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Periodische und abbrechende Dezimalbrüche 08:09 min

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Transkript Periodische und abbrechende Dezimalbrüche

Hallo, hier ist Mandy. Jana und Jenny machen einen Wettbewerb, wer von ihnen schneller schriftlich eine Rechenaufgabe lösen kann. Der Verlierer soll dem Gewinner ein Eis spendieren. Die Aufgabe, die sie rechnen wollen, lautet neun geteilt durch elf. Sie geben das Startsignal und rechnen sofort los. Nach einer ganzen Weile haben sie immer noch keine vollständige Lösung. Wie kann das sein? Schauen wir uns dazu ihre Rechnungen genauer an. Beide sind sogar gleich weit gekommen und haben bis dahin auch alles gleich gerechnet. Aber warum findet die Rechnung kein Ende? Warum bleibt immer wieder ein Rest übrig? Wenn wir genau hinsehen, erkennen wir eine Besonderheit. In dem Ergebnis wiederholt sich die Ziffernfolge acht eins. Sie rechnen mit ihrem Taschenrechner die Aufgabe nach und beobachten das gleiche. Was ist das nur für eine Zahl? Solche Zahlen nennt man „periodische Dezimalbrüche“, neben ihnen gibt es noch die “abbrechenden” beziehungsweise “endlichen Dezimalbrüche”, welche du schon kennst. Das Wort „periodisch“ leitet sich übrigens aus dem Griechischen ab. So heißt „periodos“ übersetzt auch „Wiederholung“. Um deutlich zu machen, dass bei einer Zahl unendlich oft die gleiche Ziffer oder Ziffernfolge hintereinander kommt, kann man einen Strich über die sich wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge setzen. Für unser Beispiel, 9/11=0,81818 und so weiter, schreibt man dann null Komma Periode acht eins. Einen weiteren besonderen Bruch, der einen periodischen Dezimalbruch ergibt, kennst du bereits. Es ist der Bruch 1/3. Schreibt man ihn als Dezimalbruch, dann wiederholt sich die Drei unendlich oft. Man liest die Zahl null-Komma-Periode-drei. Manchmal gibt es zwischen dem Komma und dem periodischen Teil Dezimalstellen, die sich nicht wiederholen. So zum Beispiel bei 5/24=0,208 Periode 3 und 129/110=1,1 Periode 72. Wenn man diese Zahlen ohne den Periodenstrich schreibt, erhält man nämlich 0,208333 und so weiter, beziehungsweise 1,17272 und so weiter. Man liest eins-Komma-eins-Periode-sieben-zwei. Wir unterscheiden also einerseits Brüche, bei denen die Periode unmittelbar nach dem Komma beginnt, sie heißen „rein-periodisch“ und andererseits Brüche, bei denen es zwischen dem Komma und der Periode eine oder mehrere Dezimalstellen gibt, diese nennt man „gemischt-periodisch“. Wenn man mit periodischen Dezimalbrüchen rechnen will, zum Beispiel 0,Periode3+1,1Periode72, so rundet man auf eine Nachkommastelle, zum Beispiel auf die dritte Nachkommastelle und addiert die gerundeten Zahlen. In unserem Beispiel also 0,333+1,173, wir erhalten rund 1,506. Wenn man jedoch mit exakten Werten rechnen möchte, ist es sinnvoller mit den jeweiligen Brüchen zu rechnen. So ist 1/3 + 129/110 = 1 167/330. Besser bekannt als die periodischen Brüche sind die bestimmt endliche beziehungsweise abbrechende Dezimalbrüche. Ein solcher Dezimalbruch entsteht zum Beispiel, wenn man 25 durch acht teilt. Dann erhält man nach dem vierten Schritt den Rest null. Die Rechnung ist damit beendet und wir erhalten das Ergebnis 3,125. Fassen wir das noch einmal zusammen: Wenn man Brüche in Dezimalbrüche umwandelt, dann erhält man entweder abbrechende, beziehungsweise endliche Dezimalbrüche oder unendliche, periodische Dezimalbrüche. Man teilt letztere in rein-periodische und gemischt-periodische Dezimalbrüche ein. Rechnen wir nun gemeinsam ein paar Beispiele, die Aufgabe lautet: Wandle in einen Dezimalbruch um. Wir starten mit der Aufgabe 13/9. Das kann man auch schreiben als 13 geteilt durch neun. Wir rechnen 13/9 ist 1, Rest 4. Wir setzen ein Komma hinter die 1 und holen eine 0 zur 4 dazu. Wir rechnen also 40 geteilt durch 9, das ist 4, Rest 4. Wieder ergänzen wir eine 0, 40 geteilt durch 9 ist 4, Rest 4. Der nächste Schritt ist genauso. Nun können wir uns ziemlich sicher sein, dass es immer so weitergehen wird und wir hier einen reinen-periodischen Dezimalbruch erhalten haben. Da sich die Vier wiederholt, setzen wir den Periodenstrich über die Vier, und lesen als Lösung 1, Periode 4 ab. Nun wandeln wir 25/4 um. Wir rechnen 25/4. Das ist 6, Rest 1. Wir setzen ein Komma hinter die 6 und ergänzen eine Null hinter der 1. 10 geteilt durch 4 ist 2, Rest 2. Wir ergänzen eine 0 und rechnen 20/4, das ist 5, Rest 0. Die Rechnung ist beendet und wir erhalten 6,25, einen abbrechenden Dezimalbruch. Zuletzt wandeln wir noch 1/6 um. Wir rechnen 1/6. Die 6 passt nicht in die 1, also erhalten wir 0, Rest 1. Nun setzen wir ein Komma und holen eine 0 zur 1 dazu. Wir rechnen 10/6. Das ist 1, Rest 4. Wir ergänzen eine 0 hinter 4 und rechnen 40 geteilt durch 6. Das ist 6, Rest 4. Nun wiederholt sich der Schritt zwei weitere Male und wir können davon ausgehen, dass es immer so weitergehen wird. Daher schreiben wir über die 6 einen Periodenstrich und erhalten als Lösung 0,1 Periode 6. Dies ist ein gemischt-periodischer Dezimalbruch, da die Eins hinterm Komma nicht zur Periode gehört. Jana und Jenny haben wieder eine neue Seite der Mathematik kennengelernt. Weil keiner von ihnen den Rechenwettbewerb gewonnen hat, laden sie sich einfach gegenseitig zum Eis ein. Wir wünschen guten Appetit. Das war es schon wieder von mir, daher sage ich nun: Bye bye und bis zum nächsten Mal.

49 Kommentare
  1. Dieses video war sehr hilfreich gut dargestellt und sehr informativ

    Von Kirbisfamily, vor 9 Tagen
  2. Ich fand es fantastisch!Inerhalb fast 10 Minuten habe ich es kapiert und brauche dann keine Mathedoppelstunden mehr! Vielen dank nochmal!!!

    Von Moritz R., vor etwa einem Monat
  3. Super danke jetzt habe ich es verstanden

    Von Zara D., vor 7 Monaten
  4. Hat mir sehr viel geholfen.
    Danke

    Von Kum10407, vor 7 Monaten
  5. war sehr hilfreich. Tolles Video!!!!!!!!!

    Von Stieglerdoris, vor 9 Monaten
  1. Danke...………………………………………………………………………………………………………………………………….!

    Von Raphael Sentis, vor 10 Monaten
  2. hat sehr viel mir gebracht ich danke ihnen jetzt bin ich vorbereitet für meinr mathe arbrit

    Von Emirhan 68519, vor 10 Monaten
  3. Wow, einfach super😃

    Von Stephanie Leue, vor 11 Monaten
  4. danke

    Von L Nasilewski, vor 12 Monaten
  5. Super

    Von Titus Roll, vor etwa einem Jahr
  6. Toll erklärt super :)

    Von Claudine Glaser, vor etwa einem Jahr
  7. Super erklärt,

    Von Martin Griffiths, vor etwa einem Jahr
  8. Sehr gut und deutlich erklärt
    Danke

    Von Nikolai B., vor etwa einem Jahr
  9. toll

    Von Cumaak, vor mehr als einem Jahr
  10. sehr gut erklärt

    Von Sylke F., vor fast 2 Jahren
  11. Fand ich sehr hilfreich
    Dankeschön

    Von Ferouni, vor fast 2 Jahren
  12. hab es verstanden

    juhu

    Von Impexliehn, vor fast 2 Jahren
  13. Ich habe es endlich verstanden!!!
    Vielen Dank!!!

    Von Claudia Weisshaar, vor fast 2 Jahren
  14. Gut erklärt

    Von G Samsonova, vor fast 2 Jahren
  15. Selbst für 40-jährige verständlich :)

    Von Alexander V., vor etwa 2 Jahren
  16. nice

    Von Marie G., vor etwa 2 Jahren
  17. toll

    Von Marie G., vor etwa 2 Jahren
  18. Ist Gut

    Von Vivien S., vor etwa 2 Jahren
  19. cool

    Von Junghee Chung Opel, vor mehr als 2 Jahren
  20. ;D ;D ;D ;D ;D

    Von Nanachiara, vor mehr als 2 Jahren
  21. ja das ist richtig gühnter

    Von Nanachiara, vor mehr als 2 Jahren
  22. Echt gutes Video :)

    Von Janajung1, vor mehr als 2 Jahren
  23. @Oezlem 2: Hier wurde der periodische Dezimalbruch auf die dritte Nachkommastelle gerundet. 1,1 Periode 72 auf die dritte Nachkommastelle gerundet ist 1,173. (Da auf die 2 wieder die 7, als 4. Nachkommastelle, folgt.)
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  24. aber sonst allles verstanden!!!!
    SUPIIIIIIIIIIIIIIIIIII

    Von Oezlem 2, vor mehr als 2 Jahren
  25. warum 1,173 und davor 1,1 periode 72 ???
    ist das ein Fehler von dir?

    Von Oezlem 2, vor mehr als 2 Jahren
  26. Sehr schön gestaltetes aber lehrreiches Video. Danke hat mir sehr geholfen!!!

    Von Nico S., vor mehr als 2 Jahren
  27. Ich korrigiere meinen Fehler. Es heißt dezimalzahlen

    Von Tim A., vor fast 3 Jahren
  28. trotz solte man periodische deziemalzahlen nicht erweitern oder kürzen. Außerdem solte man es deutlicher erklären und tiefer in richtung dieses thema gehen

    Von Tim A., vor fast 3 Jahren
  29. @Tim A.: Ich habe das Video noch einmal geprüft. Es ist korrekt, dass "1,1 Periode 72" ungefähr 1,173 ist, denn wenn man 1,1727272... auf die dritte Nachkommastelle rundet, dann erhält man 1,173. Es ist bedauerlich, dass Ihr Sohn eine 3 geschrieben hat; aber das Video ist dennoch fehlerfrei; zudem geht es auch auf die Variante ein, wie ein exaktes Ergebnis mit Hilfe von Brüchen ausgerechnet werden kann.

    Von Sarah Kriz, vor fast 3 Jahren
  30. In diesem Video ist ein Fehler vorhanden. Es wird gezeigt das 1,172 Periode ungefähr 1,173 ist. Diesen Fehler könnten Schüler übertragen. Mein Sohn hat eine 3 geschrieben nur wegen diesem Fehler.

    Von Tim A., vor fast 3 Jahren
  31. ich würde mich über bessere Übungen freuen ;-)

    Von Just Schulz, vor etwa 3 Jahren
  32. wirklich gut

    Von Angelika Millegger, vor mehr als 3 Jahren
  33. wirklich gutes video, danke

    Von Leo 2004, vor mehr als 3 Jahren
  34. Danko

    Von Denise M., vor mehr als 3 Jahren
  35. sehr gut erklärt

    Von Tharani J., vor mehr als 3 Jahren
  36. da kann man keine richtige Übung machen

    Von Ranas, vor mehr als 3 Jahren
  37. lol
    nice cool

    Von Ranas, vor mehr als 3 Jahren
  38. Nice

    Von Wjfcb, vor fast 4 Jahren
  39. Es ist wirklich sehr hilfreich Danke♥

    Von Zeyhanyazici, vor fast 4 Jahren
  40. ist richtig genau erklärt besser als in der schule

    Von Deleted User 252659, vor mehr als 4 Jahren
  41. Ich muss den drein voll und ganz zustimmen,hier wird es VIEL BESSER erklärt als in der schule und ist enifach nur super :-D

    Von S Lukas, vor mehr als 4 Jahren
  42. Ich finde das Viedeo super!Und das ist auch viel besser erklärt worden als in der Schule. : )

    Von Loubna E., vor mehr als 4 Jahren
  43. Ich finde diese Videos einfach spitze! Ich verstehe es einfach viel besser als in der Schule! Ich werde Sofatutor auf jeden Fall weiterempfehlen! Vielen Dank :)

    Von Lara J., vor fast 5 Jahren
  44. Danke für die tolle Erklärung. Jz kann ich es mir noch viel besser merken.

    Von Michelle Celine W., vor etwa 5 Jahren
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Periodische und abbrechende Dezimalbrüche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Periodische und abbrechende Dezimalbrüche kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu periodischen und abbrechenden Dezimalbrüchen.

    Tipps

    Ein Dezimalbruch heißt endlich, wenn er endlich viele Dezimalstellen, also Nachkommastellen, besitzt.

    Zum Beispiel ist $0,2$ ein endlicher Dezimalbruch.

    Hier siehst du ein Beispiel für einen reinperiodischen Dezimalbruch und wie man ihn umwandelt:

    Schau dir den Bruch $\frac{13}9$ an.

    Als erstes rechnest du $13:9=$. Die $9$ passt einmal in die $13$. Deshalb notierst du dir eine $1$ hinter dem Gleichheitszeichen. Die Differenz von $13$ und $1\cdot 9 = 9$ ist $4$. Diese Differenz notierst du dir unter der $13$.

    Da die $9$ nicht in die $4$ reinpasst, fügst du hinter der $4$ eine $0$ an. Im Ergebnis notierst du ein Komma hinter der $1$.

    Nun rechnest du $40:9$. Die $9$ passt $4$ mal in die $40$. Du schreibst also eine $4$ hinter das Komma im Ergebnis. Die Differenz von $40$ und $4\cdot 9 = 36$ ist wieder $4$. Diese Differenz notierst du unter der $40$.

    Dieser Schritt wiederholt sich nun, da du immer wieder $4$ als Differenz herauskriegst. Als Ergebnis schreibst du $1,\overline{4}$. Der Strich über der $4$ ist die Schreibweise für eine unendliche Wiederholung.

    • Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen folgt die Periode direkt nach dem Komma.
    • Bei gemischtperiodischen Dezimalbrüchen steht zwischen dem Komma und der Periode mindestens eine weitere Ziffer.
    Lösung

    Du kannst jeden Bruch als Dezimalbruch schreiben. Du erhältst dann entweder einen abbrechenden beziehungsweise endlichen Dezimalbruch oder einen unendlichen periodischen Dezimalbruch.

    Um das besser zu verstehen, schauen wir uns jeweils ein Beispiel an.

    Abbrechender bzw. endlicher Dezimalbruch

    Wie der Name bereits vermuten lässt, haben diese Dezimalbrüche nur endlich viele Nachkommastellen:

    Du betrachtest den Bruch $\frac{25}4$.

    Du rechnest $25:4=$. Die $4$ passt $6$ mal in die $25$. Hinter dem Gleichheitszeichen notierst du dir also die $6$. Die Differenz von $25$ und $4\cdot 6 = 24$ ist $1$. Diese Differenz notierst du dir unter der $25$.

    Da die $4$ nicht in die $1$ passt, schreibst du hinter die $1$ eine $0$. Hinter der $6$ im aktuellen Ergebnis schreibst du ein Komma.

    Nun rechnest du $10:4$. Die $4$ passt $2$ mal in die $10$. Also notierst du dir hinter dem Komma im Ergebnis eine $2$. Die Differenz von $10$ und $2\cdot 4= 8$ ist $2$. Du notierst dir diese Differenz unter der $10$.

    Da die $4$ nicht in die $2$ passt, schreibst du hinter die $2$ eine $0$.

    Nun rechnest du $20:4$. Das Ergebnis ist $5$. Es bleibt kein Rest übrig, was dir zeigt, dass du fertig bist. Notiere die $5$ in das Ergebnis.

    So erhältst du $\frac{25}4=6,25$. Das ist ein abbrechender Dezimalbruch.

    Unendlicher periodischer Dezimalbruch

    Auch hier ist der Name Programm. Dezimalbrüche dieser Kategorie haben unendliche viele Nachkommastellen, die sich in irgendeiner Weise wiederholen (das drückt das Wort periodisch aus).

    Schau dir den Bruch $\frac13$ an.

    Auch hier kannst du wie oben beschrieben schriftlich dividieren. Du erhältst $1:3=0,33333...$. Dies ist ein Dezimalbruch mit unendlich vielen Dreien. Dafür gibt es eine abkürzende Schreibweise:

    $0,\overline{3}$

    Du liest dies so: „Null Komma Periode Drei“.

    Bei den periodischen Dezimalbrüchen werden zwei verschiedene Formen unterschieden:

    • Reinperiodische Dezimalbrüche wie zum Beispiel $0,\overline{3}$. Bei diesen folgt die Periode direkt auf das Komma.
    • Gemischtperiodische Dezimalbrüche wie zum Beispiel $1,1\overline{72}$. Hier folgt nach dem Komma ein nicht-periodischer Teil (eine oder mehrere Ziffern) und dann kommt die Periode.
  • Bestimme, ob es sich um einen endlichen, reinperiodischen oder gemischtperiodischen Dezimalbruch handelt.

    Tipps

    Endliche Dezimalbrüche haben nur endlich viele Nachkommastellen.

    Periodische Dezimalzahlen zeichnen sich durch unendlich viele Nachkommastellen aus.

    Da man nicht unendlich viele Nachkommastellen aufschreiben kann, kennzeichnet man dies durch einen Strich über dem sich-wiederholenden Teil.

    Zum Beispiel gilt $\frac{1}{3} = 0,333333...$ und du schreibst $0,\overline{3}$.

    Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen folgt die Periode direkt nach dem Komma.

    Bei gemischtperiodischen Dezimalbrüchen stehen zwischen dem Komma und der Periode eine oder mehrere Ziffern.

    Lösung

    Schauen wir uns zunächst die endlichen Dezimalbrüche an. Man nennt diese auch abbrechend. Sie haben nur endlich viele Nachkommastellen.

    $6,25$ und $2,2$ sind endliche Dezimalbrüche.

    Im Gegensatz zu den endlichen Dezimalbrüchen haben periodische Dezimalbrüche unendlich viele Nachkommastellen. Die verbleibenden vier Dezimalbrüche sind periodisch.

    Dabei werden reinperiodische und gemischtperiodische Dezimalbrüche unterschieden:

    • Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen folgt die Periode direkt auf das Komma. Dies siehst du bei den Beispielen $1,\overline{4}$ oder $6,\overline{25}$.
    • Bei gemischtperiodischen Dezimalbrüchen folgen nach dem Komma eine oder mehrere Ziffern und erst dann die Periode. Diesen Fall siehst du bei $1,1\overline{6}$ oder $6,2\overline{5}$.
  • Gib den Bruch als Dezimalbruch in Kommaschreibweise an.

    Tipps

    Schau dir $\frac19$ als weiteres Beispiel an:

    • Die $9$ passt $0$-mal in die $1$. Deshalb beginnt das Ergebnis mit $0,$ und du fügst eine $0$ an die $1$.
    • Die $9$ passt $1$-mal in die $10$. Es bleibt ein Rest von $1$. Du schreibst nun eine $1$ hinter das Komma und eine $0$ hinter den Rest.
    Der nächste Rechenschritt wäre nun wieder $10:9$. Die Rechnung würde sich also die ganze Zeit wiederholen.

    Als Ergebnis erhältst du also $0,111111...$. Dies ist eine reinperiodische Dezimalzahl und du schreibst $0,\overline{1}$.

    Beachte, dass eine Periode auch mehrere Stellen haben kann.

    Eine Periode umfasst alle Ziffern, die immer wieder auftauchen. Zum Beispiel ist $3,12789789789...=3,12\overline{789}$.

    Dies ist ein gemischtperiodischer Dezimalbruch mit der dreistelligen Periode $789$.

    Lösung

    Es gibt zwei verschiedene Arten von unendlichen periodischen Dezimalbrüchen:

    • reinperiodisch: Die Periode des Dezimalbruchs in Kommaschreibweise beginnt sofort hinter dem Komma. Ein Beispiel ist $0,2222222... = 0,\overline{2}$.
    • gemischtperiodisch: Die Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma. Es gibt also einen nichtperiodischen Teil. Ein Beispiel ist $0,25797979... = 0,25\overline{79}$.
    Betrachten wir nun den Bruch $\frac9{11}$:

    • Die $11$ passt $0$-mal in die $9$. Deshalb beginnt der Dezimalbruch in Kommaschreibweise mit $0,$ und wir fügen eine $0$ an die $9$ an.
    • Die $11$ passt $8$-mal in die $90$. Es bleibt ein Rest von $2$. Das bisherige Ergebnis lautet $0,8$ und hinter den Rest schreiben wir eine $0$.
    • Die $11$ passt $1$-mal in die $20$. Es bleibt ein Rest von $9$. Das Ergebnis lautet bisher also $0,81$ und wir fügen eine $0$ hinter den Rest.
    Die Rechnung würde nun unendlich oft zwischen diesen beiden Resten ($9$ und $2$) abwechseln. Das Ergebnis lautet $0,8181818181...$ und wir schreiben $0,\overline{81}$.

    Da der sich wiederholende Teil direkt nach dem Komma beginnt, ist dieser Dezimalbruch in Kommaschreibweise reinperiodisch.

    Betrachten wir nun den Bruch $\frac16$:

    Wir gehen genauso vor wie beim ersten Bruch:

    • Die $6$ passt nicht in die $1$. Also beginnt das Ergebnis mit $0,$ und wir schreiben eine $0$ hinter die $1$.
    • Die $6$ passt $1$-mal in die $10$. Also ergänzen wir eine $1$ hinter dem Komma im Ergebnis und schreiben eine $0$ hinter den Rest $4$.
    • Die $6$ passt $6$-mal in die $40$. Das Ergebnis wird also um eine $6$ ergänzt und wir schreiben eine $0$ hinter den Rest $4$.
    Diesen Rest kennst du bereits. Ab hier wiederholt sich der letzte Schritt also immer wieder.

    Das Ergebnis lautet $0,1666666...$. Du siehst, dass die Periode nicht sofort hinter dem Komma beginnt. Man nennt dies einen gemischtperiodischen Dezimalbruch. Du schreibst $0,1\overline{6}$.

  • Leite den jeweiligen gemeinen Bruch her.

    Tipps

    Du kannst jeden abbrechenden Dezimalbruch als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben:

    • Zähle die Anzahl der Nachkommastellen.
    • Verschiebe das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts und schreibe die Nachkommastellen in den Zähler.
    • Im Nenner steht eine $1$ mit ebenso vielen Nullen wie die Anzahl der Nachkommastellen.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Umwandlung eines reinperiodischen Dezimalbruchs in einen Bruch:

    Betrachte den Dezimalbruch $0,\overline{54}$.

    Du bildest einen Bruch, bei dem der Zähler aus dem periodischen Teil des Dezimalbruchs besteht. Der Nenner wird mit Hilfe der Ziffer $9$ gebildet. Dabei schreibst du so viele $9$en in den Nenner, wie der Zähler stellen hat.

    Das ergibt für das Beispiel $\frac{54}{99}$.

    Die Zahl vor dem Komma addierst du nun dazu. In diesem Beispiel ändert sich dadurch nichts, da $0 + \frac{54}{99} = \frac{54}{99}$ gilt.

    Diesen Bruch kürzt du nun noch:

    $\frac{54}{99} = \frac{6}{11}$

    Bei einem gemischtperiodischen Dezimalbruch gehst du ähnlich vor:

    Schreibe die gemischtperiodische Dezimalzahl als Summe. Der eine Summand ist eine abbrechende Dezimalzahl. Der andere Summand ist eine gemischtperiodische Dezimalzahl, bei welcher die Nachkommastellen bis zur Periode ausschließlich Nullen sind: $0,2\overline{4}=0,2+0,0\overline{4}$

    Beginne mit der abbrechenden Dezimalzahl. Du erhältst $0,2=\frac2{10}=\frac15$. Die gemischt periodische Dezimalzahl kannst du wie folgt umschreiben:

    $0,0\overline{4}=\frac4{90}=\frac2{45}$

    Nun kannst du die Brüche addieren:

    $\frac15+\frac2{45}=\frac9{45}+\frac2{45}=\frac{11}{45}$

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du Dezimalbrüche in Kommaschreibweise in gemeine Brüche umwandeln. Dabei unterscheiden wir die Vorgehensweise zwischen abbrechenden, reinperiodischen und gemischtperiodischen Dezimalbrüchen.

    Abbrechender Dezimalbruch: $0,35$

    Schreibe die Dezimalzahl als gemeinen Bruch mit $10$er Potenz im Nenner. Verschiebe hierfür das Komma um zwei Stellen nach rechts. Du erhältst $0,35=\frac{35}{100}$. Die Zehnerpotenz im Nenner hat so viele Nullen wie die Anzahl der Nachkommastellen.

    Nun kannst du gegebenenfalls noch kürzen. Hier folgt $\frac{35}{100}=\frac{35:5}{100:5}=\frac7{20}$.

    Reinperiodischer Dezimalbruch: $0,\overline{12}$

    Bei einem reinperiodischen Dezimalbruch gehst du wie folgt vor:

    • Du schreibst die Periode in den Zähler.
    • Du bestimmst die Länge der Periode und schreibst entsprechend viele $9$en in den Nenner.
    • Wenn vor dem Komma eine Zahl steht, die nicht $0$ ist, addierst du diese zu dem Bruch dazu.
    Auf diese Weise erhältst du $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$.

    Gemischtperiodischer Dezimalbruch: $0,1\overline{3}$

    Bei einem gemischtperiodischen Dezimalbruch nutzt du dein bisheriges Wissen und gehst in zwei Schritten vor:

    1. Ermittle den nichtperiodischen Teil und wandle diesen um.
    2. Ermittle den periodischen Teil und wandle diesen um.
    Der nichtperiodische Teil ist hier $0,1$. Diesen wandelst du wie bei einem abbrechenden Dezimalbruch um und erhältst $\frac{1}{10}$.

    Der periodische Teil ist hier $0,0\overline{3}$. Du weißt bereits, dass du den reinperiodischen Dezimalbruch $0,\overline{3}$ mit Hilfe des gemeinen Bruchs $\frac3{9}$ darstellen kannst. Da die Periode jedoch eine Zehnerstelle weiter rechts beginnen soll, teilst du diesen durch $10$ und erhältst $0,0\overline{3} = \frac3{90} = \frac{1}{30}$.

    Nun kannst du die beiden Brüche addieren:

    $\frac1{10}+\frac1{30}=\frac3{30}+\frac1{30}=\frac4{30}=\frac2{15}$

  • Bestimme die Summe der Dezimalbrüche $0,2$ und $0,0\overline{3}$.

    Tipps

    Um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, musst du diese erweitern. Das heißt, dass du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    Wie kannst du einen gemischtperiodischen Dezimalbruch als Bruch schreiben? Wende folgende Schritte an:

    1. Wandle die gemischt-periodische Zahl in eine reinperiodische Zahl um, indem du die Zahl mit $10$, $100$, ... multiplizierst (das verrückt das Komma nach rechts).
    2. Schreibe in den Zähler des Bruches die Periode (die Ziffern unter dem Strich).
    3. Schreibe in den Nenner so viele Neunen, wie Ziffern unter dem Strich sind.
    4. Nun addierst du den ganzzahligen Teil (also den Wert vor dem Komma) zu dem gerade erstellten Bruch.
    5. Anschließend teilst du durch die Zahl mit der du im ersten Schritt multipliziert hast, da du den Wert des Ausdrucks ja nicht verändern möchtest.

    Hier siehst du die Umwandlung am Beispiel $0,4\overline{27}$:

    1. $0,4\overline{27} \cdot 10 \rightarrow 4,\overline{27}$
    2. $\frac{27}{\square}$
    3. $\frac{27}{99}$
    4. $4 + \frac{27}{99} = \frac{396}{99} + \frac{27}{99} = \frac{47}{11}$
    5. $\frac{47}{11} : 10 \rightarrow \frac{47}{110}$
    Du erhältst also $0,4\overline{27} = \frac{47}{110}$.

    Lösung

    Du sollst die folgende Additionsaufgabe lösen: $0,2+0,0\overline{3}$

    Dabei kannst du drei verschiedene Varianten wählen.

    Variante 1: Runden

    Du rundest den gemischten Dezimalbruch $0,0\overline{3}\approx0,033$. Anschließend addierst du $0,2+0,033=0,233$.

    Variante 2: Umwandeln in Brüche

    Hier wandelst du beide Dezimalbrüche in Brüche um. Hier siehst du zuerst die allgemeine Anleitung für die Umwandlung gemischt-periodischer Dezimalbrüche in Brüche:

    1. Wandle die gemischt-periodische Zahl in eine reinperiodische Zahl um, indem du die Zahl mit $10$, $100$, ... multiplizierst (das verrückt das Komma nach rechts).
    2. Schreibe in den Zähler des Bruches die Periode (die Ziffern unter dem Strich).
    3. Schreibe in den Nenner so viele Neunen, wie Ziffern unter dem Strich sind.
    4. Nun addierst du den ganzzahligen Teil (also den Wert vor dem Komma) zu dem gerade erstellten Bruch.
    5. Anschließend teilst du durch die Zahl mit der du im ersten Schritt multipliziert hast, da du den Wert des Ausdrucks ja nicht verändern möchtest.
    • $0,2=\frac2{10}=\frac15$
    • $0,0\overline{3}=\frac3{90}=\frac1{30}$.
    Hier siehst du die Schritte der Umwandlung von $0,0\overline{3}$. Orientiere dich an der Anleitung oben:

    1. $0,0\overline{3} \cdot 10 \rightarrow 0,\overline{3}$
    2. $\frac{3}{\square}$
    3. $\frac{3}{9}$
    4. $0 + \frac{3}{9} = \frac{3}{9}$
    5. $\frac{3}{9} : 10 \rightarrow \frac{3}{90}$
    Diesen Bruch kannst du mit $3$ kürzen, was dann $\frac{1}{30}$ ergibt.

    Nun kannst du die Brüche addieren, indem du sie auf den gemeinsamen Nenner $30$ bringst. Hierfür erweiterst du $\frac15$ mit $6$:

    $\frac15+\frac1{30}=\frac6{30}+\frac1{30}=\frac7{30}$

    Direktes Addieren der beiden Dezimalbrüche

    $0,2$ ist ein abbrechender Dezimalbruch mit einer Nachkommastelle. Der gemischtperiodische Dezimalbruch $0,0\overline{3}$ hat eine Ziffer zwischen dem Komma und der Periode. Diese Ziffer ist eine $0$. Da diese den selben Stellenwert wie die $2$ in $0,2$ hat (weil sie dieselbe Position nach dem Komma hat), kannst du die $0$ und die $2$ addieren:

    $0,2+0,0\overline{3}=0,2\overline{3}$.

    Diesen gemischtperiodischen Dezimalbruch erhältst du auch, wenn du $7:30$ rechnest.

  • Bestimme den jeweiligen Dezimalbruch in Kommaschreibweise.

    Tipps

    Wenn der Nenner sich zu einer Zehnerpotenz erweitern lässt, ist der Dezimalbruch abbrechend.

    Führe jeweils die schriftliche Division durch.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du drei Dezimalbrüche bestimmen. Auffallend ist, dass sich die zur Auswahl stehenden Dezimalbrüche sehr ähneln, obwohl die Brüche in der Aufgabe ganz unterschiedlich aussehen.

    Beispiel 1: $\frac{52}{125}$

    Zunächst erweiterst du den Bruch mit $8$ zu $\frac{52}{125}=\frac{52\cdot 8}{125\cdot 8}=\frac{416}{1000}$. Nun kannst du hinter $416$ ein Komma schreiben und dieses um drei Stellen nach links verschieben. So erhältst du $0,416$.

    Merke dir: Wenn du bei einem Bruch der Nenner Teiler einer Zehnerpotenz ist, dann erhältst du einen abbrechenden Dezimalbruch.

    Beispiel 2: $\frac5{12}$

    • Die $12$ passt $0$-mal in die $5$. Als vorläufiges Ergebnis hältst du $0,$ fest und ergänzt eine $0$ hinter der $5$.
    • Die $12$ passt $4$-mal in die $50$. Hinter das Komma im Ergebnis schreibst du nun eine $4$ und du notierst einen Rest von $2$. Hinter diesem Rest ergänzt du eine $0$.
    • Die $12$ passt $1$-mal in die $20$. Du notierst die $1$ hinter der $4$ im Ergebnis und schreibst den Rest von $8$ mit einer $0$ dahinter auf.
    • Die $12$ passt $6$-mal in die $80$. Du notierst eine $6$ hinter der $1$ im Ergebnis und schreibst den Rest von $8$ auf.
    Da der Rest von $8$ schon aufgetaucht ist, kannst du an dieser Stelle aufhören. Der letzte Schritt würde sich nun immer wiederholen.

    Du erhältst den gemischtperiodischen Dezimalbruch $0,4166666...=0,41\overline{6}$.

    Beispiel 3: $\frac{416}{999}$

    In diesem Beispiel musst du nicht viel rechnen, da im Nenner nur $9$en sind. In diesem Fall bestimmt der Zähler die Ziffern und die Anzahl der $9$en die Länge der Periode:

    $\frac{416}{999} = 0,416416416... =0,\overline{416}$