Oberfläche von Zylindern

Oberfläche von Zylindern Übung

• Beschreibe, aus welchen Flächen ein Zylinder besteht.

  Tipps

  Die Pappe einer leeren Küchenrolle ist zylinderförmig. Welche Fläche erhältst du, wenn du diese gerade aufschneidest?

  Eine Konservendose hat die Form eines Zylinders. Sicherlich habt ihr eine solche Dose zu Hause. Schau dir diese Dose genau an.

  Sie besteht aus drei Flächen. Eine Fläche müsste „ausgerollt“ werden, damit du sie als Fläche erkennst.

  Lösung

  Hier siehst du die drei Flächen, aus denen ein Zylinder besteht. Ein Zylinder besteht immer aus zwei kongruenten (deckungsgleichen) Kreisen und einem Rechteck.

  • Die beiden Kreise bilden die Grund- bzw. Deckfläche.
  • Das Rechteck bildet den Mantel des Zylinders. Dieser umhüllt den Zylinder.

  Wenn du den Radius und die Höhe eines Zylinders kennst, kannst du dessen Oberfläche berechnen. Die Oberfläche besteht aus der Fläche der beiden Kreise, addiert mit der Fläche des Rechtecks. Die Länge der einen Seite des Rechtecks ergibt sich durch die Höhe des Zylinders. Die andere Seitenlänge ergibt sich durch den Umfang der Kreise.

• Stelle eine Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ lässt sich berechnen durch $A=a\cdot b$.

  Die Formel zur Berechnung des Umfanges eines Kreises lautet $u=2\cdot \pi\cdot r$, wobei $r$ der Radius des Kreises ist.

  Lösung

  Ein Zylinder besteht aus zwei deckungsgleichen Kreisen mit dem Radius $r$ und einem Mantel, welcher die Form eines Rechtecks hat.

  Damit ist die Oberfläche gegeben als $O=2\cdot G+M$, wobei...

  • ...$G$ die Grundfläche, also die Fläche des Grundkreises ist.
  • ...$M$ die Mantelfläche ist.

  Kommen wir nun zu den einzelnen Flächen:

  • Die Grundfläche (und auch die Deckfläche) besteht aus einem Kreis. Die Flächeninhaltsformel für einen Kreis lautet $G=\pi\cdot r^2$.
  • Der Mantel ist ein Rechteck. Die Seitenlängen ergeben sich aus der Höhe des Zylinders und aus dem Umfang des Grundkreises.
  • Der Umfang des Grundkreises ist $u=2\cdot \pi\cdot r$.
  • Damit ist die Manteloberfläche $M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h$.

  Nun können die einzelnen Größen zur Berechnung der Oberfläche zusammengefasst werden. Wir erhalten $O=2\cdot \pi\cdot r^2+2\cdot \pi\cdot r\cdot h$.

  Zuletzt kannst du noch den gemeinsamen Faktor $2\cdot \pi\cdot r$ ausklammern zu $O=2\cdot \pi\cdot r\cdot (r+ h)$.

• Berechne den jeweiligen Flächeninhalt.

  Tipps

  Die Fläche eines Kreises berechnest du durch $A=\pi\cdot r^2$. Dabei ist $r$ der Radius des Kreises.

  Die Fläche eines Rechtecks berechnest du durch $A = a\cdot b$, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen des Rechtecks sind.

  Lösung

  Paul muss den Flächeninhalt eines Kreises und eines Rechtecks berechnen.

  Er beginnt mit der Kreisfläche:

  • $G=\pi\cdot (50~cm)^2=2500~\cdot \pi~cm^2\approx7850~cm^2$
  • Um die Fläche in Quadratmetern zu erhalten, muss er durch $10000$ dividieren. Damit ist $G=0,785~m^2$.

  Nun berechnet Paul noch, wie viel von der hellgrünen Farbe benötigt wird:

  • $M=2\cdot \pi\cdot (50~cm)\cdot (180~cm)=18000\cdot \pi~cm^2\approx 56520~cm^2$
  • Damit ist $M\approx 5,652~m^2$.

• Ermittle, wie sich die Größe der Oberfläche durch Veränderung von Höhe und Radius verändert.

  Tipps

  Setze jeweils den veränderten Radius und/oder die veränderte Höhe in die Formel ein.

  Die Oberflächenformel lautet $O=2\cdot\pi\cdot r\cdot (r+h)$.

  Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.

  Lösung

  In dieser Aufgabe schauen wir uns an, wie sich der Oberflächeninhalt eines Zylinders verändert, wenn man den Radius bzw. die Höhe verändert.

  Der Radius des Zylinders wird verdoppelt

  Setze $r=16~cm$ und $h=10~cm$ in die Oberflächenformel ein:

  $O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(10~cm))=832\cdot \pi~cm^2\approx 2613,8~cm^2$.

  Die Höhe des Zylinders wird verdoppelt

  Setze $r=8~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:

  $O=2\cdot \pi\cdot (8~cm)\cdot((8~cm)+(20~cm))=448\cdot \pi~cm^2\approx 1407,4~cm^2$.

  Sowohl der Radius als auch die Höhe des Zylinders wird verdoppelt

  Setze $r=16~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:

  $O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(20~cm))=1152\cdot \pi~cm^2\approx 3619,1~cm^2$.

  Der Radius wird verdoppelt und die Höhe halbiert

  Setze $r=16~cm$ und $h=5~cm$ in die Oberflächenformel ein:

  $O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(5~cm))=672\cdot \pi~cm^2\approx 2111,2~cm^2$.

  Der Radius wird halbiert und die Höhe wird verdoppelt

  Setze $r=4~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:

  $O=2\cdot \pi\cdot (4~cm)\cdot((4~cm)+(20~cm))=192\cdot \pi~cm^2\approx 603,2~cm^2$.

• Fasse zusammen, was der Mantel eines Zylinders ist.

  Tipps

  Links siehst du das Schrägbild und rechts das Netz eines Zylinders.

  Ein Körpernetz besteht immer aus allen den Körper begrenzenden Flächen.

  Der Mantel umhüllt den stehenden Zylinder.

  Lösung

  Ein Zylinder besteht aus zwei Kreisen und einem Mantel. Die Kreise bilden dabei die Grund- und Deckfläche des Zylinders.

  Der Mantel ist ein Rechteck. Er umhüllt den stehenden Zylinder.

  Der Mantel ist ebenso hoch wie der Zylinder. Die andere Seitenlänge des Mantels ist der Umfang des Grundkreises. Dies kannst du dir vor Augen führen, wenn du eine leere Küchenrolle längs aufschneidest. Du erhältst ein Rechteck.

• Leite bei gegebener Oberfläche den Radius bzw. die Höhe her.

  Tipps

  Verwende die Oberflächenformel für Zylinder und stelle diese um. Schaue dir hierfür ein Beispiel an.

  Die Formel lautet $O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (r+h)$.

  Seien $O=2500~cm^2$ und $r=10~cm$. Dann gilt:

  $2500~cm^2=2\cdot \pi\cdot (10~cm)\cdot((10~cm)+h)$.

  Dividiere durch $2\cdot \pi\cdot (10~cm)$. So erhältst du $39,8\approx (10~cm)+h$. Zuletzt subtrahierst du $10~cm$ und kommst zu $h\approx 29,8~cm$.

  Rechne durchgehend mit genauen Werten und runde am Schluss.

  Wenn du den Radius berechnen willst, erhältst du eine quadratische Gleichung. In dieser Aufgabe lautet diese $r^2+10r-700,3=0$.

  Verwende die $p$-$q$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung. Beachte, dass eine Länge nicht negativ sein kann.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es darum, bei bekannter Oberfläche die Formel umzustellen. Du setzt jeweils die bekannten Größen ein und formst dann nach der unbekannten Größe um.

  Wir beginnen mit $O=4400~cm^2$ und $r=20~cm$:

  $4400~cm^2=2\cdot \pi\cdot (20~cm)\cdot((20~cm)+h)$.

  • Dividiere durch $2\cdot \pi\cdot (20~cm)$. So erhältst du $35\approx (20~cm)+h$.
  • Zuletzt subtrahierst du $20~cm$ und kommst zu $h\approx 15~cm$.

  Nun schauen wir uns an, wie die Formel umgestellt werden muss, um den Radius zu berechnen.

  Es seien $O=4400~cm^2$ und $h=10~cm$. Wieder werden diese Größen in die Formel eingesetzt:

  $4400~cm^2=2\cdot \pi\cdot r\cdot(r+(10~cm))$.

  Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $r$. Wir formen diese um (ohne Maßeinheiten):

  $\begin{array}{rclll} 4400&=&2\cdot \pi\cdot r\cdot(r+10)\\ 4400&=&2\cdot \pi\cdot r^2+20\cdot \pi\cdot r&|&-4400\\ 0&=&2\cdot \pi\cdot r^2+20\cdot \pi\cdot r-4400&|&:(2\cdot \pi)\\ 0&\approx&r^2+10r-700,3 \end{array}$

  Nun kannst du die $p$-$q$-Formel anwenden und erhältst:

  $r_{1,2}\approx-5\pm\sqrt{25+700,3}$.

  Das führt zu $r_1\approx21,9$ und $r_2\approx-31,9$.

  Da es hier um Längen geht, ist die zweite Lösung nicht sinnvoll. Der gesuchte Radius beträgt also $r\approx 21,9~cm$.