Oberfläche von Zylindern

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Grundlagen zum Thema Oberfläche von Zylindern
Damit wir Mathematiker einen Zylinder geometrisch erfassen können, müssen wir allein zwei Angaben kennen. Wir müssen den Radius der kreisrunden Grundfläche und die Höhe eines Zylinders wissen. Mit diesen beiden Angaben können wir alle anderen wichtigen Informationen bestimmen. In diesem Video möchte ich dir nun anschaulich vormachen, wie die Oberfläche berechnet wird. Dazu stelle ich dir die Formel vor und erkläre dir, warum sie gilt.
Oberfläche von Zylindern Übung
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Beschreibe, aus welchen Flächen ein Zylinder besteht.
TippsDie Pappe einer leeren Küchenrolle ist zylinderförmig. Welche Fläche erhältst du, wenn du diese gerade aufschneidest?
Eine Konservendose hat die Form eines Zylinders. Sicherlich habt ihr eine solche Dose zu Hause. Schau dir diese Dose genau an.
Sie besteht aus drei Flächen. Eine Fläche müsste „ausgerollt“ werden, damit du sie als Fläche erkennst.
LösungHier siehst du die drei Flächen, aus denen ein Zylinder besteht. Ein Zylinder besteht immer aus zwei kongruenten (deckungsgleichen) Kreisen und einem Rechteck.
- Die beiden Kreise bilden die Grund- bzw. Deckfläche.
- Das Rechteck bildet den Mantel des Zylinders. Dieser umhüllt den Zylinder.
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Stelle eine Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.
TippsDer Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ lässt sich berechnen durch $A=a\cdot b$.
Die Formel zur Berechnung des Umfanges eines Kreises lautet $u=2\cdot \pi\cdot r$, wobei $r$ der Radius des Kreises ist.
LösungEin Zylinder besteht aus zwei deckungsgleichen Kreisen mit dem Radius $r$ und einem Mantel, welcher die Form eines Rechtecks hat.
Damit ist die Oberfläche gegeben als $O=2\cdot G+M$, wobei...
- ...$G$ die Grundfläche, also die Fläche des Grundkreises ist.
- ...$M$ die Mantelfläche ist.
- Die Grundfläche (und auch die Deckfläche) besteht aus einem Kreis. Die Flächeninhaltsformel für einen Kreis lautet $G=\pi\cdot r^2$.
- Der Mantel ist ein Rechteck. Die Seitenlängen ergeben sich aus der Höhe des Zylinders und aus dem Umfang des Grundkreises.
- Der Umfang des Grundkreises ist $u=2\cdot \pi\cdot r$.
- Damit ist die Manteloberfläche $M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h$.
Zuletzt kannst du noch den gemeinsamen Faktor $2\cdot \pi\cdot r$ ausklammern zu $O=2\cdot \pi\cdot r\cdot (r+ h)$.
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Berechne den jeweiligen Flächeninhalt.
TippsDie Fläche eines Kreises berechnest du durch $A=\pi\cdot r^2$. Dabei ist $r$ der Radius des Kreises.
Die Fläche eines Rechtecks berechnest du durch $A = a\cdot b$, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen des Rechtecks sind.
LösungPaul muss den Flächeninhalt eines Kreises und eines Rechtecks berechnen.
Er beginnt mit der Kreisfläche:
- $G=\pi\cdot (50~cm)^2=2500~\cdot \pi~cm^2\approx7850~cm^2$
- Um die Fläche in Quadratmetern zu erhalten, muss er durch $10000$ dividieren. Damit ist $G=0,785~m^2$.
- $M=2\cdot \pi\cdot (50~cm)\cdot (180~cm)=18000\cdot \pi~cm^2\approx 56520~cm^2$
- Damit ist $M\approx 5,652~m^2$.
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Ermittle, wie sich die Größe der Oberfläche durch Veränderung von Höhe und Radius verändert.
TippsSetze jeweils den veränderten Radius und/oder die veränderte Höhe in die Formel ein.
Die Oberflächenformel lautet $O=2\cdot\pi\cdot r\cdot (r+h)$.
Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.
LösungIn dieser Aufgabe schauen wir uns an, wie sich der Oberflächeninhalt eines Zylinders verändert, wenn man den Radius bzw. die Höhe verändert.
Der Radius des Zylinders wird verdoppelt
Setze $r=16~cm$ und $h=10~cm$ in die Oberflächenformel ein:
$O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(10~cm))=832\cdot \pi~cm^2\approx 2613,8~cm^2$.
Die Höhe des Zylinders wird verdoppelt
Setze $r=8~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:
$O=2\cdot \pi\cdot (8~cm)\cdot((8~cm)+(20~cm))=448\cdot \pi~cm^2\approx 1407,4~cm^2$.
Sowohl der Radius als auch die Höhe des Zylinders wird verdoppelt
Setze $r=16~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:
$O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(20~cm))=1152\cdot \pi~cm^2\approx 3619,1~cm^2$.
Der Radius wird verdoppelt und die Höhe halbiert
Setze $r=16~cm$ und $h=5~cm$ in die Oberflächenformel ein:
$O=2\cdot \pi\cdot (16~cm)\cdot((16~cm)+(5~cm))=672\cdot \pi~cm^2\approx 2111,2~cm^2$.
Der Radius wird halbiert und die Höhe wird verdoppelt
Setze $r=4~cm$ und $h=20~cm$ in die Oberflächenformel ein:
$O=2\cdot \pi\cdot (4~cm)\cdot((4~cm)+(20~cm))=192\cdot \pi~cm^2\approx 603,2~cm^2$.
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Fasse zusammen, was der Mantel eines Zylinders ist.
TippsLinks siehst du das Schrägbild und rechts das Netz eines Zylinders.
Ein Körpernetz besteht immer aus allen den Körper begrenzenden Flächen.
Der Mantel umhüllt den stehenden Zylinder.
LösungEin Zylinder besteht aus zwei Kreisen und einem Mantel. Die Kreise bilden dabei die Grund- und Deckfläche des Zylinders.
Der Mantel ist ein Rechteck. Er umhüllt den stehenden Zylinder.
Der Mantel ist ebenso hoch wie der Zylinder. Die andere Seitenlänge des Mantels ist der Umfang des Grundkreises. Dies kannst du dir vor Augen führen, wenn du eine leere Küchenrolle längs aufschneidest. Du erhältst ein Rechteck.
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Leite bei gegebener Oberfläche den Radius bzw. die Höhe her.
TippsVerwende die Oberflächenformel für Zylinder und stelle diese um. Schaue dir hierfür ein Beispiel an.
Die Formel lautet $O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (r+h)$.
Seien $O=2500~cm^2$ und $r=10~cm$. Dann gilt:
$2500~cm^2=2\cdot \pi\cdot (10~cm)\cdot((10~cm)+h)$.
Dividiere durch $2\cdot \pi\cdot (10~cm)$. So erhältst du $39,8\approx (10~cm)+h$. Zuletzt subtrahierst du $10~cm$ und kommst zu $h\approx 29,8~cm$.
Rechne durchgehend mit genauen Werten und runde am Schluss.
Wenn du den Radius berechnen willst, erhältst du eine quadratische Gleichung. In dieser Aufgabe lautet diese $r^2+10r-700,3=0$.
Verwende die $p$-$q$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung. Beachte, dass eine Länge nicht negativ sein kann.
LösungIn dieser Aufgabe geht es darum, bei bekannter Oberfläche die Formel umzustellen. Du setzt jeweils die bekannten Größen ein und formst dann nach der unbekannten Größe um.
Wir beginnen mit $O=4400~cm^2$ und $r=20~cm$:
$4400~cm^2=2\cdot \pi\cdot (20~cm)\cdot((20~cm)+h)$.
- Dividiere durch $2\cdot \pi\cdot (20~cm)$. So erhältst du $35\approx (20~cm)+h$.
- Zuletzt subtrahierst du $20~cm$ und kommst zu $h\approx 15~cm$.
Es seien $O=4400~cm^2$ und $h=10~cm$. Wieder werden diese Größen in die Formel eingesetzt:
$4400~cm^2=2\cdot \pi\cdot r\cdot(r+(10~cm))$.
Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $r$. Wir formen diese um (ohne Maßeinheiten):
$\begin{array}{rclll} 4400&=&2\cdot \pi\cdot r\cdot(r+10)\\ 4400&=&2\cdot \pi\cdot r^2+20\cdot \pi\cdot r&|&-4400\\ 0&=&2\cdot \pi\cdot r^2+20\cdot \pi\cdot r-4400&|&:(2\cdot \pi)\\ 0&\approx&r^2+10r-700,3 \end{array}$
Nun kannst du die $p$-$q$-Formel anwenden und erhältst:
$r_{1,2}\approx-5\pm\sqrt{25+700,3}$.
Das führt zu $r_1\approx21,9$ und $r_2\approx-31,9$.
Da es hier um Längen geht, ist die zweite Lösung nicht sinnvoll. Der gesuchte Radius beträgt also $r\approx 21,9~cm$.

Zylinder – Definition

Zylinder – Volumen und Oberfläche

Zylinder – Ergänzungen (1)

Zylinder – Ergänzungen (2)

Mantelfläche von Zylindern

Mantelfläche von Zylindern – Aufgabe

Oberfläche von Zylindern

Oberfläche von Zylindern – Aufgabe

Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche von Zylindern

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Volumen von Zylindern – Definition

Volumen von Zylindern – Aufgabe
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5 Kommentare
Diese Videos sind echt super!andere erklären es zwar manchmal genauso aber viel umständlicher ...bei Ihnen wird es immer kurz und klar erklärt ,super!
vielen Dank hab's verstanden
Super zu verstehen :D
Zwar geht es in diesem Video um die Oberfläche, zugleich ist es allerdings alles andere als oberflächlich. Supi!
Ich finde es toll, dass Sie sich so viel Mühe mit den Videos machen. So ist wirklich alles ganz leicht zu verstehen. :)