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Nullstellen – Funktion dritten Grades

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Martin Wabnik
Nullstellen – Funktion dritten Grades
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Nullstellen – Funktion dritten Grades

Nullstellen – Funktionen dritten Grades

Du kennst sicher schon die quadratischen Funktionen. Aber weißt du auch, was eine Funktion dritten Grades ist? Das kannst du dir leicht überlegen: Eine quadratische Funktion heißt quadratisch, weil die höchste Potenz der Variablen $x$ die Zwei ist. Bei einer Funktion dritten Grades ist die höchste Potenz der Variablen die Drei.

Funktion 3. Grades – Beispiel:

Ein Beispiel für eine Funktion 3. Grades siehst du hier:

$f(x) = x^{3} + 6x^{2} +11x +6$

Natürlich kannst du auch bei einer solchen Funktion nach charakteristischen Punkten suchen, wie zum Beispiel den Nullstellen.

Nullstellen berechnen bei einer Funktion 3. Grades – Beispiel

Funktionen dritten Grades können keine, eine, zwei oder drei Nullstellen haben. Um diese zu finden, müssen wir die Funktion zunächst mit null gleichsetzen:

$x^{3} + 6x^{2} +11x +6 = 0$

Im Gegensatz zu einer quadratischen Funktion können wir jetzt allerdings nicht einfach die pq-Formel anwenden. Die Nullstellen einer Funktion 3. Grades kann man im Allgemeinen nur mit Hilfe der Polynomdivision berechnen. Um die Polynomdivision durchführen zu können, müssen wir allerdings eine Nullstelle kennen.

1.Schritt: Erste Nullstellen erraten

Manchmal erschließt sich eine erste Nullstelle aus dem Zusammenhang der Aufgabe, aber häufig müssen wir sie erraten. Natürlich raten wir nicht einfach so, sondern versuchen systematisch vorzugehen. In der Regel setzt man für $x$ nacheinander die Zahlen $[1,-1,2,-2,3,-3,...]$ und so weiter ein.

Wir beginnen auch bei der gegebenen Funktion mit der $1$:

$1^{3} + 6\cdot1^{2} +11\cdot 1 +6 = 24 \neq 0 $

Die Eins ist also keine Nullstelle. Testen wir die $-1$:

$(-1)^{3} + 6\cdot(-1)^{2} +11\cdot(-1) +6 = -1 + 6 -11 +6 = 0$

Damit haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden: $x_1 = -1$.

2.Schritt: Polynomdivision durchführen

Diese Nullstelle können wir jetzt benutzen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilen wir die Funktion durch den Term $(x - \text{Nullstelle})$, also:

$(x - x_1) = (x - (-1)) = (x +1)$.

Das Ergebnis der Polynomdivision ist:

$(x^{3} + 6x^{2} +11x +6) : (x +1)= x^{2} + 5x + 6$

Die verbleibenden Nullstellen der Funktion dritten Grades sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion. Warum das so ist, können wir leicht sehen. Wir haben in der Polynomdivision die Ausgangsfunktion durch $(x+1)$ geteilt:

$x^{2} + 5x + 6 = f(x) : (x+1)$

Wenn wir beide Seiten mit $(x+1)$ multiplizieren, erhalten wir:

$(x^{2} + 5x + 6) \cdot (x+1) = f(x)$

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Für den zweiten Faktor kennen wir die Nullstelle bereits, denn das ist ja gerade die $-1$. Also brauchen wir nur noch die Nullstellen des ersten Faktors:

$x^{2} + 5x + 6 = 0$

Das ist eine quadratische Funktion, also können wir hier einfach die pq-Formel anwenden:

$x_{2,3} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \biggl( \frac{5}{2} \biggr)^{2} -6 } $

$\Rightarrow x_2 = -2 ; x_3 = -3$

Damit haben wir alle Nullstellen bestimmt: $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = -3$. Zur Überprüfung können wir uns den Funktionsgraphen anschauen:

4453_Nullstellen_berechnen_Funktion_3._Grades_Beispiel-01.svg

Dieses Video

In diesem Video lernst du, wie man mithilfe der Polynomdivision und den Regeln für quadratische Gleichungen die Nullstellen von Funktionen 3. Grades bestimmen kann. Dafür solltest du schon wissen, was die Polynomdivision ist und wie man die pq-Formel anwendet.

Transkript Nullstellen – Funktion dritten Grades

Hallo. Hier ist eine Funktion 3. Grades: f(x)=x3+6x2+11x+6. Funktion 3. Grades deshalb, weil der höchste Exponent hier eine 3 ist. Wir suchen die Nullstellen einer solchen Funktion und das machen wir, indem wir einfach den Funktionsterm nehmen, hier hinschreiben und ihn gleich 0 setzen. Nullstelle bedeutet ja, wenn man für x was einsetzt, kommt hier für y 0 heraus. Das ist jetzt eine Gleichung 3. Grades. Jetzt sind wir noch nicht viel weiter. Jetzt müssen wir diese Gleichung lösen. Es ist nicht möglich, eine Gleichung 3. Grades im allgemeinen Fall mit einer Formel zu lösen, aber es gibt ein Verfahren, das was ich jetzt zeigen möchte: Wenn man nämlich eine Nullstelle der Funktion beziehungsweise eine Lösung der Gleichung kennt, dann kann man die anderen beiden möglichen Lösungen herausfinden. Woher man diese erste Lösung kennt, bleibt jetzt erst mal im Dunkeln. Vielleicht ergibt es sich aus dem Sachzusammenhang. Manchmal muss man aber auch raten. So ist das gemeint. Raten bedeutet dann einfach: Ganze Zahlen einsetzen in diesen Funktionsterm und gucken, ob 0 rauskommt. Also, man setzt ein 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, vielleicht auch noch ½ und -½, aber dann sollte die erste Nullstelle dabei gewesen sein. Das ist so gemeint. So wird das Verfahren an Schulen gelehrt und deshalb zeige ich das auch so, dass man also eine Nullstelle raten soll. Hier ist -1 eine Nullstelle, denn, wenn man -1 hier in diesen Term einsetzt, kommt 0 raus. Das ist also richtig.  Dann kann man den Funktionsterm durch x-Nullstelle teilen. Das macht man mit der Polynomdivision, auf die ich an dieser Stelle nicht weiter eingehen möchte. Die darf ich hier voraussetzen, die Polynomdivision, dass du das kannst. Ich habe auch Filme zur Polynomdivision gemacht. Da kannst du da nachgucken oder auch bei Gleichungen 3. Grades. Da wird das auch noch mal im Einzelnen erklärt. Hier teilen wir also durch x-Nullstelle, darf ich noch mal sagen vielleicht. Weil -1 eine Nullstelle ist x-Nullstelle natürlich dann x+1. Nun können wir die Funktion folgendermaßen schreiben: f(x)=(x+1)×(x2+5x+6). Hier steht also das, was hier rausgekommen ist. Warum geht das? Wir erinnern uns: Wir haben den Funktionsterm - diesen hier - durch x-Nullstelle geteilt und das hier ist rausgekommen. Das bedeutet, wir können auch wieder das, was herauskommt, mit x-Nullstelle multiplizieren und erhalten den Ausgangsterm, das heißt, die Funktion, die hier steht und die hier steht, ist also ein und dieselbe Funktion, nur anders geschrieben. Da das Ganze hier, dieser Term, nun ein Produkt ist, kommt unsere übliche Argumentation für Nullstellen einer solchen Funktion. Dieser Term ist nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, das heißt, entweder ist x+1 -0, oder dieser hier: x2+5x+6. Dieser Faktor ist 0, wenn x=-1 ist. Das wissen wir schon, das ist die erste Nullstelle. Dann müssen wir nur noch wissen: Wann ist der Faktor x2+5x+6 gleich 0? Das können wir dann wie gewohnt als quadratische Gleichung schreiben und mit p-q-Formel oder Mitternachtsformel oder wie auch immer, lösen. Hier ist die Gleichung. Ich habe die p-q-Formel angewendet. Hier steht es. Ich zeige oder erkläre das jetzt nicht im Einzelnen, weil ich das jetzt hier an der Stelle auch voraussetzen darf, dass du das schon häufig gemacht hast. Die beiden Lösungen, die hier also noch rauskommen, sind x2=-2 und x3=-3. Alle Lösungen sind dann also x1=-1, das steht hier, da, und x2=-2 und x3=-3. Das sind alle Nullstellen dieser Funktion. Man kann es natürlich auch noch mal testen und man kann auch den Funktionsgraphen zeichnen. Der sieht in Ausschnitten also so aus und dann kann man auch ziemlich sicher sein, dass man auch richtig gerechnet hat. Weil man hier die Nullstellen auch in der Nähe sehen kann, wo man das ausgerechnet hat. In der Nähe deshalb, weil man das ja nicht ganz exakt zeichnen kann. Also, das war es zu den Nullstellen einer ganz rationalen Funktion 3. Grades. So geht das, wenn man eine Nullstelle schon kennt. Viel Spaß damit. Tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Bombe danke ;)

    Von Ferdinand Brede, vor mehr als 7 Jahren
  2. Das hoffe ich auch sehr, denn Tausende Menschen in der Nation lieben dich!!! Andererseits bin ich mir sicher, dass der Tod der Beginn eines neuen Lebens ist. Erstaunlich viele Mathematiker und Physiker waren zugleich Mystiker. So war Pythagoras (wie auch ich es bin) ein Verfechter des Glaubens an die Wiedergeburt (Reinkarnation). Wie sagte es der Physiker Werner Heisenberg so treffend: "Der erste Schluck aus dem Becher der Wissenschaft macht atheistisch. Aber auf dem Grunde des Bechers begegnet uns Gott."

    Von Green Spirit, vor mehr als 8 Jahren
  3. Danke, danke! Aber Straßen bekommt man erst zugeteilt, wenn man schon tot ist, und das ist bei mir hoffentlich noch nicht so bald der Fall ;)

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 8 Jahren
  4. Maestro Wabnik, du bist so cool drauf, dass ich absolut dafür wäre, den "Wabenweg" in meiner Heimatstadt in "Wabnikweg" oder auch "Martin-Wabnik-Weg" umzubenennen.

    Aber wer weiß, vielleicht steht eines Tages auf der Zielanzeige der Busse der Linie 1 in Münster "Martin-Wabnik-Chaussee bis Mathe-Palast" :-).

    Von Green Spirit, vor mehr als 8 Jahren
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