Nullstellen – Funktion dritten Grades

Hallo. Hier ist eine Funktion 3. Grades: f(x)=x³+6x²+11x+6. Funktion 3. Grades deshalb, weil der höchste Exponent hier eine 3 ist. Wir suchen die Nullstellen einer solchen Funktion und das machen wir, indem wir einfach den Funktionsterm nehmen, hier hinschreiben und ihn gleich 0 setzen. Nullstelle bedeutet ja, wenn man für x was einsetzt, kommt hier für y 0 heraus. Das ist jetzt eine Gleichung 3. Grades. Jetzt sind wir noch nicht viel weiter. Jetzt müssen wir diese Gleichung lösen. Es ist nicht möglich, eine Gleichung 3. Grades im allgemeinen Fall mit einer Formel zu lösen, aber es gibt ein Verfahren, das was ich jetzt zeigen möchte: Wenn man nämlich eine Nullstelle der Funktion beziehungsweise eine Lösung der Gleichung kennt, dann kann man die anderen beiden möglichen Lösungen herausfinden. Woher man diese erste Lösung kennt, bleibt jetzt erst mal im Dunkeln. Vielleicht ergibt es sich aus dem Sachzusammenhang. Manchmal muss man aber auch raten. So ist das gemeint. Raten bedeutet dann einfach: Ganze Zahlen einsetzen in diesen Funktionsterm und gucken, ob 0 rauskommt. Also, man setzt ein 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, vielleicht auch noch ½ und -½, aber dann sollte die erste Nullstelle dabei gewesen sein. Das ist so gemeint. So wird das Verfahren an Schulen gelehrt und deshalb zeige ich das auch so, dass man also eine Nullstelle raten soll. Hier ist -1 eine Nullstelle, denn, wenn man -1 hier in diesen Term einsetzt, kommt 0 raus. Das ist also richtig.  Dann kann man den Funktionsterm durch x-Nullstelle teilen. Das macht man mit der Polynomdivision, auf die ich an dieser Stelle nicht weiter eingehen möchte. Die darf ich hier voraussetzen, die Polynomdivision, dass du das kannst. Ich habe auch Filme zur Polynomdivision gemacht. Da kannst du da nachgucken oder auch bei Gleichungen 3. Grades. Da wird das auch noch mal im Einzelnen erklärt. Hier teilen wir also durch x-Nullstelle, darf ich noch mal sagen vielleicht. Weil -1 eine Nullstelle ist x-Nullstelle natürlich dann x+1. Nun können wir die Funktion folgendermaßen schreiben: f(x)=(x+1)×(x²+5x+6). Hier steht also das, was hier rausgekommen ist. Warum geht das? Wir erinnern uns: Wir haben den Funktionsterm - diesen hier - durch x-Nullstelle geteilt und das hier ist rausgekommen. Das bedeutet, wir können auch wieder das, was herauskommt, mit x-Nullstelle multiplizieren und erhalten den Ausgangsterm, das heißt, die Funktion, die hier steht und die hier steht, ist also ein und dieselbe Funktion, nur anders geschrieben. Da das Ganze hier, dieser Term, nun ein Produkt ist, kommt unsere übliche Argumentation für Nullstellen einer solchen Funktion. Dieser Term ist nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, das heißt, entweder ist x+1 -0, oder dieser hier: x²+5x+6. Dieser Faktor ist 0, wenn x=-1 ist. Das wissen wir schon, das ist die erste Nullstelle. Dann müssen wir nur noch wissen: Wann ist der Faktor x²+5x+6 gleich 0? Das können wir dann wie gewohnt als quadratische Gleichung schreiben und mit p-q-Formel oder Mitternachtsformel oder wie auch immer, lösen. Hier ist die Gleichung. Ich habe die p-q-Formel angewendet. Hier steht es. Ich zeige oder erkläre das jetzt nicht im Einzelnen, weil ich das jetzt hier an der Stelle auch voraussetzen darf, dass du das schon häufig gemacht hast. Die beiden Lösungen, die hier also noch rauskommen, sind x2=-2 und x3=-3. Alle Lösungen sind dann also x1=-1, das steht hier, da, und x2=-2 und x3=-3. Das sind alle Nullstellen dieser Funktion. Man kann es natürlich auch noch mal testen und man kann auch den Funktionsgraphen zeichnen. Der sieht in Ausschnitten also so aus und dann kann man auch ziemlich sicher sein, dass man auch richtig gerechnet hat. Weil man hier die Nullstellen auch in der Nähe sehen kann, wo man das ausgerechnet hat. In der Nähe deshalb, weil man das ja nicht ganz exakt zeichnen kann. Also, das war es zu den Nullstellen einer ganz rationalen Funktion 3. Grades. So geht das, wenn man eine Nullstelle schon kennt. Viel Spaß damit. Tschüss.