Zylinder – Volumen und Oberfläche

Was ist ein Zylinder?

Sehen wir uns an, wie der Zylinder mathematisch definiert ist und wie wir mit Zylindern rechnen können.

Die folgende Abbildung zeigt einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$:

Wir wollen uns zunächst genauer mit den Eigenschaften von Zylindern und verschiedenen Arten von Zylindern beschäftigen, die dir im Matheunterricht begegnen. Im Anschluss untersuchen wir die Berechnung von Oberfläche und Volumen verschiedener Zylinder.

Eigenschaften des Zylinders

Jeder Zylinder weist die folgenden Eigenschaften auf:

• Zwei kreisförmige Begrenzungsflächen (Grund- und Deckfläche), die zueinander parallel und kongruent (deckungsgleich) sind.
• Der Mantel verbindet die Grund- und Deckfläche des Zylinders.
• Ein Zylinder hat drei Flächen, zwei Kanten und keine Ecken.

Arten von Zylindern

Es gibt verschiedene Arten von (Kreis-)Zylindern:

• Gerader Zylinder
  Bei einem geraden Zylinder liegt die Deckfläche genau über der Grundfläche. Die Höhe $h$ entspricht dann dem Abstand der Mittelpunkte der beiden Flächen. Die Mantelfläche verläuft senkrecht zur Grund- und Deckfläche und hat ausgebreitet die Form eines Rechtecks. Häufig ist, wenn von einem Zylinder gesprochen wird, ein solcher gerader Kreiszylinder gemeint.
• Schiefer Zylinder
  Ein schiefer Zylinder hat nach Definition kongruente kreisförmige Grund- und Deckflächen, diese liegen allerdings versetzt zueinander. Durch die Verschiebung von Grund- und Deckfläche zueinander entspricht die Höhe eines schiefen Zylinders nicht der Verbindung der Mittelpunkte beider Flächen. Außerdem ist die Abwicklung der Mantelfläche eines schiefen Zylinders kein Rechteck und entsprechend komplexer in der Berechnung.
• Offener Zylinder
  Von einem offenen Zylinder sprechen wir, wenn ein Zylinder beispielsweise als Gefäß nur auf einer Seite geschlossen ist. Ein offener Zylinder hat also im Normalfall keine Deckfläche.
• Hohlzylinder
  Ein Hohlzylinder entsteht, wenn aus einem Zylinder mittig ein kleinerer Zylinder ausgeschnitten wird. Es handelt sich also um einen Zylinder mit einem Loch in der Mitte. Wir können auch sagen: „Der Zylinder ist in der Mitte hohl.“ Der fehlende innere Zylinder hat dabei die gleiche Höhe wie der äußere Zylinder, aber einen kleineren Radius.

Zylindernetz

Wenn man einen Körper an den Kanten aufschneidet und auffaltet, erhält man das Körpernetz der Oberfläche, das sich aus allen Seitenflächen des Körpers zusammensetzt. Bei einem Zylinder besteht das Körpernetz aus zwei Kreisen und einem Rechteck, wie in folgender Abbildung zu sehen ist:

Die in dem Netz zu sehende rechteckige Mantelfläche (3) und die kreisförmige Grund- und Deckfläche (2 und 1) bilden gemeinsam die Oberfläche des Zylinders.

Oberfläche eines Zylinders berechnen

Die Oberfläche ergibt sich als Summe aus der Mantelfläche sowie dem Doppelten der Grundfläche:

Um die Oberfläche zu berechnen, muss man also zunächst die Grundfläche des Zylinders berechnen. Die Grundfläche ist ein Kreis. Somit gilt für die Grundfläche des Zylinders die Formel:

Dieser Wert geht zweimal in die Zylinderoberfläche ein. Denn die Grundfläche und die Deckfläche haben als kongruente Flächen einen identischen Flächeninhalt.

Dann muss man noch die Mantelfläche des Zylinders berechnen. Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen Höhe des Zylinders und Umfang der Grundfläche. Damit gilt für die Mantelfläche des Zylinders die Formel:

Zylinderoberfläche – Formel

Nun kann die Oberflächenformel des Zylinders abhängig vom Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ angegeben werden.

Beispiel – Oberfläche eines Zylinders berechnen

Zunächst soll die Zylinderoberfläche eines Zylinders mit den folgenden gegebenen Größen berechnet werden:

$r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$

Diese Größen werden in die Oberflächenformel eingesetzt:

$O=2\pi~r\cdot(r+h)$

Dies führt zu:

$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot(15~\text{cm}+5~\text{cm})$

Und weiter zu:

$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot 20~\text{cm}=600\pi~\text{cm}^2\approx \underline{\underline{1\,844{,}96~\text{cm}^2}}$

Zylinder – Flächenrechner

Mit dem folgenden Rechner kannst du verschiedene Werte für $r$ und $h$ ausprobieren und dir die entsprechende Oberfläche des Zylinders anzeigen lassen.

Hinweis: Alle Längen müssen in der gleichen Einheit angegeben werden. Die Oberfläche wird dann in der entsprechenden Flächeneinheit ausgegeben.
(Beispiel: $r$ und $h$ in $\pu{cm} ~~ \Rightarrow ~~$Oberfläche in $\pu{cm2}$)

Volumen eines Zylinders berechnen

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, wird wie beim Prisma der Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Diese Formel gilt nach dem Satz von Cavalieri auch für schiefe Kreiszylinder. Auch das Volumen hängt vom Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ ab.

Zylindervolumen – Formel

Wir können die Formel für das Volumen eines Zylinders abhängig vom Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ aufstellen.

Die Formel funktioniert nach dem Prinzip Grundfläche mal Höhe, das du auch vom Quader kennst.

Beispiel – Volumen eines Zylinders berechnen

Für den Zylinder aus dem obigen Beispiel mit $r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$ kann man mit folgender Volumenformel schließlich noch das Volumen berechnen:

$V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Die bekannten Größen werden in diese Formel eingesetzt:

$V=\pi\cdot \left(15~\text{cm}\right)^2\cdot 5~\text{cm}$

Nun kann weitergerechnet werden:

$V=\pi\cdot 225~\text{cm}^2\cdot 5~\text{cm}=1\,125\pi~\text{cm}^3\approx \underline{\underline{3\,534{,}29~\text{cm}^3}}$

Zylinder – Volumenrechner

Mit dem folgenden Rechner kannst du verschiedene Werte für $r$ und $h$ ausprobieren und dir das entsprechende Zylindervolumen berechnen lassen.

Hinweis: Alle Längen müssen in der gleichen Einheit angegeben werden. Das Volumen wird dann in der entsprechenden Volumeneinheit ausgegeben.
(Beispiel: $r$ und $h$ in $\pu{cm} ~~ \Rightarrow ~~$Volumen in $\pu{cm3}$)

Weitere Aufgaben – Volumen und Oberfläche von Zylindern

Wir wollen nun noch ein etwas komplexeres Beispiel für Berechnungen bei Zylindern betrachten.

Der Hersteller einer beliebten Tomatensoße möchte die Dose, in die diese Soße gefüllt wird, neu gestalten.

• Die Höhe der Dose soll $h=12~\text{cm}$ sein und
• das Volumen soll $950~\text{cm}^3$ betragen.

Nun stellt sich der Hersteller die folgenden Fragen:

• Wie groß ist der Materialaufwand (in $\text{cm}^2$), ohne Verschnitt, zur Herstellung der Dose?
• Wie groß (in $\text{cm}^2$) ist der Aufkleber, der die gesamte Dose umhüllt? Auf diesem soll das wunderbare Logo der Firma zu sehen sein.

Zuerst überlegst du dir, wonach gefragt ist.

• Der Materialaufwand ist die gesamte Oberfläche.
• Die Größe des Aufklebers entspricht der Mantelfläche.

Da du die Mantelfläche auch für die Oberfläche benötigst, berechnest du erst einmal die Mantelfläche ${M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h}$.

Die Höhe der Dose kennst du bereits, allerdings nicht den Radius der Grundfläche. Diesen kannst du allerdings mit dem bekannten Volumen berechnen:

$\begin{array}{rclll} 950&=&\pi\cdot r^2\cdot 12&|&:\pi~:12\\ 950 : 12\pi &=&r^2\\ 25{,}2&\approx&r^2&|&\sqrt{~~~}\\ r&\approx&5\end{array}$

Der Radius beträgt somit ungefähr $5~\text{cm}$. Diesen kannst du schließlich in der Formel für die Mantelfläche einsetzen:

$M=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm})=120~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{377~\text{cm}^2}}$

Der Aufkleber mit dem Logo des Herstellers hat somit einen Flächeninhalt von circa $377~\text{cm}^2$.

Ebenso kannst du die Oberfläche berechnen:

$O=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm} + 5~\text{cm})=170~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{534~\text{cm}^2}}$

Der gesamte Materialaufwand zur Herstellung einer Dose beträgt somit gerundet $534~\text{cm}^2$.

Übung – Volumen und Oberfläche von Zylindern

Eine Getränkedose hat näherungsweise die Form eines Zylinders. Wir wissen, dass die Grundfläche den Radius $r=3{,}35~\text{cm}$ hat und die Dose $11{,}5~\text{cm}$ hoch ist. Um die Dose möchte der Hersteller eine Folie kleben, auf der das Fassungsvermögen, der Name, die Inhaltsstoffe und weitere Informationen stehen.

Formeln Zylinder – tabellarischer Steckbrief

Fassen wir die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Zylinders noch einmal in einem kurzen Steckbrief zusammen:

Ausblick – das lernst du nach Zylinder – Volumen und Oberfläche

Vertiefe dein Wissen über geometrische Körper, indem du dir auch Pyramiden, Kegel und Kugeln ansiehst. So kannst du die Mathematik der Raumgeometrie noch besser verstehen. Sei gespannt auf die vielfältigen geometrischen Formen!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen und Oberfläche von Zylindern