Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegung Übung

• Definiere die Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Ungerade Zahlen sind nicht durch $2$ teilbar.

  Das Ergebnis einer Multiplikation nennt man Produkt; die Zahlen, die multipliziert werden, sind die Faktoren des Produkts.

  Die Potenz einer Zahl ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Zahl mit sich selbst.

  Lösung

  Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat: die Zahl selbst und die $1$. Diese beiden Teiler sind verschieden, sonst wäre es nur ein Teiler. Die Zahl $1$ ist daher keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die einzige gerade Primzahl ist $2$, denn $2$ hat genau zwei Teiler. Jede gerade Zahl $> 2$ ist außer durch sich selbst und durch $1$ auch noch durch $2$ teilbar. Sie kann daher keine Primzahl sein.

  Die Primfaktorzerlegung bedeutet: Jede natürliche Zahl $>1$ kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Die Faktoren dieser Zerlegung heißen Primfaktoren. Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist eindeutig.

  Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen, sucht Primo zuerst Teiler der Zahl, die größer als $1$ sind. Wenn die Teiler selbst nicht weiter teilbar sind, sind sie bereits die gesuchten Primfaktoren.

  Dass die Zahl $60$ durch $10$ teilbar ist, erkennst du daran, dass ihre letzte Ziffer $0$ ist. Die Division durch $10$ liefert:

  $60 : 10 = 6$.

  Rückwärts erhält Primo daraus die Zerlegung

  $60 = 6 \cdot 10$.

  Diese Faktoren sind aber noch keine Primzahlen, denn sie sind beide gerade und größer als $2$. Primo teilt diese Teiler jeweils durch $2$ und findet:

  $60 = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$.

  Dies ist die Primfaktorzerlegung der Zahl $60$. Primo ordnet die Primfaktoren nach der Größe und schreibt mehrfach vorkommende Primfaktoren als Potenzen:

  $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

• Beschreibe die Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Schreibe die ersten Primzahlen der Größe nach auf und prüfe die Aussagen daran.

  Jede Zahl hat (bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren) nur eine Primfaktorzerlegung.

  Ein Teiler einer Zahl enthält keine anderen Primfaktoren als die Zahl selbst.

  Lösung

  Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich die Zahl selbst und $1$. Jede Zahl $>1$, die nicht selbst eine Primzahl ist, kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Das nennt man Primfaktorzerlegung.

  Hier sind die korrekten Sätze:

  • „Jede natürliche Zahl $\geq 2$ ... hat eine Primfaktorzerlegung.“ Die Primfaktorzerlegung kannst du ausrechnen, indem du die Zahl durch ihre Teiler dividierst. Sind die Teiler Primzahlen, so hast du die Primfaktorzerlegung gefunden. Andernfalls teilst du die Teiler weiter. Die Zahl $1$ hat keine Primfaktorzerlegung: $1$ kann nicht das Produkt von Primzahlen sein, da jede Primzahl bereits größer als $1$ ist. Der Primfaktor einer Primzahl ist die Primzahl selbst.

  • „Die Primfaktorzerlegung ... ist eindeutig.“ Die Primfaktoren sind durch das sukzessive Teilen eindeutig festgelegt.

  • „Jeder Primfaktor einer Zahl ... ist ein Teiler der Zahl.“ Ein Primfaktor einer Zahl ist ein Teiler der Zahl und ist eine Primzahl.

  • „Keine ungerade Zahl ... enthält den Primfaktor $2$.“ Der Primfaktor $2$ tritt in der Primfaktorzerlegung genau bei den geraden Zahlen auf, denn genau die geraden Zahlen sind durch $2$ teilbar.

• Erschließe die Teiler.

  Tipps

  Bestimme die Primfaktorzerlegungen der Zahlen.

  Produkte der Faktoren aus der Primfaktorzerlegung einer Zahl sind Teiler der Zahl.

  $18 = 2 \cdot 3^2$ ist ein Teiler von $450$, denn die Primfaktorzerlegung von $450$ lautet:

  $450 = 45 \cdot 10 = (9 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

  Lösung

  Indem du die Primfaktorzerlegung der Zahlen bestimmst, kannst du leicht erkennen, welche Produkte von Primzahlen Teiler der Zahlen sein können. Wir berechnen also zuerst die Primfaktorzerlegungen:

  • $330 = 10 \cdot 33 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 11) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

  • $420 = 10 \cdot 42 = (2 \cdot 5) \cdot (6 \cdot 7) = 2 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

  • $735 = 5 \cdot 147 = 5 \cdot (3 \cdot 49) = 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7^2$

  • $945 = 5 \cdot 189 = 5 \cdot (3 \cdot 63) = 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 9) = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3) = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$

  • $594 = 2 \cdot 297 = 2 \cdot (3 \cdot 99) = 2 \cdot 3 \cdot (9 \cdot 11) = 2 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 11 = 2 \cdot 3^3 \cdot 11$

  Aus den Primfaktorzerlegungen ergeben sich folgende Zuordnungen:

  • $5 \cdot 11$ teilt $330$ und keine der anderen Zahlen.

  • $2^2 \cdot 7$ ist ein Teiler von $420$, aber kein Teiler der anderen Zahlen.

  • $5 \cdot 7^2$ lässt sich aus der Primfaktorzerlegung von $735$ erzeugen, aus den Primfaktorzerlegungen der anderen Zahlen aber nicht.

  • $3^3 \cdot 7$ teilt die Zahl $945$, aber keine der anderen Zahlen.

  • $3^3 \cdot 11$ ist ein Teiler von $594$ und teilt die anderen Zahlen nicht.

• Bestimme alle Primfaktoren.

  Tipps

  Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist und durch $100$ teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffern $0$ sind.

  Ist eine Zahl durch $100$ teilbar, so enthält die Primfaktorzerlegung mindestens die Primzahl-Potenzen $2^2$ und $5^2$.

  Die Primfaktorzerlegung von $1080$ lautet:

  $1\,080 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5$.

  Die Potenzen $2^1$, $2^2$, $3^1$ und $3^2$ sind ebenfalls Teiler von $1080$, sind aber nicht maximal und deshalb nicht die Potenzen aus der Primfaktorzerlegung.

  Lösung

  Um die Primfaktoren zu bestimmen, teilst du die Zahlen. Sind die Teiler nicht weiter teilbar, so sind sie Primfaktoren. Andernfalls teilst du die Teiler weiter und findest so nach und nach alle Primfaktoren. Dann schreibst du gleiche Primfaktoren aus Potenzen.

  Hier sind die Zerlegungen:

  $\begin{array}{ll} 3\,920 &= 392 \cdot 10 \\ &= (2 \cdot 196) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2 \cdot ( 2 \cdot 98) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 49) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2^4 \cdot 5 \cdot 7^2 & \\ & \\ 45\,000 &= 45 \cdot 1\,000 \\ &= (5 \cdot 9) \cdot (10 \cdot 10 \cdot 10) \\ &= (5 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^4 & \\ & \\ 47\,250 &= 4725 \cdot 10 \\ &= (25 \cdot 189) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= (5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 63) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 9) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 7 & \\ & \\ 64\,800 &= 648 \cdot 100 \\ &= (2 \cdot 324) \cdot (10 \cdot 10) \\ &= 2 \cdot (2 \cdot 162) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \\ &= 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 81) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (9 \cdot 9) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \\ &= 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \end{array}$

• Gib die Primfaktorzerlegung an.

  Tipps

  Teile zuerst die Zahl $60$ durch $10$ und trage das Ergebnis ein.

  Wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst, kannst du das Ergebnis als Quadrat schreiben.

  Die Primfaktorzerlegung von $20$ lautet:

  $20 = 4 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

  Lösung

  Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen, kannst du erst einen Teiler suchen und die Division ausführen. Die Zahl $60$ ist durch $6$ teilbar und $60:6=10$. Aus der Division erhältst du die Zerlegung $60 = 6 \cdot 10$.

  Die Faktoren $6$ und $10$ kannst du nun weiter in Teiler zerlegen und erhältst $6 = 2 \cdot 3$ und $10 = 2 \cdot 5$. Zusammengesetzt ist das:

  $60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$.

  Diese Faktoren sind alle bereits Primzahlen und nicht weiter teilbar. Du kannst sie umsortieren und erhältst:

  $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

  Nun fasst du die beiden ersten Faktoren zur zweiten Potenz zusammen und erhältst:

  $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

  Dies ist die Primfaktorzerlegung der Zahl $60$. Ihre Faktoren dieser Zerlegung heißen Primfaktoren.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Aus der Primfaktorzerlegung einer Zahl kannst du die Primfaktorzerlegung ihrer Quadratzahl unmittelbar ablesen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Das Produkt der einstelligen Primzahlen $+1$ ist wieder eine Primzahl.“ Die einstelligen Primzahlen sind $2$, $3$, $5$ und $7$. Das Produkt dieser Zahlen ist $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Die Zahl $210 +1 = 211$ ist eine Primzahl. Um das nachzuprüfen, musst du nur die Primzahlen bis $13$ als mögliche Teiler ausschließen, denn $17 \cdot 17 = 289$ ist bereits größer als $211$.

  • „Der größte echte Primfaktor einer Zahl ist nicht größer als die Hälfte der Zahl.“ Andernfalls wäre der Quotient aus der Zahl und ihrem Primfaktor kleiner als $2$.

  • „Die Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl enthält von jedem Primfaktor eine gerade Anzahl.“ Ist eine Zahl das Quadrat einer anderen, so kannst du für diese andere Zahl die Primfaktorzerlegung bestimmen. Das Quadrat enthält dann jeden dieser Primfaktoren doppelt.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die größte Primzahl erhältst du, indem du alle Primzahlen multiplizierst und dann $1$ dazuzählst.“ Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, so könntest du sie alle multiplizieren. Wenn du zu dem Ergebnis $1$ dazuzählst, findest du eine Zahl, die bei Division durch alle diese Primzahlen den Rest $1$ hat. Diese Zahl muss also selber prim sein, und sie ist größer als alle Primzahlen, die du multipliziert hast. Dieses Argument, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, stammt übrigens von Euklid.

  • „Zwischen $0$ und $10$ gibt es genauso viele Primzahlen wie zwischen $10$ und $20$. Dasselbe gilt für jeden Zehnerbereich.“ Zwischen $1$ und $10$ liegen die vier Primzahlen $2$, $3$, $5$ und $7$, zwischen $10$ und $20$ die Primzahlen $11$, $13$, $17$ und $19$. Das sind jeweils vier. Aber zwischen $20$ und $30$ liegen nur die beiden Primzahlen $23$ und $29$. Je größer die Zahlen werden, desto weniger Primzahlen gibt es.

  • „Eine Quadratzahl ist genau dann eine Primzahl, wenn die Zahl ihrer Primteiler gerade ist.“ Eine Quadratzahl ist niemals eine Primzahl, denn sie ist das Produkt einer natürlichen Zahl mit sich selbst.