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Distributivgesetz

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Rechengesetze

Einleitung

Ausmultiplizieren und Ausklammern sind sozusagen „Geschwister“. Sie gehören zu den grundlegenden Termumformungen beim Umgang mit Summen und Differenzen. Das Ausklammern wird meist zum Vereinfachen von Termen genutzt, etwa beim Kürzen von Brüchen. Das Ausmultiplizieren dient zum Auflösen von Klammern.

Ausmultiplizieren & Distributivgesetz

Das Ausmultiplizieren ist eine Anwendung des Distributivgesetzes der Addition bzw. Subtraktion. Das Gesetz besagt: Wenn du eine Zahl mit einer Klammer, in der eine Summe oder eine Differenz steht, multiplizierst, dann musst du diese Zahl mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren. Je ein Beispiel für Addition und Subtraktion:

  • $5 \cdot (3 + 2) = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 2~$ und
  • $~4 \cdot (3 – 1) = 4 \cdot 3 – 4 \cdot 1$

Das Distributivgesetz

In allgemeiner Form lautet das Distributivgesetz für drei beliebige Zahlen $a,~ b$ und $c$:

$a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c~$

Manchmal treten negative Zahlen auf. Dann solltest du die Klammerregeln beim Addieren und Subtrahieren gut kennen:

  • $a + (+b) = a + b$
  • $a – (–b) = a + b$
  • $a + (–b) = a – b$
  • $a – (+b) = a – b$

Damit kannst du das Distributivgesetz für eine Differenz auf das Distributivgesetz für die Summe zurückführen. Ein Beispiel:

$3 \cdot (7 - 2) = 3 \cdot (7 + (-2)) = 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-2) = 3 \cdot 7 – 3 \cdot 2$

Bei der Multiplikation gelten folgende Vorzeichenregeln:

$\begin{array}{c|cc} &+&-\\ \hline +&+&-\\ -&-&+ \end{array}$

Beispiele für das Ausmultiplizieren:

  • $(-12) \cdot (3 + (-4)) = (-12) \cdot 3 + (-12) \cdot (-4) = -36 + 48 = 12$
  • $(40 - 4) \cdot (-5) = 40 \cdot (-5) – 4 \cdot (-5) = -200 + 20 = -180$
  • $15 \cdot\left(\frac13-\frac34\right)=\frac{15}{3}-\frac{45}{4}=5-\frac{45}{4}=\frac{20}{4}-\frac{45}{4}=-\frac{25}{4}$

Auch Terme mit Variablen kannst du natürlich ausmultiplizieren. Es funktioniert genauso wie das Ausmultiplizieren von Zahlen:

$x \cdot (3y + 4z) = 3xy + 4xz$

Besteht die Summe (oder Differenz) aus mehreren Summanden, funktioniert das Ausmultiplizieren genauso:

$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

Zum Beispiel:

  • $8 \cdot (2r - 3s) = 16r – 24s$
  • $4a \cdot (5x + 6y - 7z) = 20ax + 24ay - 28az$

Spezialfall

Ein Sonderfall des Ausmultiplizierens ist das Auflösen eines Minuszeichens vor einer Klammer, denn das Minuszeichen ist ja nichts anderes als die Multiplikation mit $(–1)$. Du löst eine solche Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, auf, indem du jedes Glied in der Klammer mit $(–1)$ multiplizierst:

$-(3x + 5y) = (-1) \cdot (3x + 5y) = (-1) \cdot 3x + (-1) \cdot 5y = -3x - 5y$

Ausklammern & Distributivgesetz

Beim Ausklammern kehrst du das Distributivgesetz um, indem du aus einer Summe oder einer Differenz einen gemeinsamen Faktor herausziehst: Ein Beispiel:

  • $5 · 3 + 5  \cdot 2 = 5 · (3 + 2)$
  • $~4  \cdot 3 – 4 · 1 = 4  \cdot (3 – 1)$

In allgemeiner Form kann man das Ausklammern so schreiben:

$a  \cdot b + a  \cdot c = a  \cdot (b + c)~$ und $~a  \cdot  b – a  \cdot c = a  \cdot (b – c)$

Natürlich können auch hier mehr als zwei Summanden auftreten:

$a  \cdot b + a  \cdot c + a  \cdot d = a  \cdot (b + c + d)$

Eine wichtige Rolle beim Lösen von Gleichungen spielt das Ausklammern von Variablen. Es funktioniert genauso wie das Ausklammern von Zahlen:

$3xy + 4xz = x  \cdot 3y + x  \cdot 4z = x  \cdot (3y + 4z)$

Weitere Beispiele sind:

  • $7u + 7uv = 7u (1 + v)$
  • $ab - ac = a \cdot (b - c)$
  • $xy2 + 2,5 x2 = x \cdot (y2 + 2,5x)$

Auch beim Vereinfachen von Brüchen hilft das Ausklammern. Ausgeklammerte Faktoren, die im Nenner und im Zähler auftreten, lassen sich nämlich oft kürzen. Also:

$\frac{36-81}{-27-54}=\frac{9\cdot(4-9)}{9\cdot (-3-6)}=\frac{4-9}{-3-6}=\frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}$

Wie du siehst, ist das Distributivgesetz ziemlich nützlich. Es lohnt sich, sich dieses Rechengesetz gut einzuprägen.