Periodische und endliche Dezimalzahlen

Periodische und endliche Dezimalzahlen Übung

• Entscheide, ob die Aussagen zu den Dezimalzahlen korrekt sind.

  Tipps

  Beispiele für periodische Dezimalzahlen:

  • $0,\overline{106}$
  • $1,\overline{3}$
  • $0,14\overline{2}$
  • $23,\overline{9365}$

  Lösung

  Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

  Endliche Dezimalzahlen

  Ist die Division nach endlich vielen Schritten beendet, so ist das Ergebnis eine endliche, also abbrechende Dezimalzahl. Dies hat nichts damit zu tun, ob bei der Division ein Rest verbleibt. Dieser Rest bedeutet nur, dass das Ergebnis ein Komma enthält.

  Wir betrachten als Beispiel den Bruch $\frac{1}{8}$ und wandeln ihn um:

  $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$

  Das Ergebnis ist $0,125$, also ein abbrechender oder auch endlicher Dezimalbruch.

  Periodische Dezimalzahlen

  Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Eine Periode kann also auch aus mehreren Ziffern bestehen. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.

  Wir schauen uns als Beispiel $\frac{1}{9}$ an. Wir wandeln den Bruch durch schriftliche Division in einen Dezimalbruch um:

  $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$

  Wir erkennen, dass sich der Rest immer wiederholt. Das Ergebnis ist $0,11111... = 0,\bar{1}$, also ein periodischer Dezimalbruch.

• Gib an, welche Dezimalbrüche periodisch sind.

  Tipps

  Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich entweder direkt oder irgendwo nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.

  Du kannst einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst.

  Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.

  Lösung

  Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

  Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.

  Für die Beispiele ergeben sich folgende Ergebnisse:

  $\frac{1}{3} = 0,3333... = 0,\bar{3}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&3&=&0,&3&3&3...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch

  $\frac{1}{9} = 0,111111... = 0,\bar{1}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch

  $\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1\bar{6}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&6&=&0,&1&6&6...\\ \hline &1&0& \\ -&& 6\\ \hline && 4&0\\ -&& 3&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&& 3&9\\ \hline &&&& 4\\ \end{array}$ periodisch

  $\frac{1}{8} = 0,125$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich

  $\frac{2}{5} = 0,4$ $\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$ endlich

  $\frac{3}{8} = 0,375$ $\begin{array}{rrlllllll} &3&:&8&=&0,&3&7&5\\ \hline &3&0& \\ -&2& 4\\ \hline && 6&0\\ -&& 5&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich

  Alternativer Lösungsweg:

  Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche oder periodische Dezimalzahl handelt, können wir auch die Primfaktorzerlegung im Nenner anwenden:

  • Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
  • Bei periodischen Dezimalbrüchen tritt mindestens ein Primfaktor auf, der nicht $2$ oder $5$ ist.

  Wir betrachten so die Brüche:

  $\frac{1}{3}$

  Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch

  $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

  Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch

  $\frac{1}{9} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

  Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch

  $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3}$

  Primfaktoren im Nenner: $2$ und $3 \quad \mapsto$ periodisch

  $\frac{2}{5}$

  Primfaktor im Nenner: $5 \quad \mapsto$ nicht periodisch

  $\frac{3}{8} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

  Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch

• Formuliere die Zahl in Worten.

  Tipps

  Beispiel:

  $3,4\overline{6} \rightarrow$ drei Komma vier Periode sechs

  Die Periode wird vor der sich wiederholenden Ziffernfolge genannt. Jede Ziffer wird einzeln benannt.

  Lösung

  Periodische Dezimalzahlen

  Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird. Wir sprechen dies wie folgt:

  $0,\overline{106} \rightarrow$ null Komma Periode eins null sechs

  $0,1\overline{06} \rightarrow$ null Komma eins Periode null sechs

  $0,106 \rightarrow$ null Komma eins null sechs

  $0,10 \overline{6} \rightarrow$ null Komma eins null Periode sechs

• Stelle den Bruch als Dezimalzahl dar.

  Tipps

  Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

  Beispiel:

  $\frac{1}{8}= 1:8 = 0,125$

  Lösung

  Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

  Damit ergeben sich folgende Dezimalbrüche:

  Beispiel 1:

  $\frac{6}{11}=6:11=0,5454...=0,\overline{54}$

  Dies ist eine periodische Dezimalzahl.

  Beispiel 2:

  $\frac{5}{8}=5:8=0,625$

  Dies ist eine endliche Dezimalzahl.

  Beispiel 3:

  $\frac{4}{30}=4:30=0,1333...=0,1\overline{3}$

  Dies ist eine gemischt-periodische Dezimalzahl.

• Beschreibe, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln kann.

  Tipps

  Beispiel:

  $\frac{1}{8}$

  $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$

  Der Bruchstrich steht für ein Geteiltzeichen.

  Lösung

  Wir können einen Bruch in eine Dezimalzahl, also eine Kommazahl umwandeln, indem wir schriftlich dividieren. Dazu teilen wir den Zähler durch den Nenner.

  Beispiel:

  Um den Bruch $\mathbf{\frac{2}{5}}$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln, rechnen wir $\mathbf{2:5}$ und erhalten so $0,4$:

  $\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$

  Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen darstellen zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über der sich wiederholenden Ziffernfolge gezogen wird.

  • Beispiel für einen endlichen Dezimalbruch: $0,284$
  • Beispiel für einen periodischen Dezimalbruch: $0,\bar{3}$

• Entscheide, ob die Zahl ein reinperiodischer, gemischt-periodischer oder endlicher Dezimalbruch ist.

  Tipps

  Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.

  Beispiel:

  $\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$

  Lösung

  Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen, und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.

  Bei periodischen Dezimalzahlen unterscheiden wir noch einmal zwischen reinperiodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt, und gemischt-periodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode nicht direkt hinter dem Komma beginnt.

  Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche, reinperiodische oder gemischt-periodische Dezimalzahl handelt, wenden wir die Primfaktorzerlegung im Nenner an:

  • Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
  • Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen treten die Zahlen $2$ und $5$ in der Primfaktorzerlegung des Nenners gar nicht auf.
  • Bei gemischt-periodischen Dezimalbrüchen enthält die Primfaktorzerlegung des Nenners mindestens eine $2$ oder $5$ und zusätzlich auch mindestens einen anderen Primfaktor.

  Somit ergeben sich folgende Zuordnungen:

  Endliche Dezimalzahlen:

  $\frac{1}{125} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

  $\frac{3}{20} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5}$

  Reinperiodische Dezimalzahlen:

  $\frac{1}{21} = \frac{1}{3 \cdot 7}$

  $\frac{13}{33} = \frac{13}{3 \cdot 11}$

  Gemischt-periodische Dezimalzahlen:

  $\frac{3}{14} = \frac{3}{2 \cdot 7}$

  $\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$

  $\frac{23}{105} = \frac{23}{3 \cdot 5 \cdot 7}$