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Was ist eine Äquivalenzumformung?

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Martin Wabnik
Was ist eine Äquivalenzumformung?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Was ist eine Äquivalenzumformung?

Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen kannst du aus komplizierten Gleichungen ganz einfache machen. Wenn du dann die einfache Gleichung löst, ist die komplizierte auch schon gelöst. Klingt verrrückt? Ist es aber nicht. Ist Mathematik. Das ist das immer so ... Definition: Eine Äquivalenzumformung ist eine Gleichungsumformung, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert.

Transkript Was ist eine Äquivalenzumformung?

Hallo. Wenn wir eine Gleichung lösen wollen, genauer gesagt: Die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen wollen, dann machen wir das mit Äquivalenzumformungen, denn mit Äquivalenzumformungen kann man aus komplizierten Gleichungen einfache Gleichungen machen. Und um das zu verstehen, schauen wir uns mal ein paar Gleichungen an. Es gibt sehr viele Gleichungen und manche von denen haben dieselbe Lösungsmenge. Zum Beispiel diese hier, diese hier und diese hier. So, schauen wir uns eben die Gleichungen an. Die hier hat die Lösungsmenge 3, denn nur, wenn wir für x 3 einsetzen, ist die Gleichung richtig. Dann haben wir hier 4×3 stehen. Das ist 12. 2×3 = 6, 6 + 6 = 12. Diese Gleichung hat die Lösungsmenge 3, denn nur, wenn wir für x 3 einsetzen, ist die Gleichung richtig. Dann haben wir hier 2×3, das ist 6 und hier haben 3 + 3. Das ist auch 6. Und genau so ist es bei dieser Gleichung hier. Nur wenn wir für x 3 einsetzen, ist die Gleichung richtig. So und jetzt kommt etwas Verrücktes. Wenn wir diese Gleichung gegeben haben und diese Gleichung lösen möchten, dann lösen wir nicht diese Gleichung, sondern wir finden eine Gleichung dazu, die viel einfacher ist als diese hier und die dieselbe Lösungsmenge hat, ja. Klar, wenn wir die Lösungsmenge dieser Gleichung kennen und wir wissen, dass diese Gleichung dieselbe Lösungsmenge hat wie die hier, dann kennen wir auch die Lösungsmenge dieser Gleichung. Ist das nicht ein dicker Hund? So funktioniert Mathematik. Wir müssen das komplizierte Problem gar nicht angehen. Wir nehmen einfach ein einfaches und lösen das und haben das komplizierte dann auch schon gelöst, ja. Und das sind solche mathematischen Ideen, weshalb man dann irgendwann, so wie ich, Mathematik studiert. Okay. Wenn wir jetzt die Gleichung gegeben haben, wie finden wir dann eine solche Gleichung dazu? Wir können einfach mal diese Gleichung hinschreiben. Dann haben wir also 4x = 2x + 6 und die können wir jetzt umformen. Und zwar können wir auf beiden Seiten durch 2 teilen. Dann steht hier nicht mehr 4x, sondern es steht da 2x. Wenn man 2x durch 2 teilt, bekommt man noch x. Dann können wir das einfach stehen lassen. Und wenn man 6 durch 2 teilt, erhält man 3. Wir haben jetzt also diese Gleichung erhalten, von der wir schon wissen, dass sie die gleiche Lösungsmenge hat wie die hier. Dann können wir die nochmal umformen. Und zwar können wir auf beiden Seiten ein x abziehen. Dann bleibt hier nur noch ein x stehen. Dieses x ist dann weg. Ja, die 3 schreibe ich jetzt nach vorne und schreibe dann auch nicht + 3, sondern einfach 3. Also haben wir hier x = 3 und dann wissen wir auch schon: Das ist jetzt eine Gleichung, die die gleiche Lösungsmenge hat wie diese Gleichung hier. Wir haben also diese Gleichung umgeformt und diese auch, und zwar so, dass sich die Lösungsmenge nicht ändert. Normalerweise macht man das nicht ganz so, weil das hier mit dem Wegwischen immer so ein bisschen umständlich ist. Vor allem im Heft ist es dann etwas schwierig. Normalerweise schreibt man die erste Gleichung hin, kündigt dann an, was man vorhat. Ja, man macht so einen Strich hier und sagt: Ich möchte jetzt durch 2 teilen. Dann schreibt man eine neue Gleichung hin. Nämlich dann 2x = x + 3. Also die hier. Dann kündigt man wieder an, was man vorhat. Nämlich, man möchte auf beiden Seiten ein x abziehen und hat dann hier noch x = 3 stehen. Wenn wir jetzt die Lösungsmenge dieser Gleichung kennen, dann kennen wir auch die Lösungsmenge dieser Gleichung, denn alle 3 Gleichungen haben ja dieselbe Lösungsmenge. Obwohl man jetzt also neue Gleichungen hinschreibt, nennt man diesen ganzen Prozess Gleichungsumformung. Hat sich halt so eingebürgert. So und damit sind wir bei der entscheidenden Definition dieses Videos, nämlich bei den Äquivalenzumformungen. Das sind solche Umformungen einer Gleichung, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändern. Obwohl, wie gesagt, eigentlich formen wir nicht um, sondern schreiben neue Gleichungen hin. Nennt sich aber trotzdem Umformung. “Eine Äquivalenzumformung ist eine Gleichungsumformung, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert.” So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, was Äquivalenzumformungen sind und wir haben eine richtig gute, mathematische Idee kennengelernt. Wenn ich ein kompliziertes Problem habe, suche ich mir ein Einfaches dazu, löse dieses und schon ist das komplizierte auch gelöst. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

29 Kommentare

29 Kommentare
  1. das ist einfach das erste viedeo was ich gut verstehe!!! richtig toll gemacht

    Von Karen Holweg, vor 5 Monaten
  2. toll

    Von Omid T., vor 7 Monaten
  3. Martin du bist der BESTE !!!!!!!

    Von Itslearning Nutzer 2535 36601, vor 8 Monaten
  4. das ist ein extrem hilfreiches Video

    Von Fabian S., vor mehr als einem Jahr
  5. Super erklärt sogar für jemanden der nichts versteht..

    Von Rabea Stoecker, vor fast 2 Jahren
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Was ist eine Äquivalenzumformung? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Äquivalenzumformung? kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen.

    Tipps

    Für eine Variable (oft $x$) kann man eine Zahl einsetzen. Wenn die Gleichung nach Einsetzen eine wahre Aussage ist, also beide Seiten der Gleichung gleich sind, ist die Zahl in der Lösungsmenge enthalten.

    Die Gleichung $x=2$ hat beispielsweise die Lösungsmenge $2$.

    Lösung

    Die Gleichung $x=3$ hat die Lösungsmenge $3$. Etwas mathematischer ausgedrückt würde man schreiben:

    $L = \{3\}$.

    Dabei steht das $L$ für die Lösungsmenge, die in diesem Fall die Zahl $3$ enthält.

    Auch die Gleichung $2x=x+3$ hat diese Lösungsmenge. Das sieht man, indem man für $x$ die Zahl $3$ einsetzt. Du erhältst folgende Gleichung:

    $2\cdot 3 = 3 + 3$.

    Diese Gleichung ist eine wahre Aussage, da beide Seiten $6$ ergeben.

    Auch die Gleichung $4x=2x+6$ hat die Lösungsmenge $L=\{3\}$. Auch dies erkennt man wieder durch Einsetzen von $3$ für $x$. Man erhält folgende Gleichung:

    $4\cdot 3 = 2\cdot 3 + 6$.

    Beide Seiten ergeben $12$.

    Alle drei hier gezeigten Gleichungen haben also dieselbe Lösungsmenge und sind somit äquivalent.

  • Berechne die Lösungsmenge der Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Die Rechenanweisung $|:3$ bedeutet: Wir teilen beide Seiten einer Gleichung durch $3$.

    Beispiel:

    $3x = 9~| :3$

    $x = 3$

    Die Rechenanweisung $|-4$ bedeutet: Wir ziehen auf beiden Seiten einer Gleichung den Wert $4$ ab.

    Beispiel:

    $x+4 = 12~|-4$

    $x = 8$

    Lösung

    Wir beginnen mit der Gleichung $4x=2x+6$. Der Strich hinter einer Gleichung bedeutet immer, dass wir die Rechenanweisung hinter dem Strich nun auf beiden Seiten der Gleichung anwenden wollen.

    Wir schauen uns die Ausgangsgleichung und die erste Rechenanweisung an:

    $4x=2x+6~| :2$

    Wir teilen hier auf beiden Seiten durch $2$, um die Gleichung umzuformen. Auf der linken Seite berechnen wir also $4x:2=2x$ und auf der rechten Seite $(2x+6):2 = x+3$ (beachte, dass man um Terme mit Addition bzw. Subtraktion eine Klammer setzen muss)

    Die Gleichung, die sich daraus ergibt, und die nächste Rechenanweisung lautet:

    $2x=x+3~|-x$

    Wir ziehen hier auf beiden Seiten der Gleichung $x$ ab. $2x-x$ ergibt auf der linken Seite $x$. $x+3-x$ auf der rechten Seite ergibt $3$. Die neue Gleichung lautet also:

    $x=3$.

    Nun müssen wir nichts mehr umformen. Man sieht, dass die einzige Zahl, die diese Gleichung erfüllt, die $3$ ist.

    Die Lösungsmenge (für alle Gleichungen oben) lautet: $L=\{3\}$.

  • Führe sinnvolle Äquivalenzumformungen durch, um die Lösungsmenge zu bestimmen.

    Tipps

    In jeder Zeile sollte eine Gleichung und eine Rechenanweisung stehen.

    Die Gleichung in der jeweils nächsten Zeile ergibt sich durch die Rechenanweisung hinter dem Anweisungs-Strich: $|$.

    Das Beispiel zeigt dir, wie eine Rechenanweisung funktioniert. Schauen wir uns die Gleichung $2x-1 = 1$ zusammen mit der Anweisung $|+1$ an.

    $2x-1 = 1~|+1$

    $2x = 2$

    Auf beiden Seiten der Gleichung wurde die $1$ addiert.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Ausgangsgleichung:

    $15x+5 = 10x +15$.

    Da in der nächsten Zeile auf der linken Seite der Gleichung $15x$ steht, wissen wir, dass die Anweisung $|-5$ gewesen sein muss.

    Wenn wir diese Anweisung auf die rechte Seite der Gleichung anwenden, ergibt sich $10x+10$. Die zweite Lücke ist also die Zahl $10$.

    Die Rechenanweisung in der zweiten Zeile ist $|-10x$.

    Wenden wir dies auf beiden Seiten der Gleichung an, ergibt sich:

    $5x = 10$.

    Die Rechenanweisung in Zeile drei lautet $|:5$. Wir folgen dieser Anweisung und erhalten:

    $x=2$.

    Dies ist das Ende unserer Reihe von Äquivalenzumformungen. Nun lässt sich ablesen, dass die Lösungsmenge $L=\{2\}$ lautet.

  • Löse die Gleichung durch geeignete Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Um eine Gleichung umzuformen, schreibt man hinter die Gleichung einen senkrechten Strich. Dieser kündigt an, dass nun eine Rechenanweisung folgt, die auf beiden Seiten der Gleichung ausgeführt wird. Wir schauen uns ein Beispiel an:

    $6x + 6 = 18~|-6$

    $6x = 12$

    Die Lösungsmenge beinhaltet immer alle Zahlen, die eine Gleichung richtig lösen. Beispielsweise hat die Gleichung $x=9$ die Lösungsmenge $L=\{9\}$.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Ausgangsgleichung $12x+7 = 8x+11$.

    Da die $7$ auf der linken Seite der Gleichung in der zweiten Zeile nicht mehr vorhanden ist, können wir darauf schließen, dass die Rechenanweisung in der ersten Zeile $-7$ ist. Ebenso sieht man auf der rechten Seite, dass von der $11$ nur noch $4$ übrig sind, weil wir die $7$ subtrahiert haben.

    Die Gleichung, die sich ergibt, ist $12x = 8x + 4$.

    Auf dieselbe Art ergeben sich die anderen Rechenanweisungen. Hier siehst du die komplette Lösung:

    $12x+7 = 8x+11~|-7$

    $12x = 8x+4~|-8x$

    $4x = 4~|:4$

    $x = 1$

    Die Lösungsmenge ist dementsprechend $L=\{1\}$.

  • Erkläre, was Äquivalenzumformungen sind.

    Tipps

    In dem mathematischen Ausdruck $4x+7 = 9$ kommt ein Gleichheitszeichen vor. Was wäre also ein sinnvoller Name?

    Wenn man Gleichungen umformt, schreibt man hinter einen senkrechten Strich eine Rechenanweisung. Diese Anweisung wird dann auf beiden Seiten der Rechnung angewendet.

    Lösung

    Einen mathematischen Ausdruck wie $4x+7 = 9$ nennt man Gleichung, da ein Gleichheitszeichen in dem Ausdruck vorkommt.

    Zur Erinnerung: Es gibt auch den Begriff Term. Ein Term ist zum Beispiel $4x$ oder $4x+7$, also ein mathematischer Ausdruck ohne Gleichheitszeichen. Eine Gleichung verbindet also zwei Terme miteinander.

    Gleichungen können durch Äquivalenzumformungen zu anderen Gleichungen umgeformt werden. Dazu benutzt man den senkrechten Strich: $|$. Hinter den Strich schreibt man die Rechenanweisung, die auf beiden Seiten der Gleichung ausgeführt wird.

    Will man beispielsweise die Gleichung $x-3=5$ umformen, stört uns auf der linken Seite am meisten die $-3$. Das lösen wir, indem wir auf beiden Seiten $+3$ zu rechnen. Also schreiben wir:

    $x-3=5~|+3$

    $x = 8$

    Die Lösungsmenge dieser Gleichung lautet $L=\{8\}$, da die $8$ die einzige Zahl ist, die die Gleichungen erfüllt.

    Durch Äquivalenzumformungen will man also schwierige Gleichungen zu einfachen Gleichungen umformen, um die Lösungsmenge herauszufinden.

  • Löse die Gleichungen und trage die Ergebnisse ein.

    Tipps

    Versuche dir zu überlegen, welche Rechenanweisungen auf beiden Seiten durchgeführt werden müssen, damit die Gleichung die gewünschte Form hat:

    $x=\text{Ergebnis}$.

    Du kannst bei einer Gleichung verschiedene Rechenanweisungen anwenden. Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.

    Lösung

    Hier siehst du die Lösungen der Gleichungen jeweils mit Rechenweg und Lösungsmenge.

    1. Die Gleichung lautet $x-4=4$. Durch die Rechenanweisung $|+4$ erhältst du die Gleichung $x=8$. Aus dieser lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen: $L=\{8\}$.
    2. Die Gleichung lautet $x+3=8$. Durch die Rechenanweisung $|-3$ erhältst du die Gleichung $x=5$. Aus dieser lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen: $L=\{5\}$.
    3. Die Gleichung lautet $3x=15$. Durch die Rechenanweisung $|:3$ erhältst du die Gleichung $x=5$. Aus dieser lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen: $L=\{5\}$.
    4. Die Gleichung lautet $8x+2=6$. Durch die Rechenanweisung $|-2$ erhältst du die Gleichung $8x=4$. Durch die Rechenanweisung $|:8$ erhältst du die Gleichung $x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Aus dieser lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen: $L=\{\frac{1}{2}\}$.
    5. Die Gleichung lautet $5x+3 = 6x-3$. Durch die Rechenanweisung $|-3$ erhältst du die Gleichung $5x = 6x-6$. Durch die Rechenanweisung $|-6x$ erhältst du die Gleichung $-x = -6$. Durch die Rechenanweisung $|\cdot/-1)$ erhältst du die Gleichung $x=6$. Aus dieser lässt sich die Lösungsmenge direkt ablesen: $L=\{6\}$.
    Hinweis: In manchen Fällen kann man die Lösung auch durch geschicktes Ausprobieren finden. Falls du nur so auf die Lösung kommst, solltest du dir allerdings die Äquivalenzumformungen nochmal anschauen.

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