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Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (2)

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Martin Wabnik
Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (2)
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Beschreibung Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (2)

Hallo und willkommen zu meinem zweiten Video in der kleinen Videoreihe zum Thema Vorzeichenwechselkriterium. Solltest du dir unsicher sein, was das Vorzeichenwechselkriterium genau besagt, dann schau dir schnell mein gleichnamiges Video „Vorzeichenwechselkriterium “ an. In ihm erkläre ich es dir ausführlich. Falls du aber bereits weißt, um was es sich handelt, und das erste Video schon gesehen hast, dann geht’s nun weiter mit dem nächsten Beispiel. Nach dem sehr einfachen Beispiel im letzten Video, hier das zweite und schwerere Beispiel: f(x) = x4.

Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (2)

Hallo. Wir haben eine kleine Funktion f(x) = x4 und wollen mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums die Extrema dieser Funktion bestimmen, also die Minima und Maxima bzw. die Hoch- und Tiefpunkte. f ' (x) brauchen wir zunächst. Also die erste Ableitung von x4 das ist 4x3. Wir suchen die Nullstellen von 4x3, also die Nullstellen der ersten Ableitung, setzen die erste Ableitung = 0. Ich habe mich hier ein bisschen kurz gefasst. Wir müssen hier 4 × x3 = 0 hinschreiben und mit irgendwelchen elementaren Umformungen sieht man dann, dass die Gleichung nur dann richtig ist, wenn man für x 0 einsetzt. Also: x = 0 ist die einzige Nullstelle der Ableitung, was bedeutet, dass die erste Ableitung links der Nullstelle und rechts der Nullstelle nicht gleich 0 ist. Sie kann links größer oder kleiner als 0 sein, sie kann rechts auch größer oder kleiner als 0 sein. Und da es sich hier um eine stetige Funktion handelt, also jetzt die, den Begriff nicht gehabt haben: stetig bedeutet, kann man in einer Linie durchzeichnen. Das bedeutet dann auch, dass wenn die erste Ableitung z. B. rechts der Nullstelle > 0 ist, dass sie dann auch überall rechts der Nullstelle > 0 bleibt. Die kommt nie wieder zurück. Sie kann vielleicht wieder runtergehen, aber eine Nullstelle hat sie auf jeden Fall nicht mehr. Das gilt dann für alle x-Werte, die > 0 sind, für die sind dann auch die Funktionswerte > 0 in diesem Fall hier. Das bedeutet, um festzustellen, ist z. B. die Funktion f ' (x) links ihrer Nullstelle größer oder kleiner als 0 reicht es, für einen einzigen Wert zu gucken, ob sie dort größer oder kleiner als 0 ist, denn entweder ist sie für alle x-Werte, die links von 0 liegen > 0 oder sie ist für alle x-Werte, die links von 0 liegen, < 0. Das muss man sich einmal wirklich deutlich machen, dass man einen einzigen Wert nur braucht. Ich habe genommen -1 f ' (-1) = 4 × (-1)3 = -4 Also kann ich sicher sein, die Funktion läuft so. Also ich weiß nicht, ob die Biegung hier richtig ist, auf jeden Fall ist sie < 0. Das ist hier korrekt in dem Sinne. Dann haben wir f ' (1) = 4 × 13 = 4 Das bedeutet, die Funktion geht hier in den positiven Bereich über. Also links der Nullstelle ist die erste Ableitung < 0, rechts der Ableitung ist die Ableitung > 0. Das bedeutet, das Vorzeichenwechselkriterium ist erfüllt. Wir haben einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Das bedeutet, dass wir ein Minimum haben an der Stelle x = 0. Dann müssen wir den Funktionswert des Minimums ausrechnen, indem wir nämlich 0, also den x-Wert des Minimums 0 in die Ausgangsfunktion einsetzen. Wir rechnen 04 das ist 0 und daher haben wir ein Minimum hier TP also für Tiefpunkt genannt haben wir bei (0/0).   Das war in aller Ausführlichkeit die Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums auf die Funktion x4. Viel Spaß damit. Tschüss.

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