Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (2)

Hallo. Wir haben eine kleine Funktion f(x) = x⁴ und wollen mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums die Extrema dieser Funktion bestimmen, also die Minima und Maxima bzw. die Hoch- und Tiefpunkte. f ' (x) brauchen wir zunächst. Also die erste Ableitung von x⁴ das ist 4x³. Wir suchen die Nullstellen von 4x³, also die Nullstellen der ersten Ableitung, setzen die erste Ableitung = 0. Ich habe mich hier ein bisschen kurz gefasst. Wir müssen hier 4 × x³ = 0 hinschreiben und mit irgendwelchen elementaren Umformungen sieht man dann, dass die Gleichung nur dann richtig ist, wenn man für x 0 einsetzt. Also: x = 0 ist die einzige Nullstelle der Ableitung, was bedeutet, dass die erste Ableitung links der Nullstelle und rechts der Nullstelle nicht gleich 0 ist. Sie kann links größer oder kleiner als 0 sein, sie kann rechts auch größer oder kleiner als 0 sein. Und da es sich hier um eine stetige Funktion handelt, also jetzt die, den Begriff nicht gehabt haben: stetig bedeutet, kann man in einer Linie durchzeichnen. Das bedeutet dann auch, dass wenn die erste Ableitung z. B. rechts der Nullstelle > 0 ist, dass sie dann auch überall rechts der Nullstelle > 0 bleibt. Die kommt nie wieder zurück. Sie kann vielleicht wieder runtergehen, aber eine Nullstelle hat sie auf jeden Fall nicht mehr. Das gilt dann für alle x-Werte, die > 0 sind, für die sind dann auch die Funktionswerte > 0 in diesem Fall hier. Das bedeutet, um festzustellen, ist z. B. die Funktion f ' (x) links ihrer Nullstelle größer oder kleiner als 0 reicht es, für einen einzigen Wert zu gucken, ob sie dort größer oder kleiner als 0 ist, denn entweder ist sie für alle x-Werte, die links von 0 liegen > 0 oder sie ist für alle x-Werte, die links von 0 liegen, < 0. Das muss man sich einmal wirklich deutlich machen, dass man einen einzigen Wert nur braucht. Ich habe genommen -1 f ' (-1) = 4 × (-1)³ = -4 Also kann ich sicher sein, die Funktion läuft so. Also ich weiß nicht, ob die Biegung hier richtig ist, auf jeden Fall ist sie < 0. Das ist hier korrekt in dem Sinne. Dann haben wir f ' (1) = 4 × 1³ = 4 Das bedeutet, die Funktion geht hier in den positiven Bereich über. Also links der Nullstelle ist die erste Ableitung < 0, rechts der Ableitung ist die Ableitung > 0. Das bedeutet, das Vorzeichenwechselkriterium ist erfüllt. Wir haben einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Das bedeutet, dass wir ein Minimum haben an der Stelle x = 0. Dann müssen wir den Funktionswert des Minimums ausrechnen, indem wir nämlich 0, also den x-Wert des Minimums 0 in die Ausgangsfunktion einsetzen. Wir rechnen 0⁴ das ist 0 und daher haben wir ein Minimum hier TP also für Tiefpunkt genannt haben wir bei (0/0).   Das war in aller Ausführlichkeit die Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums auf die Funktion x⁴. Viel Spaß damit. Tschüss.