Was ist eine Äquivalenzumformung?

Was ist eine Äquivalenzumformung? Übung

• Beschreibe, was eine Äquivalenzumformung ist.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen müssen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden, damit sie die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern.

  Bei Umformungen mit Multiplikation und Division müssen zwei Ausnahmen beachtet werden.

  Lösung

  Wir nutzen Äquivalenzumformungen, um die Lösung einer Gleichung zu bestimmen. Durch die Umformungen darf die Lösungsmenge also nicht verändert werden.

  Dazu wird immer auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Umformung durchgeführt.
  Wir können dieselbe Zahl:

  • addieren,
  • subtrahieren,
  • mit ihr multiplizieren und
  • durch sie dividieren.

  Ausgenommen sind:

  • Multiplikation und Division mit $0$
  • Multiplikation und Division mit der Unbekannten oder Termen, die die Unbekannte enthalten

  Dadurch kann sich die Lösungsmenge der Gleichung verändern. Hier siehst du an zwei Beispielen, wie eine nicht erlaubte Rechenoperation zu einer falschen Lösung der Gleichung führt:

  Beispiel 1: Multiplikation mit $0$, korrekte Lösung ist $x = 2$
  $\begin{align} 3x &= 6 \quad |\cdot 0 \\ 3x \cdot 0 &= 6 \cdot 0 \\ 0 &= 0 \end{align}$

  Beispiel 2: Division mit $x$, korrekte Lösung ist $x = 0$
  $\begin{align} 3x &= 6x \quad |:x \\ 3x :x &= 6x : x \cdot 0 \\ 3 &= 6 \end{align}$

• Gib die Rechenschritte zur Lösung der Gleichung $5x - 9 = 3x + 3$ mit Äquivalenzumformungen an.

  Tipps

  Zu Beginn der Rechnung können Zahlen und Terme mit der Variablen auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Diese werden nach und nach auf verschiedenen Seiten isoliert.

  Am Ende der Rechnung steht das Ergebnis.

  Nach dem Zusammenfassen folgt der nächste Rechenschritt mit einer Äquivalenzumformung.

  Lösung

  Wir lösen die Gleichung $5x - 9 = 3x + 3$ Schritt für Schritt mithilfe von Äquivalenzumformungen. Dazu wird immer auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Rechenschritt durchgeführt und so weit wie möglich zusammengefasst. Dann folgt der nächste Schritt zur Umformung, bis $x$ auf einer Seite allein steht.

  $\begin{array}{rcll} 5x - 9 &=& 3x + 3 & \vert +9 \\ 5x - 9 + 9 &=& 3x + 3 + 9 & \\ 5x &=& 3x + 12 & \vert -3x \\ 5x -3x &=& 3x -3x+12 & \\ 2x &=& 12 & \vert :2\\ x &=& 6 & \end{array}$

• Vergleiche die Gleichungen vor und nach Durchführung der Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Führe die angegebene Äquivalenzumformung auf beiden Seiten der Gleichung durch und fasse jeweils zusammen.

  Ziel einer Äquivalenzumformung ist es, die Gleichung zu vereinfachen. Bei Addition und Subtraktion bedeutet das in der Regel, dass ein Term durch die Umformung wegfällt und sich somit eine Seite der Gleichung verkürzt.

  Lösung

  Bei einer Äquivalenzumformung wird die entsprechende Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung notiert und die Terme werden anschließend zusammengefasst. Dabei ist es besonders wichtig, dass auf beiden Seiten exakt dasselbe passiert, um die Lösungsmenge der Gleichung nicht zu verändern.

  Beispiel 1:
  $\begin{align}3x - 5 &= 2 \quad \quad |+5 \\ 3x - 5 + 5 &= 2 + 5 \\ 3x &= 7 \end{align}$

  Beispiel 2:
  $\begin{align}2x + 2 &= 4x + 4 \quad \quad |-4x \\ 2x - 4x + 2 &= 4x - 4x + 4 \\ -2x + 2 &= 4 \end{align}$

  Beispiel 3:
  $\begin{align}15 - x &= 5 + 4x \quad \quad |+x \\ 15 - x + x &= 5 + 4x + x \\ 15 &= 5 + 5x \end{align}$

  Beispiel 4:
  $\begin{align}x - 2 &= 5x + 8 \quad \quad |+2 \\ x - 2 + 2 &= 5x + 8 +2 \\ x &= 5x + 10 \end{align}$

  Beispiel 5:
  $\begin{align}15 - x &= 5 + 4x \quad \quad |-5 \\ 15 - 5 - x &= 5 - 5 + 4x \\ 10 - x &= 4x \end{align}$

• Entscheide, ob es sich bei den folgenden Umformungen um Äquivalenzumformungen handelt.

  Tipps

  Erinnere dich an die Ausnahmen bei Multiplikation und Division.

  Mehrere Rechenschritte können zu einer Äquivalenzumformung zusammengefasst werden.
  Zum Beispiel kann man direkt $+ 5 -x$ rechnen, anstatt zuerst $+5$ und im nächsten Schritt $-x$ zu rechnen.

  Lösung

  Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Gleichung aufgeführt werden. Wir können so Zahlen und Terme addieren und subtrahieren, ohne die Lösungsmenge der Gleichung zu verändern.
  $|-7$ und $|-3x$ sind also Äquivalenzumformungen.

  Auch Multiplikation und Division sind bis auf zwei Ausnahmen möglich, diese sind:
  

  • Multiplikation oder Division mit $0$
  • Multiplikation oder Division mit der Variablen

  Daher sind $|\cdot 7$ und $|:(-2)$ Äquivalenzumformungen, $|:3x$, $|\cdot x$ und $|\cdot 0$ hingegen nicht. Bei $|\cdot (1 + 6x)$ wird mit einem Term multipliziert, der die Unbekannte $x$ enthält, damit ist auch dies keine Äquivalenzumformung.

  Mehrere Äquivalenzumformungen können in einem Schritt durchgeführt werden, zum Beispiel $| -2 + 3x$ statt zuerst $|-2$ und im nächsten Schritt $|+3x$.
  Auch $|+2x-3$ und $|-(1+6x)$ sind also Äquivalenzumformungen.

• Vervollständige die Rechnung zum Lösen der Gleichung mittels Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Bei einer Äquivalenzumformung wird immer auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, mit ihr multipliziert oder durch sie dividiert.

  Wir bringen zunächst alle Zahlen auf eine und alle Terme mit $x$ auf die andere Seite.

  Lösung

  Um eine Gleichung mit Äquivalenzumformungen zu lösen, wird auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert bzw. mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie dividiert.
  Dadurch wird die Variable Schritt für Schritt isoliert. Zunächst bringst du alle Zahlen auf eine Seite der Gleichung und alle Terme mit $x$ auf die andere.
  $\begin{array} {rcll} 5x - 9 & = & 3x + 3 & \vert +9 \\ 5x - 9 + 9 & = & 3x + 3 + 9 & \\ 5x & = & 3x + 12 & \vert -3x \\ 5x -3x & = & 3x -3x+12 & \\ 2x & = & 12 & \end{array}$

  Im letzten Schritt dividierst du durch den Faktor vor dem $x$.
  $\begin{array} {rcl} 2x &= &12 & \vert :2 \\ x &= & 6 & \end{array}$

• Berechne die Lösung der Gleichung durch Verwendung von Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Führe immer die gleiche Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durch, um so Schritt für Schritt die Unbekannte $x$ zu isolieren.

  Versuche, zunächst alle Zahlen auf eine Seite der Gleichung zu bringen und alle Terme mit der Unbekannten $x$ auf die andere Seite.

  Wenn auf einer Seite der Gleichung nur noch ein Term mit $x$ und auf der anderen eine Zahl steht, kannst du durch den Faktor vor dem $x$ teilen:
  $\begin{align} 2x &= 4 \quad \quad |:2 \\ x &= 4:2 \\ x &= 2 \end{align}$

  Lösung

  Zum Lösen der Gleichungen isolieren wir die Unbekannte $x$ Schritt für Schritt. Dazu nutzen wir Äquivalenzumformungen, um alle Teile der Gleichung, die $x$ enthalten, auf die eine Seite der Gleichung und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen.

  Beispiel 1:
  $\begin{array} {rcll} -3x & = & 9 & \vert:(-3) \\ x & = & 9 :(-3) & \\ x & = & -3 & \end{array}$

  Beispiel 2:
  $\begin{array} {rcll} 5 + 2x & = & 7 & \vert -5 \\ 5-5+2x & = & 7 - 5 & \\ 2x & = & 2 & \vert :2 \\ x & = & 2 : 2 & \\ x & = & 1 & \end{array}$

  Beispiel 3:
  $\begin{array} {rcll} x - 3 & = & -2x + 3 & \vert +3 \\ x -3 +3 & = & -2x + 3 + 3 & \\ x & = & -2x + 6 & \vert +2x \\ x + 2x & = & 6 & \\ 3x & = & 6 & \vert:3 \\ x & = & 6:3 & \\ x & = & 2 & \end{array}$

  Beispiel 4:
  $\begin{array} {rcll} -4x + 20 & = & x & \vert +4x \\ -4x+4x+20 & = & x + 4x & \\ 20 & = & 5x & \vert :5 \\ 20:5 & = & x & \\ 4 & = & x & \end{array}$