen.

    5. $5 \cdot (x+2)=15$ ist wieder eine Gleichung, die für genau eine Zahl richtig wird. In diesem Fall wird sie für $x=1$ richtig, denn $5 \cdot 1 + 10 = 15$.

    6. $2 + y + y = 2 \cdot y~$ wird wieder niemals richtig. Für keine Zahl. Auch hier können wir zur Verdeutlichung wieder eine Zahl für $y$ einsetzen, beispielsweise $y=3$. Daraus ergibt sich: $ 2 + 3 + 3 = 2 \cdot 3$ und das ist nicht richtig.

  • Ergänze die Zahlen, für die die gegebenen Gleichungen erfüllt sind.

    Tipps

    Rechne rückwärts und mache die Probe!

    Achte auf das Rechenzeichen! Es kommen nur einige der möglichen Lösungen in Frage.

    Lösung

    1. Zu überlegen ist, von welcher Zahl $9$ subtrahiert werden muss, damit die Differenz gleich $8$ ist. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $17$, denn $17-9=8$.

    2. Welche Zahl muss zu $14$ addiert werden, damit die Summe gleich $15$ ist? Die gesuchte Zahl ist hier die $1$, denn $14+1=15$.

    3. Zu überlegen ist, welche Zahl man mit $3$ multiplizieren muss, damit das Produkt gleich $9$ ist. In diesem Fall ist die gesuchte Zahl die $3$, denn $3\cdot 3 = 9$.

    4. Bei dieser Aufgabe muss eine Zahl zu $3$ addiert werden, damit die Summe gleich $8$ ist. Dafür muss die Zahl $5$ verwendet werden, denn $3+5=8$.

    5. Von welcher Zahl muss $2$ subtrahiert werden, damit wir eine Differenz von $19$ haben? In diesem Fall müssen wir $2$ von $21$ subtrahieren, denn $21-2=19$.

  • Vervollständige die Gleichung mit den passenden Zahlen, um den korrekten Wert für $x$ zu ermitteln.

    Tipps

    Soll eine Variable in einer Gleichung durch eine bestimmte Zahl ersetzt werden, muss dies für alle gleichen Variablen gemacht werden.

    Beispiel: Gegeben ist die Gleichung $x+4=2 \cdot x + 2$ und für jedes $x$ soll die Zahl $2$ eingesetzt werden. Das bedeutet, dass an jeder Stelle der Gleichung das $x$ durch die Zahl $2$ einfach ersetzt wird.

    Für die obige Gleichung sieht das dann folgendermaßen aus: $2 + 4 = 2 \cdot 2 + 2$

    Anhand der übrigen Zahlen in einer Gleichung, kann man manchmal schon ungefähr abschätzen, wie groß $x$ sein wird.

    Beispielsweise wird $x$ in der Gleichung $x-2=19$ vermutlich nicht größer als $1000$ sein.

    Terme für einen bestimmten Wert zu berechnen, meint in diesem Fall, dass die entsprechende Zahl für alle $x$-Werte eingesetzt wird und der daraus entstehende Term so weit wie möglich zusammengefasst wird.

    Lösung

    1. Die Zahl $10$ soll zu Beginn in die Gleichung für $x$ eingesetzt werden. Also werden alle $x$-Werte innerhalb der Gleichung zuerst durch die Zahl $10$ ersetzt. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus: $4 \cdot 10 = 10 + 24 - 15$

    2. Die Berechnung der Terme der Gleichung, nachdem $x$ durch die Zahl $10$ ersetzt wird, ergibt folgende Gleichung: $40 = 19$

    3. Im folgenden Schritt soll statt $10$ die Zahl $5$ für $x$ eingesetzt werden. Damit ergibt sich die Gleichung $4 \cdot 5 = 5 + 24 - 15$. Fasst man die Terme zusammen, erhalten wir die Gleichung: $20 = 14$.

    4. Wird die $3$ eingesetzt, ergibt sich folgende Gleichung: $4 \cdot 3 = 3 + 24 - 15$, was zusammengefasst $12 = 12$ ergibt. Dies ist eine korrekte Aussage und somit ist die Gleichung für den Wert $x=12$ richtig.

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