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Prozent als Anteil eines Ganzen 06:15 min

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Transkript Prozent als Anteil eines Ganzen

Leelee ist eine ehrgeizige Jungunternehmerin, die ein perfektes Gespür für die neuesten online trends hat. Heute startet sie eine Kampagne für ihre neue high-end Modelinie für Haustiere. Crowdfunding ist ungefähr so einfach, wie einen Sack Flöhe zu hüten. Um ihre Spendensammlung verfolgen zu können, müssen wir Leelee ein wenig helfen und zwar mithilfe der Prozentrechnung. Leelee startet ihren Spendenaufruf, indem sie eine E-Mail an 135 Personen, die sie kennt, sendet. Sie hofft, dass 40% dieser Personen antworten. Wie viele wären das denn? Wir können dazu ein Diagramm erstellen, welches uns dabei hilft, 40% von 135 zu veranschaulichen. Lass uns zunächst das ganze betrachten, also 100% der Personen, denen sie eine E-Mail geschickt hat. Welche Anzahl von Personen repräsentiert also unser Ganzes? Da Leelee 135 Personen kontaktiert hat, ist diese Anzahl 100%. Jetzt wollen wir herausfinden, wie viele Personen unseren Anteil von 40% darstellen. Das können wir hier im Diagramm ja schon einmal markieren. Wie kommen wir denn von 100% auf 40%? Ein Weg wäre, dass wir zunächst herausfinden, was 1% sind und dies dann verwenden, um herauszufinden, was 40% sind. Wenn wir also wissen, dass 135 Personen 100% sind, wie könnten wir herausfinden, wie viele 1% entsprechen? Wir können zunächst das Ganze, also 100% durch 100 teilen um 1% zu erhalten. Dann können wir ebenfalls 135 durch 100 teilen, um den gesuchten Wert zu finden. Das bedeutet, dass 1,35 Personen 1% entsprechen. Können wir unser Wissen nun verwenden, um herauszufinden, wie viele Personen 40% entsprechen? Da wir 1% mit 40 multiplizieren können und 40% erhalten, können wir 1,35 mit 40 multiplizieren und erhalten 54 Personen als 40% des Ganzen. Mit 54 Personen, die bereit für eine Spende sind, ist Leelee so aufgeregt wie ein Welpe im Hundepark. Die Crowdfunding Website, die Leelee verwendet möchte zuvor ein Spendenziel erhalten. Um die Spenden, die sie sammelt zu erhalten muss Leelee 65% dieses Ziels erreichen. Leelee benötigt wenigstens 1950 Euro um ihre Kleidung auf den Laufsteg zu bringen. Also muss ihr Ziel unbedingt höher angesetzt werden. Wenn 1950 nur 65% ihres Zieles sind, was sollte dann der Wert sein? Lass uns wieder ein Diagramm zur Hilfe nehmen, um diese Informationen herauszufinden. Wir wollen dieses mal das Ganze, also 100% herausfinden. Lass uns dies einmal mit 'x' bezeichnen. Wo in dem Diagramm zeichnen wir dann unseren Anteil, also die 65% von 1950, ein? Wir wissen, dass 1950 65% unseres Ziels entsprechen. Wir haben also den Wert des Anteils und die Prozentangabe. Wir wissen, dass der Wert des Anteils gleich der Prozentangabe multipliziert mit dem Gesamtwert ist. Also ist 1950 gleich 65% mal 'x'. 65% entsprechen 65 Hundertstel. Wie können wir nun das 'x' so isolieren, damit wir die Gleichung lösen können? Wir können damit starten, den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung umzuwandeln, indem wir beide Seiten mit dem Kehrwert multiplizieren. Dann vereinfachen wir. x' ist also gleich 3000. Das heißt Leelee muss ein Spendenziel von ganzen 3000 Euro setzen. Lass uns mal schauen, wie ihre Spendensammlung bisher so läuft. Schau dir das mal an: Sie hat soeben eine Spende von 900 Euro von einer gewissen 'Pummelkatze400' bekommen. Mit diesen 900 Euro hat sie also wie viel Prozent bis jetzt schon gesammelt, und wie viel Prozent bleiben noch übrig bis sie ihr Ziel erreicht hat? Das Diagramm zeigt uns, dass 900 Euro ein Anteil auf ihrem Weg zum Ganzen von 3000 Euro ist. Lass uns die unbekannte Prozentzahl mit 'p' bezeichnen. Nun können wir wieder unsere Gleichung verwenden, die wir zuvor ja schon gut kennengelernt haben. Da wir aber diesmal den Prozentwert 'p' herausfinden wollen, können wir dies als den Anteil geteilt durch das Ganze schreiben. Setzen wir nun unsere Werte für den Anteil und das Ganze ein, können wir diesen Bruch vereinfachen und bekommen neun Dreißigstel oder drei Zehntel. Das können wir auch als Dezimalzahl schreiben und in 30% umwandeln. Leelee hat also schon 30% ihres Ziels erreicht. Das heißt 70% bleiben übrig. Vor Leelee's großer Eröffnung, haben wir noch ein wenig Zeit um dies schnell zusammenzufassen. Ein Diagramm ist immer ein guter Weg, um die Zusammenhänge zwischen Prozent, dem Anteil und dem Ganzen zu veranschaulichen. Wenn wir einen Wert und dessen dazugehörige Prozentzahl wissen, können wir diese immer zu 1% umwandeln indem wir dividieren und dann erweitern, um den gewünschten Wert zu finden. Außerdem kennen wir die Gleichung: Anteil ist gleich Prozentwert multipliziert mit dem Ganzen welche wir immer zur Berechnung verwenden können. Da ein paar mehr ihrer Freunde tief in die Tasche gegriffen haben, konnte Leelee ihre erste Modelinie für Haustiere herausbringen. Aber was ist denn los Leelee? Bist du schon müde vom Internetfame? Ihh! oder doch besser Miau.

3 Kommentare
  1. Hallo JMcrafter M.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 3 Monaten
  2. Ganz gutes video aber ich habe es immer noch nicht verstanden

    Von JMcrafter M., vor 3 Monaten
  3. Schönes video

    Von Lorenzo P., vor 4 Monaten

Prozent als Anteil eines Ganzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozent als Anteil eines Ganzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme den Anteil.

    Tipps

    Ist der Prozentsatz kleiner als $100\%$, so ist der Anteil kleiner als das Ganze.

    Bei dem Dreisatz musst du rechts und links jeweils dieselbe Rechenoperation durchführen.

    Den Wert für $1\%$ erhältst du, indem du den Wert für $100\%$ durch $100$ dividierst.

    Lösung

    Mit einem Dreisatz kannst du zu einem gegebenen Ganzen den Anteil zu einem vorgegebenen Prozentsatz bestimmen. Zur Veranschaulichung dient ein Streifendiagramm. Die rechte Grenze markiert hier das Ganze und den zugehörigen Prozentsatz $100\%$. Der Anteil zu dem Prozentsatz $40\%$ liegt etwas links der Mitte des Streifens.

    Bei der Anwendung des Dreisatzes für eine proportionale Zuordnung führst du auf beiden Seiten jeweils dieselbe Rechnung durch. Um den Prozentwert oder Anteil auszurechnen, kannst du zuerst aus dem Wert für das Ganze den Wert für $1\%$ bestimmen. Dazu teilst du diesen Wert durch $100$ und erhältst $1,35$. Nun kannst du daraus den Wert zu dem Prozentsatz $40\%$ bestimmen, indem du mit $40$ multiplizierst. So erhältst du den Anteil $54$.

  • Berechne die Anteile und Prozente.

    Tipps

    Verwende einen Dreisatz, um zu einem gegebenen Ganzen und Prozentsatz den zugehörigen Anteil zu bestimmen.

    Der Prozentsatz ist das Verhältnis aus dem Anteil und dem Ganzen. Die Prozentzahl ist das Hundertfache dieses Verhältnisses.

    Entspricht $176$ einem Anteil von $55\%$, so ist das Ganze $176:0,55=320$.

    Lösung

    Um den Anteil eines gegebenen Ganzen zu einem vorgegebenen Prozentsatz $p\%$ zu berechnen, kannst du einen Dreisatz verwenden: Du rechnest zuerst auf $1\%$ „runter“ und dann wieder auf den gegebenen Prozentsatz „rauf“: Da $1\%$ ein Hundertstel von $100\%$ ist, dividierst du den Wert des Ganzen durch $100$, um den Wert des Anteils $1\%$ zu berechnen. Dann multiplizierst du mit der gegebenen Prozentzahl $p$ und erhältst den gesuchten Anteil zum Prozentsatz $p\%$.

    Um zu einem vorgegebenen Anteil und dessen Prozentsatz das Ganze zu bestimmen, dividierst du den Anteil durch den Prozentsatz: Der Anteil $176$ mit dem Prozentsatz $55\%$ gehört zu dem Ganzen $320$, denn $320 \cdot 0,55 = 176$ bzw. $176:0,55 = 320$.

    Schließlich kannst du auch zu einem gegebenen Anteil und dem Ganzen den zugehörigen Prozentsatz ausrechnen, denn dieser entspricht genau dem Verhältnis aus dem Anteil und dem Ganzen als Dezimalbruch ausgedrückt. Um den Prozentsatz zu erhalten, musst du den Dezimalbruch noch mit $100$ multiplizieren und ein Prozentzeichen anfügen.

    So findest du folgende Zuordnungen:

    • „$40\%$ von $135$ sind ... $54$.“ Denn $135 :100 = 1,35$ und $1,35 \cdot 40 = 54$.
    • „$900$ sind $30\%$ von ... $3.000$.“ Denn $900 : 0,3 = 3.000$.
    • „Der Anteil $1.950$ von $3.000$ entspricht ... $65\%$.“ Denn hier ist $\frac{1.950}{3.000} = 1.950 : 3.000 = 0,65$.
    • „Der Anteil $2.100$ von $3.000$ beträgt ... $70\%$.“ Denn du kannst nachrechnen: $\frac{2.100}{3.000} = 0,7$. Umgekehrt ist auch $2.100 = 3.000 - 900$ und $900$ entspricht $30\%$ von $3.000$. Daher entspricht $2.100$ genau $100\% - 30\% = 70\%$ von $3.000$.
    • „$1,35$ sind $1\%$ von ... $135$.“ Diesen Wert erhältst du als Zwischenrechnung beim obigen Dreisatz: $100\% : 100 = 1\%$, daher ist $135:100 = 1,35$ der Anteil von $135$ zu dem Prozentsatz $1\%$.
  • Bestimme den Prozentsatz.

    Tipps

    Dividiere den Anteil durch das Ganze, um den Prozentsatz zu bestimmen.

    Der Prozentsatz $45\%$ entspricht etwas weniger als der Hälfte des Ganzen.

    $33$ sind $0,6\%$ von $5.500$, denn $33:5.500 = 0,006$ bzw. $33:0,006 = 5.500$.

    Lösung

    Um den Prozentsatz zu bestimmen, genügt es, den Anteil jeweils durch das Ganze zu dividieren. Das Ergebnis dieser Division ist der Prozentsatz als Dezimalbruch dargestellt. Du kannst die Prozentzahl daraus ablesen, indem du den Dezimalbruch mit $100$ multiplizierst. Statt alle Prozentsätze auszurechnen, kannst du manche auch direkt erkennen: Der Prozentsatz $45\%$ ist nur wenig kleiner als $50\%$, was $\frac{1}{2}$ entspricht. Diesem Prozentsatz entsprechen also Anteile, die nur wenig kleiner als die Hälfte des Ganzen sind, also z.B. $16,2$ von $36$. Der Prozentsatz $0,4\%$ dagegen ist kleiner als $1\%$. Der Anteil muss hier also kleiner als ein Hundertstel des Ganzen sein. Dies ist z.B. bei $1,16$ von $290$ der Fall.

    Du erhältst dann folgende Zuordnungen:

    $30\%$:

    • $9$ von $30$, denn $9:30 = 0,3 = 30\%$.
    • $24,3$ von $81$: Hier ist $27:81 = 0,3$.
    • $81$ von $270$, denn $81:270 = 0,3$.
    $45\%$:
    • $9$ von $20$: Zur Probe rechnest du $20 \cdot 0,45 = 9$.
    • $36,45$ von $81$, denn $36,45 : 0,45 = 81$.
    • $16,2$ von $36$, denn $\frac{16,2}{36} = \frac{162}{360} = \frac{81}{180} = \frac{9}{20} = 0,45$.
    $81\%$
    • $243$ von $300$: Hier ist $243:300 = 0,81$.
    • $36,45$ von $45$, denn $0,81 \cdot 45 = 36,45$.
    • $4,86$ von $6$, denn $4,86:6 = 0,81$.
    $0,4\%$:
    • $4$ von $1.000$: Hier ist $\frac{4}{1.000} = \frac{0,4}{100} = 0,4\%$.
    • $4,86$ von $1.215$, denn $4,86:0,4=1.215$.
    • $1,16$ von $290$, denn es ist $1,16:0,4 = 290$.

  • Bestimme die gesuchten Größen.

    Tipps

    Der Prozentwert entspricht dem Anteil eines Ganzen.

    Die Prozentzahl ist das Hundertfache des Prozentsatzes.

    Sind $12\%$ eines Kapitals $144$, so beträgt des ganze Kapital $144:0,12 = 1.200$.

    Lösung

    Bei der Darstellung eines Anteils von einem Ganzen durch eine Prozentangabe unterscheidet man den Prozentsatz und die Prozentzahl. Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Anteils zum Ganzen. Man kann ihn z.B. als Dezimalbruch darstellen. Praktisch ist die Darstellung in der Form $p\%$. Die Zahl $p$ heißt Prozentzahl, sie ist das Hundertfache des Prozentsatzes. Denn $p\%$ steht für $\frac{p}{100}$ bzw. $p \cdot \frac{1}{100}$.

    Die Angabe des Prozentsatzes als Verhältnis des Anteils zum Ganzen kannst du nach dem Ganzen auflösen, um Leelees Kapital zu berechnen: Leelee weiß, wie groß der Anteil ihres Kapitals zu einem vorgegebenen Prozentsatz sein soll: $63\%$ des Kapitals entsprechen $1.575$ €. Diese Zahl ist der Prozentwert zu dem gegebenen Prozentsatz $63\%$ und dem unbekannten Kapital. Um dieses zu berechnen, dividiert Leelee den Prozentwert durch den Prozentsatz. Sie erhält für das Ganze des benötigten Kapitals:

    $1.575 : 0,63 = 2.500$

    Wenn Leelees Geschäfte gut laufen, beträgt der Gewinn $6\%$ des eingesetzten Kapitals. Um den Prozentsatz oder Zinssatz als Dezimalbruch zu schreiben, dividiert Leelee die Prozentzahl durch $100$. Sie erhält dann den Gewinn, indem sie den Prozentsatz mit dem Kapital multipliziert:

    $0,06 \cdot 2.500 = 150$

  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Anteil $p$ von dem Ganzen $100$.

    $10\%$ entsprechen $0,1=\frac{10}{100}$.

    Mit der folgenden Beziehung kannst du den Anteil aus dem Ganzen und dem Prozentsatz berechnen:

    $\mbox{Prozentsatz} = \frac{\mbox{Anteil}}{\mbox{Ganzes}} $

    Lösung

    Der Prozentsatz ist eine Angabe für das Verhältnis des Anteils zum Ganzen. Man drückt dieses Verhältnis in $\%$ aus, indem man den entsprechenden Anteil zum Ganzen $100$ ausrechnet. Die Angabe $p\%$ entspricht daher dem Verhältnis $\frac{p}{100}$.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Die Prozentzahl ist der Quotient aus Anteil und Ganzem.“ Tatsächlich ist der Prozentsatz das Verhältnis des Anteils zum Ganzen. Die Prozentzahl ist das Hundertfache dieses Prozentsatzes.
    • „Das Ganze entspricht immer dem Prozentsatz $p\%$.“ Das gilt nur für $p=100$, denn das Ganze entspricht immer dem Prozentsatz $100\%$. Mit der Variablen $p$ bezeichnet man eine beliebige vorgegebene oder auszurechnende Prozentzahl.
    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Anteil ist das Produkt aus dem Prozentsatz und dem Ganzen.“ Denn der Prozentsatz ist das Verhältnis vom Anteil zum Ganzen. Löst du die Gleichung nach dem Anteil auf, so erhältst du den Anteil als Produkt von Prozentsatz und Ganzem.
    • „Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Anteils zum Ganzen.“ Dies ist die Definition des Prozentsatzes. Du kannst das Verhältnis als Dezimalbruch aufschreiben. Eine Darstellung in der Form $p\%$ findest du, indem du den Dezimalbruch mit $100$ multiplizierst und ein Prozentzeichen anfügst. Die resultierende Zahl ist die Prozentzahl $p$.
    • „Die Prozentzahl $p$ ist der Anteil von $100$ zu dem Prozentsatz $p\%$.“ Der Prozentsatz $p\%$ steht für den Bruch $\frac{p}{100}$. Dieser ist ein Maß für den Anteil $p$ von dem Ganzen $100$.
    • „$35\%$ entsprechen $\frac{35}{100}$.“ Denn $p\%$ bedeutet nichts anderes als $p$ Hundertstel, also $\frac{p}{100}$ oder $p \cdot \frac{1}{100}$.
  • Analysiere die Rechnung.

    Tipps

    Ist der Prozentsatz kleiner als $100\%$, so ist der zugehörige Anteil kleiner als das Ganze.

    Lösung

    Leelee hat links die benötigte Summe $3,465$ € und darüber den zugehörigen Prozentsatz $77\%$ notiert. Daneben hat sie die Daten in ein Diagramm eingezeichnet und dann das Spendenziel, also das Ganze, ausgerechnet. Bei der Beschriftung des Diagramms hat Leelee die Positionen der Begriffe „Anteil“ und „Ganzes“ verwechselt: $100\%$ steht immer für das Ganze, die Begriffe „$100\%$“ und „Ganzes“ stehen daher an den einander entsprechenden Stellen des Streifendiagramms. Die Formel, die Leelee zur Berechnung des Ganzen verwenden will, ist falsch. Die korrekte Formel lautet:

    Anteil $=$ Prozentsatz $\cdot$ Ganzes

    In der Rechnung hat Leelee auf der linken Seite der ersten Zeile den Bruch $\frac{77}{100}$ eingetragen. Korrekt wäre der Bruch $\frac{77}{100}$ auf der rechten Seite der Gleichung oder der Bruch $\frac{100}{77}$ auf der linken Seite. Auch in der zweiten Zeile der Rechnung ist der Bruch $\frac{77}{100}$ auf der linken Seite falsch. Die Terme auf der rechten Seite sind alle korrekt.

    Außerdem kann das Ergebnis $x=2.668,05$ nicht stimmen, denn die am Anfang angesetzten $3.465$ € können nicht $77\%$ von $2.668,05$ € sein. Ein Anteil von $77\%$ ist in jedem Fall kleiner als das unbekannte Ganze $x$.

    Die korrekte Rechnung sieht so aus:

    \begin{align} 3.465 &= \frac{77}{100} \cdot x \\ \frac{100}{77} \cdot 3.465 &= \frac{100}{77} \cdot \frac{77}{100} \cdot x \\ 4.500 = x \end{align}