Periodische und endliche Dezimalzahlen
Unendlichkeit fasziniert und ist auch in der Mathematik präsent, zum Beispiel bei unendlichen Zahlen oder Dezimalzahlen. Erfahrt, was endliche und periodische Dezimalzahlen sind und wie man sie unterscheidet. Interessiert? Hier erfahrt ihr mehr über Dezimalzahlen!
- Periodische und endliche Dezimalzahlen – Mathe
- Was sind endliche und periodische Dezimalzahlen? – Definition
- Rein periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen
- Wie erkennt man endliche oder periodische Dezimalzahlen anhand des Bruchs?
- Rechnen mit periodischen Dezimalzahlen

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Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Periodische und endliche Dezimalzahlen

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Brüche und Dezimalzahlen ineinander umwandeln – Übungen

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Prozent und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

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Prozentzahlen und Dezimalzahlen ineinander umwandeln

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Quotienten – Zusammenhang mit Brüchen
Periodische und endliche Dezimalzahlen Übung
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Entscheide, ob die Aussagen zu den Dezimalzahlen korrekt sind.
TippsBeispiele für periodische Dezimalzahlen:
- $0,\overline{106}$
- $1,\overline{3}$
- $0,14\overline{2}$
- $23,\overline{9365}$
LösungWir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.
Endliche Dezimalzahlen
Ist die Division nach endlich vielen Schritten beendet, so ist das Ergebnis eine endliche, also abbrechende Dezimalzahl. Dies hat nichts damit zu tun, ob bei der Division ein Rest verbleibt. Dieser Rest bedeutet nur, dass das Ergebnis ein Komma enthält.
Wir betrachten als Beispiel den Bruch $\frac{1}{8}$ und wandeln ihn um:
$\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$
Das Ergebnis ist $0,125$, also ein abbrechender oder auch endlicher Dezimalbruch.
Periodische Dezimalzahlen
Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Eine Periode kann also auch aus mehreren Ziffern bestehen. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.
Wir schauen uns als Beispiel $\frac{1}{9}$ an. Wir wandeln den Bruch durch schriftliche Division in einen Dezimalbruch um:
$\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$
Wir erkennen, dass sich der Rest immer wiederholt. Das Ergebnis ist $0,11111... = 0,\bar{1}$, also ein periodischer Dezimalbruch.
-
Gib an, welche Dezimalbrüche periodisch sind.
TippsBei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich entweder direkt oder irgendwo nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.
Du kannst einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst.
Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
LösungWir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.
Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.
Für die Beispiele ergeben sich folgende Ergebnisse:
$\frac{1}{3} = 0,3333... = 0,\bar{3}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&3&=&0,&3&3&3...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch
$\frac{1}{9} = 0,111111... = 0,\bar{1}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch
$\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1\bar{6}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&6&=&0,&1&6&6...\\ \hline &1&0& \\ -&& 6\\ \hline && 4&0\\ -&& 3&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&& 3&9\\ \hline &&&& 4\\ \end{array}$ periodisch
$\frac{1}{8} = 0,125$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich
$\frac{2}{5} = 0,4$ $\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$ endlich
$\frac{3}{8} = 0,375$ $\begin{array}{rrlllllll} &3&:&8&=&0,&3&7&5\\ \hline &3&0& \\ -&2& 4\\ \hline && 6&0\\ -&& 5&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich
Alternativer Lösungsweg:
Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche oder periodische Dezimalzahl handelt, können wir auch die Primfaktorzerlegung im Nenner anwenden:
- Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
- Bei periodischen Dezimalbrüchen tritt mindestens ein Primfaktor auf, der nicht $2$ oder $5$ ist.
Wir betrachten so die Brüche:
$\frac{1}{3}$
Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}$
Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3 \cdot 3}$
Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch
$\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3}$
Primfaktoren im Nenner: $2$ und $3 \quad \mapsto$ periodisch
$\frac{2}{5}$
Primfaktor im Nenner: $5 \quad \mapsto$ nicht periodisch
$\frac{3}{8} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 2}$
Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch
-
Formuliere die Zahl in Worten.
TippsBeispiel:
$3,4\overline{6} \rightarrow$ drei Komma vier Periode sechs
Die Periode wird vor der sich wiederholenden Ziffernfolge genannt. Jede Ziffer wird einzeln benannt.
LösungPeriodische Dezimalzahlen
Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird. Wir sprechen dies wie folgt:
$0,\overline{106} \rightarrow$ null Komma Periode eins null sechs
$0,1\overline{06} \rightarrow$ null Komma eins Periode null sechs
$0,106 \rightarrow$ null Komma eins null sechs
$0,10 \overline{6} \rightarrow$ null Komma eins null Periode sechs
-
Stelle den Bruch als Dezimalzahl dar.
TippsUm einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.
Beispiel:
$\frac{1}{8}= 1:8 = 0,125$
LösungWir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.
Damit ergeben sich folgende Dezimalbrüche:
Beispiel 1:
$\frac{6}{11}=6:11=0,5454...=0,\overline{54}$
Dies ist eine periodische Dezimalzahl.
Beispiel 2:
$\frac{5}{8}=5:8=0,625$
Dies ist eine endliche Dezimalzahl.
Beispiel 3:
$\frac{4}{30}=4:30=0,1333...=0,1\overline{3}$
Dies ist eine gemischt-periodische Dezimalzahl.
-
Beschreibe, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln kann.
TippsBeispiel:
$\frac{1}{8}$
$\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$
Der Bruchstrich steht für ein Geteiltzeichen.
LösungWir können einen Bruch in eine Dezimalzahl, also eine Kommazahl umwandeln, indem wir schriftlich dividieren. Dazu teilen wir den Zähler durch den Nenner.
Beispiel:
Um den Bruch $\mathbf{\frac{2}{5}}$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln, rechnen wir $\mathbf{2:5}$ und erhalten so $0,4$:
$\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$
Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen darstellen zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über der sich wiederholenden Ziffernfolge gezogen wird.
- Beispiel für einen endlichen Dezimalbruch: $0,284$
- Beispiel für einen periodischen Dezimalbruch: $0,\bar{3}$
-
Entscheide, ob die Zahl ein reinperiodischer, gemischt-periodischer oder endlicher Dezimalbruch ist.
TippsBei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
Beispiel:
$\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$
LösungGrundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.
Bei periodischen Dezimalzahlen unterscheiden wir noch einmal zwischen reinperiodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt, und gemischt-periodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode nicht direkt hinter dem Komma beginnt.
Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche, reinperiodische oder gemischt-periodische Dezimalzahl handelt, wenden wir die Primfaktorzerlegung im Nenner an:
- Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
- Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen treten die Zahlen $2$ und $5$ in der Primfaktorzerlegung des Nenners gar nicht auf.
- Bei gemischt-periodischen Dezimalbrüchen enthält die Primfaktorzerlegung des Nenners mindestens eine $2$ oder $5$ und zusätzlich auch mindestens einen anderen Primfaktor.
Somit ergeben sich folgende Zuordnungen:
Endliche Dezimalzahlen:
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$
$\frac{3}{20} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5}$
Reinperiodische Dezimalzahlen:
$\frac{1}{21} = \frac{1}{3 \cdot 7}$
$\frac{13}{33} = \frac{13}{3 \cdot 11}$
Gemischt-periodische Dezimalzahlen:
$\frac{3}{14} = \frac{3}{2 \cdot 7}$
$\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$
$\frac{23}{105} = \frac{23}{3 \cdot 5 \cdot 7}$
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