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Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln 04:41 min

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Transkript Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Die Brüder Linus, Leon und Louis sind in einer Band namens die Fantastischen Drei. Sie nehmen am jährlichen Bandcontest der Stadt teil - und siehe da! Die Fanta3 schlagen den Favoriten und gewinnen den Wettbewerb! Neben viel Applaus erhalten die Brüder eine Prämie von 100 Euro. Das Geld wollen sie untereinander aufteilen. Dafür werden sie Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umformen. Die Drei besuchen ihren schwerreichen Onkel und tauschen den 100-Euro-Schein gegen zehn 10-Euro-Scheine. Nachdem die Geldscheine gerecht aufgeteilt wurden, bleibt ein 10-Euro-Schein übrig. Sie bitten ihren Onkel nun, den 10-Euro-Schein gegen zehn 1-Euro-Münzen einzutauschen. Nachdem jeder der Jungs 3 Euro bekommen hat, bleibt eine 1-Euro-Münze übrig. Und so geht es weiter sie tauschen den Euro gegen Zehncentstücke und diese gegen Eincentstücke bis sie den Betrag soweit aufgeteilt haben, dass nur noch ein letzter Cent übrig bleibt. Was, wenn sie nun auch den letzten Cent gerecht aufteilen wollen? Wir können 1 Cent in drei gleich große Anteile teilen und mit dem Bruch "ein Drittel" ausdrücken. Aber wie viel ist das genau? Der Bruchstrich steht für die Division. Das heißt: Ein Drittel ist dasselbe wie eins geteilt durch 3. Und wie berechnest du das? Du nutzt die schriftliche Division. Also los! Die 3 passt nicht in die 1. Weil die 1 keine zweite Stelle hat, schreiben wir die 0 in das Ergebnis und multiplizieren zurück: 0 mal 3 ist 0. Diese 0 ziehen wir von der 1 ab, dabei kommt 1 heraus. Nun gibt es keine weitere Stelle zum Runterholen, also schreiben wir ein Komma ins Ergebnis und schreiben eine 0 hinter die 1. In 10 geht 3 dreimal, also schreiben wir eine 3 hinter das Komma. Zurückmultiplizieren: 3 mal 3 ist 9. DAS von 10 abgezogen ergibt wieder 1. Wir holen wieder eine 0 und weil 3 dreimal in die 10 geht, schreiben wir wieder eine 3 ins Ergebnis. Fällt dir etwas auf? Es bleibt immer der gleiche Rest übrig und die Rechnung ist niemals abgeschlossen, egal, wie lange du dividierst. Du erhältst: null Komma drei, drei, drei, drei, drei, drei und so weiter. Dies nennt man einen periodischen Dezimalbruch; mit dem Periodenstrich zeigst du an, welche Nachkommastellen sich immer wiederholen. Du kannst also die Division nutzen, um herauszufinden, ob ein Bruch ein periodischer Dezimalbruch ist. Wie aber wandelst du einen periodischen Dezimalbruch in einen Bruch um? Um diese periodischen Dezimalbrüche in Brüche umzuwandeln, zählst du zuerst die Stellen der Periode, also wie viele Stellen unter dem Periodenstrich stehen. Hier sind es eine, zwei und drei Dezimalstellen, die sich jeweils wiederholen. Als nächstes schreibst du die Periode in den Zähler. In den Nenner schreibst du so viele 9en wie die Periode Stellen hat. Also eine 9 hier zwei 9en hier und drei 9en hier. Jetzt musst du nur noch kürzen! Zwei Neuntel kann nicht weiter gekürzt werden. Hier musst du also nichts ändern. Der größte gemeinsame Teiler von 36 und 99 ist 9. Also teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch 9. Übrig bleiben vierelftel. Der größte gemeinsame Teiler von 459 und 999 ist 27. Also teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch 27. Übrig bleiben 17 siebenunddreißigstel. Mal sehen, ob die Brüder einen Weg gefunden haben, den letzten Cent gerecht zu teilen. Oh oh, sieht so aus, als würde Onkel Huge ihn behalten! Naja, Kleinvieh macht schließlich auch Mist!

2 Kommentare
  1. Nice

    Von Claudiaarcuri, vor 4 Tagen
  2. Sehr Lustiger Anfang!!!!!!!!Motiviert dich !!!!!!Auch das Video sehr cool

    Von Anja Rees, vor 22 Tagen

Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die schriftliche Division des Bruchs $\frac 13$.

    Tipps

    Den Rest in der schriftlichen Division erhält man, indem man die tatsächlich geteilte Zahl von der ursprünglich zu teilenden Zahl abzieht.

    Wollen wir zum Beispiel $10$ durch $3$ teilen, so ergibt das keine natürliche Zahl. Daher wählen wir für die Divison mit Rest die nächstkleinere natürliche Zahl, die durch $3$ teilbar ist, also $9$. Daher ergibt sich als Rest $10-9=1$.

    Wenn wir $1$ um eine Zehnerpotenz erhöhen, erhalten wir $10$.

    Lösung

    Um $\frac 1 3$ als Dezimalzahl auszudrücken, fassen wir den Bruch zunächst als Division natürlicher Zahlen auf. Dafür schreiben wir:

    $1:3$

    Nun können wir schriftlich dividieren. Die gesamte schriftliche Division ist hier abgebildet. Da $1$ kleiner als $3$ ist, also nicht teilbar durch $3$ ist, lautet der Einer des Ergebnisses $0$. Das Ergebnis hat also die Form $0,\dots$.

    Wir erhalten als Rest in der schriftlichen Division $1$. Um die erste Nachkommastelle zu berechnen, erhöhen wir den Rest $1$ um eine Zehnerpotenz und erhalten $10$. Nun müssen wir $10$ durch $3$ teilen.

    Da sich $10$ nicht durch $3$ teilen lässt, bestimmen wir die nächstkleinere natürliche Zahl, die $3$ als Teiler hat, nämlich $9$. Teilen wir $9$ durch $3$, ergibt dies $3$ mit Rest $1$, da $10-9=1$ ist. Bis hierhin ergibt sich also:

    $1:3=0,3...$

    Da der Rest nun wieder $1$ ist, können wir, wie auf dem Bild ersichtlich ist, die zuvor genannten Schritte wiederholen und stellen fest, dass das Ergebnis eine unendliche Kommazahl der Form $0,3333...$ ist. Dafür schreiben wir $\frac 1 3=0, \overline 3$. Es handelt sich bei $\frac 13$ also um einen periodischen Dezimalbruch.

  • Beschreibe, wie du eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst.

    Tipps

    Beim Umrechnen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch stellst du zunächst den Zähler und dann den Nenner auf.

    Man kann erst dann kürzen, wenn der Bruch vollständig aufgestellt ist.

    Lösung

    Möchtest du eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, so gehst du wie folgt vor:

    1. Du hast eine periodische Dezimalzahl gegeben.
    2. Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir zunächst die Periode bestimmen. Das ist die Zahl unter dem Strich hinter dem Komma der Dezimalzahl. Bei der Dezimalzahl $0,\overline{36}$, ist dies zum Beispiel $36$.
    3. Diese Zahl schreibst du dann in den Zähler eines Bruchs.
    4. In den Nenner des Bruchs schreibst du so viele Neunen, wie die Periode, oder zu diesem Zeitpunkt der Zähler, Stellen hat. Im Fall von $36$ sind das zwei Stellen, wir schreiben also $99$ in den Nenner.
    5. Nun hast du einen Bruch gegeben, den du nur noch vollständig kürzen musst. Dafür bestimmst du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Im Fall von $\frac{36}{99}$ ist der größte gemeinsame Teiler von $36$ und $99$ gerade $9$, sodass sich vollständig gekürzt der Bruch $\frac{4}{11}$ ergibt.

  • Gib die Brüche zu den gegebenen periodischen Dezimalzahlen an.

    Tipps

    Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst die Periode in den Zähler des Bruchs. In den Nenner schreiben wir als Nächstes so viele Neunen, wie die Anzahl der Stellen der Periode beträgt.

    Hat man die periodische Kommazahl in einen Bruch umgewandelt, kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $0,\overline{123}=\frac {123}{999}=\frac {41}{333}$.

    Lösung

    Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

    • Schreibe die Periode in den Zähler.
    • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode, also der Zähler, Stellen hat.
    • Kürze den Bruch vollständig.
    Beispiel 1

    Wir wenden dieses Schema nun auf $0,\overline 2$ an. Die Periode besteht nur aus einer Stelle, der $2$. Daher schreiben wir $2$ in den Zähler und eine $9$ in den Nenner unseres Bruchs. Es ergibt sich also folgender Bruch:

    • $0,\overline{2}=\frac 2 9$
    Da $2$ und $9$ teilerfremd sind, können wir den Bruch nicht weiter kürzen.

    Beispiel 2

    Wenn wir das Schema auf die Dezimalzahl $0,\overline{36}$ anwenden, schreiben wir zunächst $36$ in den Zähler unseres Bruchs. Da $36$ zwei Stellen hat, schreiben wir zwei Neunen, also $99$, in den Nenner und erhalten:

    • $0,\overline{36}=\frac{36}{99}$
    Der größte gemeinsame Teiler von $36$ und $99$ ist $9$. Daher kann der Bruch durch $9$ gekürzt werden. Wir erhalten:
    • $\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$.
    Beispiel 3

    Nun betrachten wir die Dezimalzahl $0,\overline{459}$. Wir schreiben zunächst $459$ in den Zähler unseres Bruchs. Da $459$ drei Stellen hat, schreiben wir drei Neunen, also $999$, in den Nenner und erhalten:

    • $0,\overline{459}=\frac{459}{999}$
    Der größte gemeinsame Teiler von $459$ und $999$ ist $27$, daher kann der Bruch durch $27$ gekürzt werden. Wir erhalten:
    • $\frac{459}{999}=\frac{17}{37}$.
    Wenn man den größten gemeinsamen Teiler nicht auf Anhieb feststellt, kann man alternativ auch drei Mal in Folge durch $3$ kürzen, in dem Fall ergibt sich folgende Rechnung:
    • $\frac{459}{999}=\frac{153}{333}=\frac{51}{111}=\frac{17}{37}$.

  • Prüfe die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{45}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

    Um zwei Brüche zu addieren, musst du diese zunächst gleichnamig machen, d.h., beide Summanden müssen auf denselben Nenner gebracht werden.

    Um zwei periodische Dezimalzahlen zu addieren, kannst du sie zuerst in Brüche umwandeln und danach erst miteinander addieren.

    Lösung

    Um die Gleichheit der Gleichungen zu verifizieren, müssen wir zunächst periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Dabei kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

    • Schreibe die Periode in den Zähler.
    • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
    • Kürze den Bruch vollständig.
    Zudem müssen in einigen Fällen Brüche der rechten Seite der Gleichung addiert werden. Dafür machen wir diese zunächst gleichnamig, d.h., wir bringen sie auf denselben Nenner.

    $\bullet$ Diese Gleichungen sind richtig:

    • $0,\overline{51}=\frac{17}{33}$
    Begründung:

    Das obige Schema wenden wir nun auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{51}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $51$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

    $0,\overline{51}=\frac{51}{99}$

    Die Zahlen $51$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$. Kürzen wir den Bruch durch $3$, so ergibt sich:

    $\frac{51}{99}=\frac{17}{33}$

    Die erste Gleichung ist also richtig.

    • $0,\overline{30}=\frac{1}{11}+\frac{7}{33}$
    Begründung:

    Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{30}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $30$. Daher erhalten wir:

    $0,\overline{30}=\frac{30}{99}$

    Die Zahlen $30$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$. Kürzen wir den Bruch durch $3$, so ergibt sich:

    $\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$

    Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Summe der beiden Brüche $\frac{1}{11}$ und $\frac{7}{33}$. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist $33$, daher bringen wir den ersten Bruch auf den Nenner $33$. Es folgt:

    $\frac{1}{11}+\frac{7}{33}=\frac{3}{33}+\frac{7}{33}=\frac{10}{33}$

    Demnach ist die Gleichung also richtig.

    $\bullet$ Diese Gleichungen sind falsch

    • $0,\overline{27} = \frac{4}{11}$
    Begründung:

    Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{27}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $27$. Daher erhalten wir den Bruch:

    $0,\overline{27}=\frac{27}{99}$

    Die Zahlen $27$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$. Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich:

    $\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \neq \frac{4}{11} $

    Die Gleichung ist also falsch.

    • $0,\overline{252}=\frac{18}{111} $
    Begründung:

    Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{252}$ an. Die Periode besteht hier aus drei Stellen, nämlich $252$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

    $0,\overline{252}=\frac{252}{999}$

    Die Zahlen $252$ und $999$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$. Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich

    $\frac{252}{999}=\frac{28}{111} \neq \frac{18}{111}$

    Die Gleichung ist also falsch.

    • $0,\overline{3} + 0,\overline{23} = \frac{19}{33}$
    Begründung

    Zunächst müssen die periodischen Dezimalzahlen in Brüche umgewandelt werden.

    $0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ und $0,\overline{23} = \frac{23}{99}$

    Anschließend müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden:

    $\frac{3}{9} = \frac{3 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{33}{99}$

    Nun können die Brüche addiert werden und mit dem Ergebnis verglichen werden:

    $\frac{33}{99} + \frac{23}{99} = \frac{56}{99} \neq \frac{19}{33}$

    Da $56$ und $99$ keinen gemeinsamen Teilen haben, kann der Bruch nicht mehr gekürzt werden. Somit ist diese Gleichung falsch.

  • Ermittle die periodischen Dezimalzahlen der gegebenen Brüche.

    Tipps

    Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{36}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{36}=\frac{36}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$.

    Es ist wichtig, dass man in den Nenner des Bruchs so viele Neunen schreibt, wie die Periode Stellen hat. Beim Bruch $0,\overline{009}$ sind dies drei Stellen.

    Lösung

    Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

    • Schreibe die Periode in den Zähler.
    • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
    • Kürze den Bruch vollständig.
    Das obige Schema wenden wir nun auf die gegebenen periodischen Dezimalzahlen an.

    Beispiel 1: $~0,\overline{6}$

    Die Periode besteht hier aus einer Stelle, nämlich der $6$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

    • $0,\overline{6}=\frac{6}{9}$.
    Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $9$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir:
    • $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
    Beispiel 2: $~0,\overline{27}$

    Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $27$. Daher erhalten wir zunächst folgenden Bruch:

    • $0,\overline{27}=\frac{27}{99}$.
    Der größte gemeinsame Teiler von $27$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:
    • $\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.
    Beispiel 3: $~0,\overline{45}$

    Die Periode ist hier gegeben durch $45$. Daher erhalten wir den Bruch:

    • $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$.
    Der größte gemeinsame Teiler von $45$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:
    • $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.
    Beispiel 4: $~0,\overline{009}$

    Mit der Periode $009$ erhalten wir folgenden Bruch:

    • $0,\overline{009}=\frac{9}{999}$.
    Der größte gemeinsame Teiler von $9$ und $999$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:
    • $\frac{9}{999}=\frac{1}{111}$.

  • Bestimme die gesuchten Brüche zu den periodischen Dezimalzahlen.

    Tipps

    Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{45}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

    Es ist wichtig, dass man in den Nenner des Bruchs so viele Neunen schreibt, wie die Periode Stellen hat. Beim Bruch $0,\overline{126}$ sind dies drei Stellen.

    Lösung

    Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

    • Schreibe die Periode in den Zähler.
    • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
    • Kürze den Bruch vollständig.
    Beispiel1: $~0,\overline{5}$

    Die Periode besteht hier aus einer Stelle, der $5$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{5}{9}$. Die Zahlen $5$ und $9$ sind teilerfremd. Daher lässt sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen.

    Beispiel 2: $~0,\overline{30}$

    Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $30$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{30}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $30$ und $99$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir $\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$.

    Beispiel 3: $~0,\overline{81}$

    Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $81$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{81}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $81$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir $\frac{81}{99}=\frac{9}{11}$.

    Beispiel 4: $~0,\overline{126}$

    Die Periode besteht hier aus drei Stellen, nämlich $126$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{126}{999}$. Der größte gemeinsame Teiler von $126$ und $999$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir $\frac{126}{999}=\frac{14}{111}$.

    Beispiel 5: $~0,\overline{69}$

    Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $69$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{69}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $69$ und $99$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir $\frac{69}{99}=\frac{23}{33}$.