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Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

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Team Digital
Brüche in Dezimalbrüche umwandeln
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Brüche in Dezimalbrüche (Dezimalzahlen, Kommazahlen) umzuwandeln.

Zunächst lernst du, wie du Brüche mit Zehnerpotenz im Nenner ganz einfach in Dezimalbrüche umwandeln kannst. Anschließend lernst du, wie du Brüche ohne Zehnerpotenz im Nenner so erweitern oder kürzen kannst, dass du eine Zehnerpotenz im Nenner erhältst. Abschließend lernst du, wie du Brüche mit Hilfe der schriftlichen Division in Dezimalbrüche umwandeln kannst.

Brüche in Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) umwandeln

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Dezimalbruch, Dezimalzahl, Bruch, Zähler, Nenner, Zehnerpotenz und schriftliche Division.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Brüche erweitern und kürzen kannst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen wie du Brüche in periodische Dezimalzahlen umwandeln kannst.

Transkript Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Der ewige Zoff muss endlich ein Ende haben. Fraktuil ist als Gesandter ins Dezimalgebirge gereist, um den Zwergen ein Friedensangebot zu unterbreiten. Doch diese können mit seiner Offerte wenig anfangen. Er will ihnen sieben Zehntel Kilogramm Elfenholz überreichen? Und drei Achtel Kilogramm Gold? Diese Mengenangaben sind für die Bewohner des Dezimalgebirges völlig unverständlich. Vielleicht können WIR ihnen helfen, indem wir „Brüche in Dezimalbrüche umwandeln“. Um die Verständigungsprobleme zu beseitigen, müssen wir also Brüche in Dezimalbrüche, sprich in Kommazahlen, umwandeln. Das ist am einfachsten, wenn eine Zehnerpotenz im Nenner steht. Zehnerpotenzen sind die Zahlen zehn, einhundert, eintausend und so weiter. Haben wir einen Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner gegeben, wie zum Beispiel vier Zehntel, können wir uns eine einfache Regel für die Umwandlung in einen Dezimalbruch merken: Die Anzahl an Nullen der Zehnerpotenz gibt an, wie viele Nachkommastellen der entsprechende Dezimalbruch hat. Unsere Zehnerpotenz hat eine Null. Der entsprechende Dezimalbruch hat also eine Nachkommastelle. Jetzt müssen wir den Zähler nur noch an die entsprechende Stelle setzen. Vier Zehntel sind also gleich 0,4. Steht bei einem Bruch eintausend im Nenner, entspricht das drei Nachkommastellen. Den Zähler des Bruches müssen wir jetzt nur noch übernehmen. Genauso funktioniert es auch, wenn wir einen unechten Bruch in eine Kommazahl umwandeln möchten, wie diesen hier. Da es diesmal zwei Nullen sind, wird der Dezimalbruch auch zwei Nachkommastellen haben. Wir übernehmen den Zähler und tragen ihn entsprechend ein. Der Dezimalbruch ist somit 3,17. Alles klar, aber noch läuft die Verständigung zwischen Elf und Zwergen nicht ganz rund. Schließlich haben längst nicht alle Brüche eine Zehnerpotenz im Nenner. Bei solchen Brüchen kann uns allerdings oft das Kürzen oder Erweitern helfen. Denn dadurch können wir viele Brüche so umformen, dass anschließend eine Zehnerpotenz im Nenner steht. Zum Beispiel diesen hier. Der Bruch neun dreißigstel hat zunächst keine Zehnerpotenz im Nenner. Aber wir können den Bruch mit drei kürzen, und drei Zehntel anschließend ganz einfach in 0,3 umwandeln. Und wie sieht es mit sieben zwanzigstel aus? Was meinst du? Genau, wir können den Bruch mit fünf erweitern und so auf Hundertstel bringen. So kommen wir auf den Dezimalbruch 0,35. Doch nicht alle Dezimalbrüche lassen sich so leicht auf eine Zehnerpotenz bringen. Dieser Bruch hier ist schon etwas sperriger. Damit die Umwandlung trotzdem reibungslos ablaufen kann, gibt es eine Methode, die immer funktioniert. Wir müssen einfach den Zähler durch den Nenner teilen. Und zwar so wie du es bereits kennst, mit Hilfe der schriftlichen Division. Also gut, dann legen wir mal los: Die sechs passt sechs Mal in die neununddreißig, übrig bleibt drei. Da die sechs größer als die drei ist, müssen wir eine Null hinzufügen und ein Komma an unser Ergebnis notieren. Dann teilen wir dreißig durch sechs und haben unser Ergebnis: Sechs Komma fünf. Mit schriftlicher Division funktioniert es also auch. Da sollten eigentlich keine Missverständnisse mehr aufkommen! Damit Zwergen und Elfen in Zukunft noch schneller auf einen gemeinsamen Nenner kommen können, haben sie hier noch einmal ein paar der wichtigsten Brüche als Dezimalbrüche angegeben. Diese sollten wir immer im Hinterkopf haben, wenn es um das Umwandeln von Brüchen in Kommazahlen geht. Zeit für eine Zusammenfassung! Wir können Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner ganz einfach in Dezimalbrüche umwandeln. Dafür müssen wir nur den Zähler übernehmen, und anschließend das Komma so setzen, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl an Nullen der Zehnerpotenz entspricht. Haben wir keine Zehnerpotenz im Nenner, können wir überlegen, ob wir durch Kürzen oder Erweitern den Nenner in eine Zehnerpotenz umwandeln können. Oder wir wählen den Weg, der immer klappt, und dividieren den Zähler schriftlich durch den Nenner. Jetzt wissen die Zwerge auch wie viel Fraktuil ihnen da anbietet. Und nehmen das Friedensangebot an. Vielleicht können sie in Zukunft ja wirklich. Aber, das ist ja nur ein Bruchteil der versprochenen Mengen! Typisch! Diesen Elfen kann man einfach nicht trauen!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. echt gut! :D

    Von Anja UwU, vor 2 Monaten
  2. Super Video! Lg

    Von Charlotte ♥️, vor 3 Monaten
  3. Ja einfach 3 mal was ist 100. Und dann das mal 1Ergebnis mal 1 und dann ja wie sonst halt glaub ich Noemi

    Von Amelie, vor 5 Monaten
  4. Wie mache ich das jetzt mit einem Drittel?

    Von Noemi, vor 5 Monaten

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche in Dezimalbrüche umwandeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du Brüche in Dezimalbrüche umwandeln kannst.

    Tipps

    Die erste Stelle nach dem Komma heißt Zehntel, die zweite Stelle Hundertstel, usw.

    Zehnerpotenzen:

    $10$, $100$, $1\,000$, ...

    Beispiel:

    $\dfrac{1023}{1\,\mathbf{000}} = 1,\mathbf{023}$

    Lösung

    An der Stellenwerttafel bezeichnen wir die Stelle nach dem Komma mit Zehntel. Der Bruch $\frac{3}{10}$ ist daher als Dezimalzahl $0,3$, sprich drei Zehntel. Die nachfolgenden Stellen sind die Hundertstel, Tausendstel, usw. Für Brüche, bei denen der Nenner eine Zehnerpotenz wie $10$, $100$ oder $1\,000$ ist, gestaltet sich die Umwandlung in Dezimalbrüche daher besonders einfach.

    • Wir können die Zahl im Zähler übernehmen.
    • Das Komma setzen wir dann so, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.
    Beispiel:

    $\frac{317}{100} = 3,17$

    Der Dezimalbruch hat zwei Stellen nach dem Komma, da die $100$ im Nenner des Bruchs zwei Nullen hat.

  • Stelle die Brüche als Dezimalbrüche dar.

    Tipps

    Bei Brüchen mit einer Zehnerpotenz im Nenner entspricht die Anzahl der Nachkomastellen der Anzahl der Nullen im Nenner.

    Versuche durch Erweitern oder Kürzen den Nenner auf eine Zehnerpotenz zu bringen.

    Beispiel:

    $\frac{9}{15} = \frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

    Lösung

    Steht bei einem Bruch im Nenner eine Zehnerpotenz, dann können wir ihn direkt als Dezimalbruch schreiben.
    Dazu übernehmen wir die Zahl im Zähler und fügen das Komma so ein, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.
    Damit erhalten wir hier:

    • $\frac{4}{10} = 0,4$
    • $\frac{17}{100} = 0,17$
    • $\frac{123}{1\,000} = 0,123$
    Bei den anderen Brüchen müssen wir zunächst durch Kürzen oder Erweitern den Nenner auf eine Zehnerpotenz bringen:

    • $\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35$
    • $\frac{9}{30} = \frac{9 : 3}{30 : 3} = \frac{3}{10} = 0,3$
  • Stelle $\frac{23}{8}$ mit Hilfe der schriftlichen Division als Dezimalbruch dar.

    Tipps

    Wenn du mit den Vorkommastellen des Dividenden fertig bist, kannst du weiterrechnen, indem du Nullen von hinter dem Komma nach unten ziehst. An dieser Stelle steht im Ergebnis das Komma.

    Beispiel:

    Da $4$ keinmal in die $2$ passt, beginnt das Ergebnis mit $0$, nun denken wir uns hinter dem Komma bei der $2$ eine $0$, also $2 = 2,0$ und setzen beim Ergebnis ein Komma hinter die $0$. Es folgt das Ergebnis von $20 : 4 = 5$, das Ergebnis ist damit $0,5$.

    Lösung

    Wir können jeden Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Dazu nutzen wir die schriftliche Division.

    In die $23$ passt $8$ zweimal. Wir schreiben eine $2$ ins Ergebnis und subtrahieren $2 \cdot 8 = 16$.
    Es verbleiben $7$. Nun müssen wir beim Ergebnis das Komma setzen, da die Vorkommastellen von $23$ verbraucht sind. Wir ergänzen eine $0$ hinter der $7$ und überlegen, wie oft die $8$ in $70$ passt: $8$-mal.
    Wir schreiben eine $8$ ins Ergebnis und subtrahieren $8 \cdot 8 = 64$.
    Es verbleiben $6$ und wir ergänzen erneut eine $0$. In $60$ passt $8$ jetzt $7$-mal.
    Wir schreiben die $7$ ins Ergebnis und subtrahieren $7 \cdot 8 = 56$.
    Es verbleiben $4$ und wir ergänzen wiederum eine $0$. In $40$ passt $8$ exakt $5$-mal.
    Wir schreiben die $5$ ins Ergebnis und subtrahieren $5 \cdot 8 = 40$.
    Es verbleiben $0$, damit ist die schriftliche Division abgeschlossen. Das Ergebnis lautet $2,875$.

  • Entscheide, welche Brüche dieselbe Darstellung als Dezimalbruch haben.

    Tipps

    Brüche, die sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umformen lassen, haben dieselbe Darstellung als Dezimalbruch.

    Beispiel:

    $\dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{100} = \dfrac{15}{50} = \dfrac{21}{70} = ...$

    Alle diese Brüche werden als Dezimalbruch mit $0,3$ dargestellt.

    Lösung

    Da sich der Wert eines Bruches durch Kürzen oder Erweitern nicht verändert, können wir eine Zahl als Bruch auf viele verschiedene Arten schreiben. Das bedeutet, die Darstellung einer Zahl als Bruch ist nicht eindeutig. Als Dezimalbruch gibt es dagegen immer nur eine korrekte Schreibweise für eine Zahl, diese repräsentiert alle Brüche mit demselben Wert.

    Wir betrachten die gegebenen Brüche und versuchen sie durch Kürzen und Erweitern ineinander umzuwandeln:

    $0,2$:

    $\mathbf{\frac{2}{10}} = \frac{2 : 2}{10 : 2} = \mathbf{\frac{1}{5}} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \mathbf{\frac{8}{40}}$

    $1,5$:

    $\mathbf{\frac{15}{10}} = \frac{15 : 5}{10 : 5} = \mathbf{\frac{3}{2}} = \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \mathbf{\frac{30}{20}}$

    $0,75$:

    $\mathbf{\frac{75}{100}} = \frac{75 : 25}{100 : 25} = \mathbf{\frac{3}{4}} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \mathbf{\frac{9}{12}}$

    $1,375$:

    $\mathbf{\frac{1375}{1000}} = \frac{1375 : 125}{1000 : 125} = \mathbf{\frac{11}{8}} = \frac{11 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \mathbf{\frac{121}{88}}$

  • Vervollständige die Tabelle mit den Werten wichtiger Brüche als Dezimalbruch.

    Tipps

    Bei Flaschen, die einen halben Liter enthalten, findest du häufig die Aufschrift $0,5~\ell$.

    Du kannst die Brüche in Dezimalbrüche umwandeln, indem du sie auf eine Zehnerpotenz im Nenner erweiterst.

    Lösung

    Damit das Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche noch etwas schneller geht, ist es nützlich, sich die Schreibweise für ein paar wichtige Brüche zu merken. Manche Werte kennst du sicher auch schon aus dem Alltag. Zum Beispiel steht auf Flaschen mit einem halben Liter als Mengenangabe meistens $0,5~\ell$.
    Wir können die Brüche auch wie gewohnt umwandeln, indem wir im Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern. Dann übernehmen wir die Zahl im Zähler und setzen das Komma so, dass der Dezimalbruch dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat, wie Nullen im Nenner des Bruchs stehen:

    • $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5$
    • $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$
    • $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$
    • $\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$
    • $\frac{1}{10} = 0,1$
  • Ermittle die Mengenangaben als Dezimalbruch.

    Tipps

    Ist der Nenner eines Bruchs eine Zehnerpotenz, dann können wir den Zähler direkt übernehmen. Die Anzahl der Nullen im Nenner gibt die Anzahl der Nachkommastellen an.

    Andernfalls können wir den Nenner durch Kürzen oder Erweitern auf eine Zehnerpotenz bringen oder den Zähler schriftlich durch den Nenner dividieren.

    Beispiel:

    $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0,6$

    Lösung

    Wir kennen verschiedene Möglichkeiten, um Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln:

    • Wir können den Zähler schriftlich durch den Nenner dividieren.
    • Ist der Nenner eine Zehnerpotenz, dann können wir den Nenner übernehmen und das Komma so setzen, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.
    • Wir können den Nenner eines Bruchs durch Kürzen oder Erweitern auf eine Zehnerpotenz bringen und dann entsprechend in einen Dezimalbruch umwandeln.
    Damit erhalten wir:

    Metalle:

    Gold: $\dfrac{5}{4}~\text{kg} = \dfrac{125}{100}~\text{kg} = \mathbf{1,25}~\text{kg}$

    Silber: $\dfrac{9}{2}~\text{kg} = \dfrac{45}{10}~\text{kg} = \mathbf{4,5}~\text{kg}$

    Orichalcum: $\dfrac{2}{5}~\text{kg} = \dfrac{4}{10}~\text{kg} = \mathbf{0,4}~\text{kg}$

    Edelsteine:

    Mondstein: $\dfrac{550}{100}~\text{g} = 5,50 ~\text{g}= \mathbf{5,5}~\text{g}$

    Rubine: $\dfrac{183}{6}~\text{g} = \dfrac{61}{2}~\text{g} = \dfrac{305}{10}~\text{g} = \mathbf{30,5}~\text{g}$

    Smaragde: $\dfrac{56}{280}~\text{g} = \dfrac{8}{40}~\text{g} = \dfrac{2}{10}~\text{g} = \mathbf{0,2}~\text{g}$

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