Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (3)

Hallo! Ein Beispiel zur Bestimmung von Extrema mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums. Wir haben eine mehr oder weniger interessante Funktion, die lautet f(x)=x⁵. Um das Vorzeichenwechselkriterium anwenden zu können, brauchen wir die 1. Ableitung, die steht hier: f'(x)=5x⁴. Wir müssen nun diese 1. Ableitung gleich 0 setzen, weil sich ja Extremstellen nur an Nullstellen von Ableitungen befinden können. Also hab ich hier die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt. Wenn man das jetzt richtig machen wollte, müsste man dann noch den Term hier da hinschreiben und den gleich 0 setzten, dann kommt man halt da drauf, dass die einzige Nullstelle der 1. Ableitung bei x=0 liegt. Dann wissen wir, dass es sich bei der Ableitung um eine stetige Funktion handelt. Die Funktion ist stetig. Falls du den Begriff noch nicht gehabt hast, stetig bedeutet, den Graphen kann man in einer Linie durchziehen ohne abzusetzen, das heißt, die Funktion hat keine Sprungstelle oder keine anderen komischen Sachen, irgendwie. Weil die Ableitung also so ist und sie nur eine einzige Nullstelle hat, wissen wir, dass links der Nullstelle diese Funktion, f'(x) entweder überall größer als 0 ist oder sie ist überall kleiner als 0. Denn wenn sie einmal größer als 0 ist, an irgendeinem Punkt, dann kann sie zwischendurch nicht, wie man so sagt, nach unten gehen, also in den negativen Bereich, denn dann müsste sie ja durch die x-Achse hindurch, und dann hätten wir noch eine Nullstelle, da wo sie durch die x-Achse durchgeht. Sie kann ja nicht springen, weil sie stetig ist. Und weil wir eben hier nur eine einzige Nullstelle haben können wir sicher sein, sie geht nicht noch mal durch die x-Achse. Falls man bei Funktionen davon sprechen kann, dass die irgendwie gehen, aber zur anschaulichen Vorstellung ist das vielleicht ganz nett so. Also, sie geht dann nicht mehr durch die x-Achse und deshalb können wir sicher sein, wenn die Funktion irgendwo positiv ist, links der Nullstelle, dann ist sie überall positiv. Wenn sie irgendwo negativ ist, ist sie überall negativ. Das gleiche gilt für den Bereich rechts der Nullstelle, entweder sie ist überall positiv oder sie ist überall negativ. Das heißt, wenn wir jetzt wissen wollen, ob da ein Vorzeichenwechsel stattfindet, müssen wir nur einen Wert einsetzen in die 1. Ableitung, der links der Nullstelle liegt und einen der rechts der Nullstelle liegt. Und, wie in der Mathematik so üblich, wenn man sich das Leben einfach machen kann, dann macht man das auch. Man setzt jetzt meistens dann nicht 17 3/4 ein oder so was, sondern zum Beispiel -1, das liegt links der Nullstelle. f'(-1)=5×(-1)⁴=5 Das heißt, wir haben hier also so einen Verlauf. Wir können auch +1 einsetzen, das ist also rechts der Nullstelle. f'(+1)=5×1⁴=5 Dann wissen wir, die 1. Ableitung verläuft so ungefähr. Sie ist rechts und links der Nullstelle größer als 0, sie hat keinen Vorzeichenwechsel. Dann ist die Frage: Was folgt daraus? Ich hab hier bööp hingeschrieben. Also, zunächst mal folgt gar nichts, denn im Allgemeinen kann man nicht sagen, wenn das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist, dann ist da auch kein Extremum, das gilt im Allgemeinen nicht, das gilt dann, wenn man die Funktionen, die man betrachtet, etwas einschränkt. Also zum Beispiel, wenn man jetzt ganz rationale Funktionen betrachtet, die einen Grad von mindestens 2 haben sollen, dann klappt das auf jeden Fall, dann ist das eine Genau-Dann-Wenn-Bedingung, was dann bedeutet: Wenn für solche Funktionen das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist, dann hat diese Funktion an dieser Stelle auch kein Extremum. Ich will das gar nicht so weit auspuzzlementieren, wie man da genau einschränken muss und für welche Funktionen das gilt und für welche nicht. Da es dann meistens ziemlich schnell kompliziert wird und das über den Schulstoff hinausgeht. Und irgendwie wird das immer unterschiedlich gehandhabt und wenn du das in der Schule machst, kannst du das ja dann so machen, wie du dich mit deinem Lehrer da auf die Sachen einigst. Ich wollte nur eine kleine Sache noch zeigen. Wir haben ja hier eine Nullstelle der Ableitung und die Frage ist: Was passiert da denn jetzt bei dieser Nullstelle? Und wenn wir die Funktion x⁵× zeichnen, dann sieht die ungefähr so aus, macht sie hier einen Knick, da ist die Ableitung 0 und dann geht sie wieder so nach oben. So ungefähr, hier ein bisschen steiler. Also, die ist punktsymmetrisch, diese Funktion und hier befindet sich ein Sattelpunkt. Und beim Sattelpunkt ist ja die Ableitung 0 und es liegt aber kein Extremum vor, weil hier links davon, in dem Fall also, die Funktionswerte echt kleiner sind und rechts davon die Funktionswerte echt größer sind. Es geht natürlich auch anders herum, wenn jetzt die Funktion hier gespiegelt wird, dann ist der Sattelpunkt halt in der anderen Richtung. Und das gilt, wenn wir jetzt solche stetigen Funktionen haben oder ganz rationale Funktionen, die Sattelpunkte haben das, das gilt dann immer, dass hier kein Extremum ist, obwohl die 1. Ableitung gleich 0 ist. Und wir werden in solchen Fällen, oder auch in dem hier, dann immer feststellen, dass das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist und auch sich dort kein Extremum befindet. Das war's dazu. Viel Spaß, tschüss!