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Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

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Team Digital
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
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Grundlagen zum Thema Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnen

Du kennst sicher schon die quadratischen Funktionen. Aber weißt du auch, was eine Funktion 3. Grades ist? Das kannst du dir leicht überlegen:
Eine quadratische Funktion heißt quadratisch, weil im zugehörigen Funktionsterm $x^2$ als höchste Potenz der Variablen $x$ vorkommt. Bei einer Funktion 3. Grades kommt hingegen $x^3$ als höchste Potenz von $x$ vor.

Beispiel einer Funktion 3. Grades

Ein Beispiel für eine Funktion 3. Grades siehst du hier:

$h(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

Ähnlich wie bei den quadratischen Funktionen können wir auch bei einer solchen Funktion nach charakteristischen Punkten suchen – insbesondere nach den Nullstellen der Funktion.

Allerdings gibt es für Funktionen 3. Grades keine Lösungsformel, wie du sie für quadratische Funktionen in Form der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel kennst.
Funktionen 3. Grades müssen in der Regel erst vereinfacht werden, bevor die Nullstellen berechnet werden können.

In diesem Text sehen wir uns drei Möglichkeiten an, wie die Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnet werden können.

Bei einer Funktion 3. Grades kommt $x^3$ als höchste Potenz von $x$ im Funktionsterm vor.
Die Nullstellen einer solchen Funktion können auf verschiedene Weise berechnet werden. Hilfreiche Methoden zur Vereinfachung des Funktionsterms sind:

  • Ausklammern
  • Polynomdivision
  • Substitution

Die genannten drei Methoden sehen wir uns im Folgenden an. Zuerst gehen wir aber noch auf die allgemeine Form von Funktionen 3. Grades ein.

Allgemeine Form einer Funktion 3. Grades

Wir betrachten Ganzrationale Funktionen, also Funktionen, deren Funktionsterm ein Polynom mit der Variable $x$ ist. Damit können wir Funktionen 3. Grades in folgender Form allgemein darstellen:

$f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Die Koeffizienten $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ sind dabei in der Regel reelle Zahlen, wobei einzelne Koeffizienten auch gleich $0$ sein können, wodurch die entsprechende Potenz von $x$ herausfällt.

Der Koeffizient $a_0$ wird konstantes Glied genannt (manchmal auch absolutes Glied). Formal ist $a_0$ mit der Potenz $x^0$ verknüpft, allerdings gilt $x^0 = 1$ und damit $a_0 \cdot x^0 = a_0$.

Um die Nullstellen einer Funktionen 3. Grades zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm, also das gesamte Polynom, gleich $0$ und lösen nach $x$ auf. Alle Lösungen für $x$, die wir auf diese Weise erhalten, sind Nullstellen von $f(x)$. Es muss also gelten:

$a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$ für $x = x_\text{Nullstelle}$

Eine Funktionen 3. Grades wird auch kubische Funktion genannt. Eine kubische Funktion kann bis zu drei Nullstellen haben, d. h. der zugehörige Funktionsgraph kann die $x$-Achse einmal, zweimal oder dreimal schneiden. Jede kubische Funktion hat mindestens eine Nullstelle.
Wie die Nullstellen berechnet werden können, sehen wir uns nun an.

Nullstellen berechnen durch Ausklammern

Wir haben folgende Funktion gegeben:

$f(x) = 4x^3 + 3x^2 - x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$:

$4x^3 + 3x^2 - x = 0$

Diese Rechnung verdeutlicht, wie wir durch einfaches Ausklammern von $x$ den Funktionsterm so vereinfachen können, dass die Gleichung lösbar wird:

$x \cdot (4x^2 + 3x - 1) = 0$

Die erste Nullstelle ist nun offensichtlich. Denn der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann den Wert $0$ annimmt, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. In diesem Fall heißt das: Wenn $x = 0$ ist, muss auch das Produkt $x \cdot (4x^2 + 3x - 1) = 0$ sein.
Die erste Nullstelle ist also: $x_1 = 0$

Der Satz vom Nullprodukt verdeutlicht außerdem, dass auch die Nullstellen des Faktors $(4x^2 + 3x - 1)$ Nullstellen des gesamten Polynoms und damit der Funktion $f(x)$ sein müssen.
Bei diesem Faktor handelt es sich um einen quadratischen Term, d. h. wir können nun eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden, um folgende Gleichung zu lösen:

$4x^2 + 3x - 1 = 0$

Wir wählen die Mitternachtsformel:

$x_{2,3}= \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \dfrac{-3 \pm 5}{8} = \frac{-3}{~\,8} \pm \frac{5}{8}$

Also können wir berechnen:

$x_2 = \frac{-3}{~\,8} + \frac{5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

$x_3 = \frac{-3}{~\,8} - \frac{5}{8} = -\frac{8}{8} = -1$

Die kubische Funktion $f(x)$ hat also drei Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{4}$ und $x_3 = -1$.

Ausklammern ist vor allem dann nützlich, wenn das konstante Glied $\left(a_0 \right)$ eines Funktionsterms gleich $0$ ist.
Aber auch in anderen Fällen solltest du immer überprüfen, ob sich ein gegebener Funktionsterm noch vereinfachen lässt.

Beispiel – Ausklammern bei einer Funktion 3. Grades

Sehen wir uns noch folgendes Beispiel an:

$g(x)=-x^3 +x$

Wir setzen den Funktionsterm gleich $0$:

$-x^3 +x = 0$

Auch hier können wir wieder ein $x$ ausklammern. Noch deutlicher werden die Lösungen allerdings, wenn wir stattdessen $-x$ ausklammern:

$-x \cdot (x^2 - 1) = 0$

Der erste Faktor des Produkts liefert uns wieder die Nullstelle $x_1 = 0$. Den zweiten Faktor können wir mithilfe der dritten binomischen Formel umformen bzw. faktorisieren:

$-x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) = 0$

Liegt ein Polynom in so einer faktorisierten Form vor, in der $x$ nur noch als lineare Potenz $\left( x^1 \right)$ vorkommt, spricht man von Linearfaktoren.
In dieser Form können wir nun auch die beiden anderen Nullstellen direkt sehen. Es muss $x_2 = 1$ und $x_3 = -1$ gelten, denn dann sind jeweils der zweite und dritte Faktor des Produkts gleich $0$.
(Das sind auch die Nullstellen, die wir durch Lösen der Gleichung $x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ erhalten hätten.)

Die Linearfaktorzerlegung, also die Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren, ist ein wichtiges Mittel der Vereinfachung, um die Nullstellen einer Funktion 3. Grades zu ermitteln.

Eine Linearfaktorzerlegung kann nicht nur durch Ausklammern, sondern auch durch andere Methoden erreicht werden, wie wir im Folgenden zeigen.

Nullstellen berechnen durch Polynomdivision

Wir haben nun folgende Funktion gegeben:

$h(x)=x^3 + 6x^2 +11x + 6$

Ein Ausklammern von $x$ ist hier nicht möglich. Trotzdem müssen wir das Polynom irgendwie vereinfachen, um eine Lösung für die Gleichung zur Berechnung der Nullstellen zu finden:

$x^3 + 6x^2 +11x + 6 = 0$

Wir können eine Linearfaktorzerlegung erreichen, indem wir eine Polynomdivision durchführen. Dazu müssen wir das Polynom durch einen bereits bekannten Linearfaktor teilen.
Ein Linearfaktor hat die Form $(x - x_1)$, wobei $x_1$ eine Nullstelle des Polynoms ist.
Allerding ist allerdings uns noch gar keine Nullstelle bekannt. Wir müssen erst eine finden, um eine Polynomdivision durchführen zu können.

1. Schritt der Polynomdivision: Nullstelle erraten

Manchmal ist eine erste Nullstelle angegeben oder erschließt sich aus dem Zusammenhang der jeweiligen Aufgabe. Häufig müssen wir aber einfach eine Nullstelle erraten.
Dabei raten wir am besten nicht einfach so drauf los, sondern versuchen, systematisch vorzugehen. In der Regel ist es schlau, erstmal möglichst kleine, ganze Zahlen einzusetzen, also $1$ und $-1$, $2$ und $-2$ und so weiter.

Wir beginnen also bei der gegebenen Funktion mit $x = 1$:

$h(1) = 1^3 + 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 \neq 0$

$1$ ist demnach keine Nullstelle der Funktion $h(x)$. Testen wir als nächstes $x = -1$:

$h(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)\,^2 +11 \cdot (-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$

Damit haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden:
$x_1 = -1$

2. Schritt der Polynomdivision: Durchführung und Lösung

Die gefundene Nullstelle $x_1$ können wir jetzt nutzen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilen wir den Funktionsterm durch den Linearfaktor $(x - x_1)$, den wir mit der Nullstelle $x_1 = -1$ bilden können. Dieser lautet:

$(x - x_1) = (x - (-1)) = (x +1)$

Wir rechnen also:

$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x +1) =\,?$

Das Ergebnis der Polynomdivision ist:

$\quad (x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$
$\underline{-(x^3+x^2)}$
$\qquad \quad 5x^2+11x+6$
$\qquad \underline{-(5x^2+5x)}$
$\qquad \qquad \qquad 6x+6$
$\qquad \qquad \quad \underline{-(6x+6)}$
$\qquad \qquad \qquad \quad 0$

Das Ergebnis $x^2+5x+6$ ist ein quadratischer Term. Diesen setzen wir jetzt gleich $0$, um die fehlenden Nullstellen von $h(x)$ zu berechnen:

$x^2+5x+6 = 0$

Hier können wir nun die $pq$-Formel anwenden:

$x_{2,3} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 6} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4} - \frac{6\,\cdot\,4}{4}} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4}} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}$

Damit können wir berechnen:

$x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$

$x_3 = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

Mit diesen Nullstellen können wir nun auch den Term $x^2+5x+6$ in Linearfaktoren zerlegen. Es gilt:

$x^2+5x+6 = (x + 2) \cdot (x + 3)$

Damit ist unsere Linearfaktorzerlegung von $h(x)$ vollständig. Wir erhalten:

$h(x)=x^3 + 6x^2 +11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)$

Du kannst die Probe durchführen und die rechte Seite ausmultiplizieren. Dann kommst du genau wieder auf das Polynom 3. Grades der linken Seite.
Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor $(x + 1)$ teilen, erhalten wir außerdem wieder die Gleichung unserer Polynomdivision:

$x^3 + 6x^2 +11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \quad \big\vert~: (x+1)$

$(x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = (x + 2) \cdot (x + 3)$
$(x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$

Das verdeutlicht noch einmal, wie uns die Polynomdivision bei der Linearfaktorzerlegung geholfen hat.

Zur Überprüfung der Nullstellen können wir uns auch den Funktionsgraphen ansehen:

Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnen

Die drei Nullstellen $x_1 = -1$, $x_2 = -2$ und $x_3 = -3$ sind hier zu sehen. Allerdings muss nicht jede Funktion 3. Grades zwingend genau drei Nullstellen haben.
Stell dir vor, die gezeigte Funktion wäre so weit nach oben (in positive $y$-Richtung) verschoben, dass der untere Bogen die $x$-Achse nicht mehr schneiden würde. Dann gäbe es nur eine Nullstelle. Würde der Tiefpunkt des Bogens die $x$-Achse genau in berühren, gäbe es genau zwei Nullstellen.

Beispiel – Polynomdivision bei einer Funktion dritten Grades

Sehen wir uns noch ein Beispiel an:

$p(x) = 2x^3 - x^2 - 18x + 9$

Zuerst setzten wir wieder den Funktionsterm gleich $0$ und versuchen, eine erste Nullstelle zu erraten:

$2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0$

Hier sind allerdings weder die $x$-Werte $1$ noch $-1$ Nullstellen des Polynoms:

$p(1) = 2 \cdot 1^3 - 1^2 - 18 \cdot 1 + 9 = 2 - 1 - 18 + 9 = -8 \neq 0$
$p(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 - 18 \cdot (-1) + 9 = -2 - 1 + 18 + 9 = 24 \neq 0$

Damit wir nicht ewig weiter einsetzen müssen, wenden wir einen Kniff an:
Wir betrachten das konstante Glied $a_0 = 9$ des Polynoms. Das konstante Glied ist nämlich immer ein Vielfaches einer Nullstelle. Da in unserem Fall das konstante Glied $9$ in die Faktoren $3 \cdot 3$ zerlegt werden kann, muss $x_1 = 3$ eine Nullstelle der Funktion $p(x)$ sein. Das überprüfen wir:

$p(3) = 2 \cdot 3^3 - 3^2 - 18 \cdot 3 + 9 = 54 - 9 - 54 + 9 = 0$

Tatsächlich! Damit haben wir die erste Nullstelle $x_1 = 3$ gefunden und können den entsprechenden Linearfaktor bilden:

$(x - x_1) = (x - 3)$

Mit diesem Linearfaktor führen wir nun eine Polynomdivision durch:

$\quad (2x^3 - x^2 - 18x + 9) : (x-3) = 2x^2+5x-3$
$\underline{-(2x^3-6x^2)}$
$\qquad \qquad 5x^2-18x+9$
$\qquad \quad \underline{-(5x^2-15x)}$
$\qquad \qquad \qquad -3x+9$
$\qquad \qquad \quad \underline{-(-3x+9)}$
$\qquad \qquad \qquad \quad 0$

Das Ergebnis $2x^2+5x-3$ ist auch hier wieder ein quadratischer Term, den wir gleich $0$ setzen und mit einer Lösungsformel lösen können:

$2x^2+5x-3 = 0$

Diesmal wenden wir die Mitternachtsformel an:

$x_{2,3}= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{-5 \pm 7}{4} = \frac{-5}{~\,4} \pm \frac{7}{4}$

Also können wir berechnen:

$x_2 = \frac{-5}{~\,4} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

$x_3 = \frac{-5}{~\,4} - \frac{7}{4} = -\frac{12}{4} = -3$

Die Funktion $p(x)$ hat also wiederum drei Nullstellen: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{2}$ und $x_3 = -3$.

Die vollständige Linearfaktorzerlegung von $p(x)$ sieht damit folgendermaßen aus:

$p(x) = 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = (x - 3) \cdot \left( x - \frac{1}{2} \right) \cdot (x + 3)$

Wenn eine Nullstelle bereits angegeben ist oder erraten werden kann, hilft die Polynomdivision bei der Linearfaktorzerlegung.
Eine erste Nullstelle kann durch Probieren gefunden werden oder anhand des konstanten Gliedes. Das konstante Glied $\left( a_0 \right)$ ist immer ein Vielfaches einer Nullstelle.

Nullstellen berechnen durch Substitution

Eine dritte Möglichkeit der Vereinfachung von Funktionstermen ist die Substitution. Diese Methode hilft allerdings nur bei bestimmten Polynomen bei der Nullstellensuche weiter. Folgende Voraussetzung muss erfüllt sein:

Um eine Substitution sinnvoll anwenden zu können, dürfen in einem Funktionsterm nur Potenzen von $x$ vorkommen, deren Exponenten genau das Doppelte voneinander sind.

Betrachten wir ein Beispiel:

$q(x) = x^4 - 13x^2 + 36$

Hier gibt es kein $x^3$ und kein $x^1$ (die Koeffizienten $a_3$ und $a_1$ sind gleich $0$). Als Potenzen von $x$ treten nur $x^4$ und $x^2$ auf. Der Exponent $4$ ist genau das Doppelte des Exponenten $2$. Also ist eine Substitution möglich.

Beachte: Bei einer Funktion 3. Grades ist eine Substitution in der Regel nicht sinnvoll, deshalb betrachten wir hier eine Funktion 4. Grades.

1. Schritt der Substitution: Substituieren

Der Sinn der Substitution ist nun, die großen Potenzen des Funktionsterms durch kleinere zu ersetzen, also zu substituieren.
Das geht mit folgendem Kniff: Wir führen eine neue Variable ein (wir nennen sie $z$). Mit dieser Variable ersetzen wir $x$ im Funktionsterm. Es soll gelten:

$z = x^2$

Setzen wir also $z$ in die Funktion $q(x)$ ein, erhalten wir:

$q(z) = z^2 - 13z + 36$

Damit haben wir aus der Funktion 4. Grades eine quadratische Funktion gemacht, deren Nullstellen wir nun mithilfe der $pq$-Formel bestimmen können:

$z^2 - 13z + 36 = 0$

$z_{1,2} = -\left( -\frac{13}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( -\frac{13}{2} \right)^2 - 36} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{ \frac{169}{4} - \frac{36\,\cdot\,4}{4}} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4}} = \frac{13}{2} \pm \frac{5}{2}$

Also können wir berechnen:

$z_1 = \frac{13}{2} + \frac{5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$z_2 = \frac{13}{2} - \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Das sind nun allerdings nicht die gesuchten Nullstellen der Funktion $q(x)$, sondern von $q(z)$. Wir müssen die Substitution wieder rückgängig machen, um die $x$-Werte der korrekten Nullstellen zu erhalten.

2. Schritt der Substitution: Resubstituieren

Mithilfe einer sogenannten Resubstitution machen wir die Substitution wieder rückgängig. Da wir mit $z = x^2$ substituiert haben, muss im Umkehrschluss gelten:

$x = \pm \sqrt{z}$

Wir ziehen also von den Stellen $z_1$ und $z_2$ jeweils die Wurzel, um die tatsächlichen Nullstellen der Funktion $q(x)$ zu erhalten:

$x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = \sqrt{z_2} = \sqrt{4} = 2$

Dabei dürfen wir aber nicht vergessen, auch mögliche negative Lösungen zu berücksichtigen (die durch das Quadrieren verloren gegangen sind):

$x_3 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{9} = -3$
$x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{4} = -2$

Die Funktion $q(x)$ hat also vier Nullstellen: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$ und $x_4 = -2$.

Vier Nullstellen sind möglich, da es sich um eine Funktion 4. Grades handelt.

Eine Substitution dient dazu, große Potenzen durch kleinere zu ersetzen.
Nach dem Lösen der substituierten Gleichung muss eine Resubstitution durchgeführt werden, um die Nullstellen der ursprünglichen Funktion zu erhalten. Dabei müssen auch zusätzliche negative Lösungen berücksichtigt werden.

Beispiel – Substitution bei einer Funktion höheren Grades

Sehen wir uns noch eine Beispiel einer Funktion höheren Grades an:

$r(x) = x^6 - 6x^3 - 16$

Es treten nur die Potenzen $x^6$ und $x^3$ auf. Damit ist auch hier eine Substitution hilfreich, nämlich mit folgender Variablen $z$:

$z = x^3$

Wenn wir diese Variable in $r(x)$ einsetzen, erhalten wir:

$r(z) = z^2 - 6z - 16$

Setzen wir diesen Funktionsterm nun gleich $0$, können wir wieder die $pq$-Formel anwenden:

$z^2 - 6z - 16 = 0$

$z_{1,2} = -\left( -\frac{6}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( -\frac{6}{2} \right)^2 - (-16)} = 3 \pm \sqrt{9 + 16} = 3 \pm 5$

Damit erhalten wir:

$z_1 = 3 + 5 = 8$

$z_2 = 3 - 5 = -2$

Jetzt führen wir die Resubstitution durch:

$x_1 = \sqrt[3]{z_1} = \sqrt[3]{8} = 2$

$x_2 = \sqrt[3]{z_2} = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$

Achtung!
Die dritte Wurzel erlaubt auch ein negatives Argument, hier $z_2 = -2$. Allerdings gehen hier keine Lösungen verloren, denn alle negativen Lösungen bleiben auch bei der Bildung der dritten Potenz negativ. Das bedeutet, neben $x_1 = 2$ und $x_2 = -\sqrt[3]{2}$ gibt es keine weiteren Nullstellen!

(Das heißt, $-2$ und $\sqrt[3]{2}$ sind keine Nullstellen von $r(x)$. Denn dann müsste $(-2)^3 = -8 = z_1$ und $(\sqrt[3]{2})^3 = 2 = z_2$ gelten. Dies ist aber nicht der Fall. Stattdessen trifft $z_1 = 8$ und $z_2 = -2$ zu.)

Nullstellen berechnen bei einer Funktion höheren Grades

Bei der Methode der Substitution haben wir uns ganzrationale Funktionen angesehen, die einen Grad größer als 3 haben. Generell spricht man ab dem Grad 3 von Funktionen höheren Grades.
Bei manchen Funktionen höheren Grades – insbesondere bei solchen, die nicht für eine Substitution geeignet sind – muss mehrfach eine Polynomdivision durchgeführt werden, bis eine quadratische Lösungsformel zur Berechnung der Nullstellen angewendet werden kann.

Durch jede Polynomdivision (bei der durch einen Linearfaktor geteilt wird), verringert sich der Grad eines gegebenen Polynoms um 1. Um mehrere Polynomdivisionen hintereinander durchführen zu können, müssen allerdings auch mehrere Nullstellen bekannt sein, um durch mehrere entsprechende Linearfaktoren teilen zu können.

Eine Polynom 5. Grades der Form $a_5x^5 + a_4x^4 +a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ muss beispielsweise durch drei Linearfaktoren geteilt werden, um es auf einen quadratischen Term reduzieren zu können:

$(a_5x^5 + a_4x^4 +a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) : (x - x_1) = b_4x^4 + b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0$
$(b_4x^4 + b_3x^3 + b_2x^2 + b_x + b_0) : (x - x_2) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$
$(c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0) : (x - x_3) = \underbrace{d_2x^2 + d_1x + d_0}_{\text{lösbar}}$

Es müssen also in diesem Fall drei Nullstellen $\left(x_1, x_2, x_3 \right)$ bereits bekannt sein oder erraten werden.

Bei gebrochen rationalen Funktionen höheren Grades helfen im Prinzip die gleichen Methoden bei der Nullstellensuche, die wir hier gezeigt haben. Dabei reicht es aus, das Polynom im Zähler einer gebrochen rationalen Funktion zu betrachten – denn Nullstellen des Zählers sind auch Nullstellen der gesamten Funktion.
Allerdings ist zu beachten, dass eventuelle Nullstellen des Polynoms im Nenner sogenannte Definitionslücken der Funktion sind. Wenn eine gefundene Nullstelle des Zählerpolynoms also auch eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist, dann ist dies keine Nullstelle der gesamten, gebrochen rationalen Funktion (da es sich dann um eine Definitionslücke handelt).

Zusammenfassung der Berechnung der Nullstellen einer Funktion 3. Grades

  • Eine Funktion 3. Grades hat einen Funktionsterm der Form
    $f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$,
    d. h. $x^3$ kommt als höchste Potenz von $x$ vor.
  • Die Nullstellen einer solchen Funktion können auf verschiedene Art berechnet werden. Das Ziel ist dabei meist, den Funktionsterm so weit zu vereinfachen, dass eine Lösungsformel für quadratische Funktionen angewendet werden kann.
  • Insbesondere bei Funktionen, bei denen das konstante Glied $a_0$ gleich $0$ ist, hilft Ausklammern (von $x$), um den Funktionsterm zu vereinfachen.
  • Ist eine Nullstelle bereits bekannt, kann der Funktionsterm durch eine Polynomdivision vereinfacht und schließlich in Linearfaktoren zerlegt werden.
  • Wenn nur bestimmte Potenzen von $x$ auftreten (z. B. nur Potenzen, deren Exponenten genau das Doppelte voneinander sind), kann eine Substitution hilfreich sein.

Nullstellen von Funktionen höheren Grades berechnen – Übungen

Anhand der folgenden zwei Übungsaufgaben kannst du das Berechnen der Nullstellen einer Funktion höheren Grades noch einmal selbst üben.

Bestimmte die Nullstellen von $f(x) = \frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+2$
Bestimmte die Nullstellen von $g(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{5}{4}x^2+\frac{9}{4}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnen

Was ist eine Funktion 3. Grades?
Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion 3. Grades?
Was sind Nullstellen bei einer Funktion 3. Grades?

Transkript Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Was ist für dich der „absolute Nullpunkt“? Dein Interesse für Mathe? Oder die tiefste Temperatur, die es gibt? Null Kelvin? Wir steigen heute mal hinab in die „tiefsten Tiefen der Nullstellensuche“, und lernen, wie man „Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen“ kann. Die Fragen, wozu Nullstellen gut sind und wie man sie bei einfachen Funktionen herausfindet, haben wir längst hinter uns gelassen. Uns geht es um die harten Brocken: Funktionen höheren Grades, die man nicht einfach umstellen kann, und für die es keine Lösungsformel gibt. Eiskalte Funktionen, wie diese hier. Unser Ziel ist es, den Funktionsterm zu faktorisieren, also in ein Produkt aus „Linearfaktoren“ umzuwandeln. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann „gleich Null“ wird, wenn einer der Faktoren „gleich Null“ ist. Das ist der „Satz vom Nullprodukt“. Wie kommt man aber auf die Linearfaktoren? Dabei hilft die „Polynomdivision“. Sobald man eine Nullstelle kennt, kann man das „Polynom“, also hier den gesamten Funktionsterm, durch „x Minus die Nullstelle“ teilen, also dividieren. Das Ergebnis wird ein vereinfachter Faktor sein. Wenn man diesen wieder mit dem „Divisor“ multiplizieren würde, käme man wieder auf den ursprünglichen Term. Der Term wird also in zwei Faktoren zerlegt. Aber da gibt's ein Problem! Damit das klappt, muss ja eine Nullstelle bereits bekannt sein! Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten: Entweder, eine Nullstelle ist bereits angegeben – das wäre natürlich ein Lichtblick. oder, es lässt sich eine Nullstelle durch Probieren herausfinden. Jap, einfach mal irgendwas Einsetzen ist hier tatsächlich das Mittel der Wahl! Üblicherweise sind „Eins“ und „Minus-Eins“ gute Kandidaten. Klappt das nicht, lohnt es sich, das „absolute“ oder auch „konstante Glied“ des Polynoms genauer zu betrachten. Dieses ist nämlich immer das Vielfache einer Nullstelle, wie in diesem Beispiel ein Vielfaches von „x-Eins gleich Drei“. Okay! Jetzt haben wir eine Nullstelle, und legen los mir der Polynomdivision! Wir stellen also „x minus Drei“ als Divisor hinter den Funktionsterm. Im ersten Schritt wird nun der erste Summand durch „x“ geteilt. Also überlegen wir uns, womit wir „x“ multiplizieren müssten, damit „Zwei x hoch Drei“ herauskommt – richtig, mit „Zwei x-Quadrat“. Jetzt machen wir genau das: Wir multiplizieren den gesamten Divisor mit „Zwei x-Quadrat“ und erhalten das gewünschte „Zwei x hoch Drei“, und „Minus-Sechs x-Quadrat“, das hier noch dazukommt und auch unter den Funktionsterm geschrieben wird. Dann ziehen wir die zweite Zeile von der ersten ab. Dazu setzen wir den gerade erhaltenen Term in Klammern und ein „Minus“ davor. So drehen sich die Vorzeichen um und wir können die zwei Zeilen einfach zusammenrechnen. „Zwei x hoch Drei“ fällt dabei heraus – das war ja der Plan. Die restlichen Terme werden auch addiert, und das Ergebnis nach unten geschrieben. Das wiederholen wir jetzt so oft, bis alle Summanden abgearbeitet sind. Als nächstes betrachten wir also „Fünf x-Quadrat“. Das bekommen wir, wenn wir x mit „Fünf x“ multiplizieren – also machen wir das. Jetzt führen wir die Multiplikation wieder mit dem ganzen Divisor aus, und schreiben das Ergebnis in die nächste Zeile. Wir drehen wieder die Vorzeichen der Zeile um, und addieren dann die beiden letzten Zeilen. Ein letzter Schritt noch: „Minus-drei“ mal x ergibt „Minus-drei x“, und „Minus-drei mal Minus-drei“ gibt Neun. Jetzt wird nach dem Umdrehen der Vorzeichen, und der Addition der Zeilen, kein Rest mehr bleiben. Die Polynomdivision ist also aufgegangen. Damit haben wir den Funktionsterm erfolgreich in zwei Faktoren zerlegt. Der zweite Faktor ist nun für sich genommen eine quadratische Gleichung, die mit der P-Q-Formel oder der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Daraus ergeben sich zwei weitere Nullstellen, „x-zwei gleich Einhalb“ und „x-drei gleich Minus-drei“. Mit diesen haben wir dann alle Linearfaktoren beisammen. Die Polynomdivision klappt bei allen Polynomen höheren Grades, nur musst du sie eventuell mehrmals hintereinander ausführen, bis alles zerlegt ist. Bei einer „gebrochen rationalen Funktion“ reicht es, nur das Polynom im Zähler zu zerlegen. Denn die Nullstellen des Zählers sind auch die Nullstellen der gesamten Funktion, solange sie nicht auch Nullstellen des Nenners sind und damit Definitionslücken wären. So, jetzt lass uns das Wichtigste nochmal zusammenfassen! Die „Polynomdivision“ dient dazu, einen Funktionsterm höheren Grades zu faktorisieren. Sie wird anhand einer bereits bekannten Nullstelle der Polynomfunktion durchgeführt, und beinhaltet mehrere Rechenschritte, die immer nach dem gleichen Muster ablaufen. Durch die Faktorisierung können schließlich weitere Nullstellen der Funktion ermittelt werden. Und so finden wir schließlich auch die allerletzte Nullstelle, unseren absoluten Nullpunkt. Bloß wer holt uns jetzt hier wieder raus?

Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib Eigenschaften der Polynomdivision an.

    Tipps

    Ziel der Polynomdivision ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in Linearfaktoren zu zerlegen.

    Das Ergebnis einer Polynomdivision können wir zum Beispiel mit der $pq$- oder Mitternachtsformel auf weitere Nullstellen untersuchen.

    Lösung

    Wir betrachten Funktionen höheren Grades:

    $f_n(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0$

    Für die Nullstellen von Funktionen höheren Grades gibt es keine Lösungsformel. Ist jedoch eine Nullstelle bereits bekannt, so können wir die Polynomdivision nutzen, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.
    Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
    Bei der Polynomdivision dividieren wir den Funktionsterm durch einen Linearfaktor. Dabei verwenden wir die bereits bekannte Nullstelle $x_0$:

    $\left(a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0x^0\right) : (x-x_0)$

    Folgende Aussagen sind somit richtig:

    • Die Polynomdivision hilft uns, die Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen.
    • Um die Polynomdivision anwenden zu können, müssen wir eine Nullstelle bereits kennen.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Mithilfe der Polynomdivision können wir die Linearfaktoren einer Funktion ausmultiplizieren.
    Falsch, stattdessen können wir mithilfe der Polynomdivision die Linearfaktoren einer Funktion ermitteln und diese dann faktorisieren.
    • Das Ergebnis der Polynomdivision entspricht immer einem Linearfaktor.
    Falsch, stattdessen entspricht der Divisor bei der Polynomdivision einem Linearfaktor. Das Ergebnis ist hingegen im Allgemeinen nicht linear. (Ausnahme: Wenn du einen quadratischen Term durch einen Linearfaktor teilst, erhältst du einen zweiten Linearfaktor. In diesem Fall wenden wir in der Regel aber nicht die Polynomdivision, sondern die $pq$- oder die Mitternachtsformel an.)

  • Vervollständige die Polynomdivision.

    Tipps

    Die Vorgehensweise bei der Polynomdivision entspricht der Vorgehensweise beim schriftlichen Dividieren von ganzen Zahlen.

    Achte auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.

    $2x^2 \cdot (x-3) = 2x^3-6x^2$

    Lösung

    Die Polynomdivision nutzen wir beim Bestimmen der Nullstellen von Funktionen höheren Grades.
    Ziel ist es dabei, den Funktionsterm in Linearfaktoren zu zerlegen. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
    Um die Linearfaktoren zu ermitteln, hilft uns die Polynomdivision. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.

    In unserem Fall lautet die Funktion
    $f(x)=2x^3-x^2-18x+9$.
    Die erste bekannte Nullstelle ist
    $x=3$.
    Wir dividieren den Funktionsterm also durch $(x-3)$, um den Funktionsterm in zwei Faktoren zu zerlegen:

    $(2x^3-x^2-18x+9) : (x-3)$

    Die gesamte Polynomdivision siehst du oben. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    • Wir teilen den ersten Summanden $2x^3$ durch $x$, indem wir überlegen, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $2x^3$ herauskommt. Das Ergebnis $2x^2$ notieren wir hinter dem Gleichheitszeichen.
    • Wir multiplizieren den gesamten Divisor, also $(x-3)$ mit $2x^2$ und schreiben das Ergebnis $2x^3-6x^2$ unter den Funktionsterm.
    • Wir subtrahieren nun die zweite Zeile von der ersten. Dabei fällt $2x^3$ weg und es bleibt $5x^2-18x+9$.
    • Wir überlegen nun, womit wir $x$ multiplizieren müssen, damit $5x^2$ herauskommt. Das Ergebnis $5x$ addieren wir beim Ergebnis.
    • Wir multiplizieren den ganzen Divisor mit $5x$ und erhalten $5x^2-15x$.
    • Wir subtrahieren diesen Term von der vorherigen Zeile und erhalten $-3x+9$.
    • Wir dividieren $-3x$ durch $x$ und notieren das Resultat $-3$ beim Ergebnis.
    • Wir multiplizieren $-3$ mit dem Divisor und schreiben das Ergebnis unter die letzte Zeile.
    • Beim Subtrahieren erhalten wir nun $0$, die Polynomdivision ist damit abgeschlossen.
    Wir können nun die Funktion in faktorisierter Form schreiben:

    $f(x)= (2x^3-x^2-18x+9)= (2x^2+5x-3) \cdot (x-3)$

    Wir können die übrigen Nullstellen mittels der $pq$-Formel oder Mitternachtsformel ermitteln, indem wir die quadratische Gleichung $2x^2+5x-3=0$ lösen. Die Funktion hat die Nullstellen:

    $x_1=3$, $x_2=- \dfrac{1}{2}$, $x_3=-3$

  • Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ mithilfe der Polynomdivision.

    Tipps

    Bestimme zuerst die erste Nullstelle, indem du verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung einsetzt und überprüfst, ob das Ergebnis Null ist.

    Die letzten beiden Nullstellen erhältst du, indem du eine quadratische Gleichung löst.

    Lösung

    Wir wollen die Nullstellen der Funktion ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir im Beispiel wie folgt vor:

    $f(x)=3x^3+1{,}5x^2-19{,}5x+9$

    1. Erste Nullstelle durch Probieren ermitteln:

    Wir setzen verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

    $f(1)= 3 \cdot 1^3 + 1{,}5 \cdot 1^2 - 19{,}5 \cdot 1 + 9 = -6{,}5$
    $f(2)= 3 \cdot 2^3 + 1{,}5 \cdot 2^2 - 19{,}5 \cdot 2 + 9 = 0$

    $\Rightarrow ~ x_1=2$ ist also unsere erste Nullstelle.

    2. Polynomdivision anwenden:

    Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&+1{,}5x^2~\,& -19{,}5x~\,& +9) & : & (x-2) & = & 3x^2 & +7{,}5x & -4{,}5 \\ -& (3x^3 & -6x^2)&&&&&& \\ \hline & & 7{,}5x^2 & -19{,}5x~\,& +9~\,& \\ & - & (7{,}5x^2 & -15x) & \\ \hline & & & -4{,}5x & +9~\, \\ & &- & (-4{,}5x & +9) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

    3. Quadratische Gleichung lösen:

    Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2+7{,}5x-4,5) \cdot (x-2)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

    $3x^2+7{,}5x-4{,}5 = 0$

    Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:

    $x^2+2{,}5x - 1{,}5=0$

    Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:

    $\begin{array}{ccll} x^2+2{,}5x-1{,}5 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{2{,}5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{2{,}5}{2}\right)^2+1{,}5} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm \sqrt{3{,}0625} &\\ x_{2/3} & = & - 1{,}25 \pm 1{,}75&\\ \end{array}$

    Die Funktion hat also die Nullstellen:

    $x_1=2$
    $x_2= -1{,}25 + 1{,}75 =0{,}5$
    $x_3= -1{,}25 - 1{,}75 =-3$

  • Wende die Polynomdivision an.

    Tipps

    Ermittle jeweils zuerst, mit welchem Term du $x$ multiplizieren musst, um den ersten Summanden der Funktion zu erhalten. Multipliziere anschließend den gesamten Divisor mit diesem Term.

    In diesem Bild kannst du ein Beispiel für eine Polynomdivision sehen.

    Lösung

    Die Polynomdivision wird wie die normale schriftliche Division durchgeführt. Ziel ist es, einen Funktionsterm höheren Grades in seine Linearfaktoren zu zerlegen, um seine Nullstellen zu bestimmen. Dazu müssen wir die erste Nullstelle kennen.

    In dieser Aufgabe ist die erste Nullstelle jeweils gegeben, sodass wir die Polynomdivision direkt durchführen können.

    Erste Funktion: $f(x)=x^3-4x^2-11x+30$

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3& -4x^2~\,& -11x~\,& +30) & : & (x-2) & = & x^2 & -2x & -15 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -2x^2 & -11x~\,& +30~\,& \\ & - & (-2x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -15x & +30~\, \\ & &- & (-15x & +30) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

    Zweite Funktion: $f(x)=4x^3+8x^2-20x-24$

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(4x^3& +8x^2~\,& -20x & -24) & : & (x+1) & = & 4x^2 & +4x & -24 \\ -& (4x^3 & +4x^2)&&&&&& \\ \hline & & 4x^2 & -20x~\,& -24~\,& \\ & - & (4x^2 & +4x) & \\ \hline & & & -24x & -24~\, \\ & &- & (-24x & -24) \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

    Dritte Funktion: $f(x)=x^3-9x$

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&& -10x~\,& +3)& : & (x-3) & = & x^2 & +3x & -1 \\ -& (x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & 3x^2 & -10x~\,& +3~\,& \\ & - & (3x^2 & -9x) & \\ \hline & & & -x & +3~\,& \\ &&-&(-x & +3) & \\ \hline &&&&0~\, \end{array}$

  • Bestimme die Nullstellen der Funktion aus den Linearfaktoren.

    Tipps

    Beispiel:

    $f(x)=(x-1)(x+4)(x-6)$ hat die Nullstellen:

    • $ x_1=1$
    • $ x_2=-4$
    • $ x_3=6$

    Ein konstanter Faktor hat keinen Einfluss auf die Nullstellen.

    Lösung

    Eine Funktionsgleichung, welche in Linearfaktoren zerlegt ist, sieht wie folgt aus:

    $f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$

    Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann also je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

    Wir betrachten dies an den gegebenen Funktionen:

    Erste Funktion: $f_1(x)=3(x-2)(x+1)$
    Die Funktion ist genau dann Null, wenn eine der beiden Klammern Null ist. Der konstante Faktor $3$ hat darauf keinen Einfluss. Somit ergeben sich die beiden Nullstellen:

    • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=2$
    • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$
    Zweite Funktion: $f_2(x)=(x-3)(x+1)(x-2)$
    Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:
    • $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=3$
    • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-1$
    • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=2$
    Dritte Funktion: $f_3(x)=(x+1)(x-2)(x+3)$
    Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren, also eine der drei Klammern Null ist. Daraus ergeben sich folgende Nullstellen:
    • $x+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=-1$
    • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
    • $x+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=-3$
    Vierte Funktion: $f_4(x)= x(x-2)(x-3)$
    Die Funktion ist genau dann Null, wenn einer der drei Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist $x$, daher ist die erste Nullstelle $x_1=0$. Insgesamt ergeben sich folgende Nullstellen:
    • $x_1=0$
    • $x-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_2=2$
    • $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=3$

  • Ermittle die Linearfaktordarstellung der Funktion.

    Tipps

    Gehe bei der ersten Funktion nach folgenden Schritten vor:

    • erste Nullstelle durch Probieren ermitteln
    • Polynomdivision durchführen
    • Quadratische Gleichung aufstellen und lösen
    • Nullstellen in Linearfaktorzerlegung einsetzen

    Hat eine Funktionsgleichung keinen konstanten Summanden, so kannst du ein $x$ ausklammern. Nach dem Satz vom Nullprodukt lautet eine Nullstelle dann $x_1=0$.

    Lösung

    Eine Funktion in Linearfaktordarstellung sieht wie folgt aus:

    $f(x)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n)$

    Dabei sind $x_1, ... , x_n$ die Nullstellen der Funktion. Um eine Funktion in ihre Linearfaktoren zu zerlegen, müssen wir also ihre Nullstellen ermitteln. Bei einer Funktion höheren Grades müssen wir dazu die erste Nullstelle kennen und wenden dann die Polynomdivision an. Konkret gehen wir wie folgt vor:

    Erste Funktion: $f(x)=3x^3-6x^2-57x+60$

    Wir ermitteln die erste Nullstelle durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

    $f(-1)= 3 \cdot (-1)^3 -6 \cdot (-1)^2 - 57\cdot (-1) + 60 = 6$
    $f(1)= 3 \cdot 1^3 -6 \cdot 1^2 - 57\cdot 1 + 60 = 0$

    $\Rightarrow~ x_1=1$ ist unsere erste Nullstelle.
    Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-1)$ abzuspalten:

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(3x^3&-6x^2~\,& -57x~\, & +60) & : & (x-1) & = & 3x^2 & -3x & -60 \\ -& (3x^3 & -3x^2)&&&&&& \\ \hline & & -3x^2 & -57x~\,& +60~\,& \\ & - & (-3x^2 & +3x) & \\ \hline & & & -60x & +60~\, \\ & &- & (-60x & +60) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

    Wir können nun die Funktion schreiben als $f(x)= (3x^2-3x-60) \cdot (x-1)$. Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, können wir die weiteren Nullstellen der Funktion ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

    $3x^2-3x-60 = 0$

    Dazu dividieren wir zuerst durch $3$ und erhalten:

    $x^2-x - 20=0$

    Wir können nun die $pq$-Formel anwenden:

    $\begin{array}{ccll} x^2-x-20 & = & 0 &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{2/3} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+20} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{20{,}25} &\\ x_{2/3} & = & 0{,}5 \pm 4{,}5&\\ \end{array}$

    Die Funktion hat also die Nullstellen:

    $x_1=1$
    $x_2= 0{,}5 + 4{,}5 =5$
    $x_3= 0{,}5-4{,}5 =-4$

    Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren. Dabei dürfen wir den Faktor $3$, den wir vorher beim quadratischen Term herausdividiert haben, nicht vergessen:

    $f(x)=3(x-1)(x-5)(x+4)$

    $\,$

    Zweite Funktion: $f(x)=x^4-3x^3-4x^2+12x$

    Da die Funktion keinen konstanten Faktor hat, können wir $x$ ausklammern:

    $f(x)= x(x^3-3x^2-4x+12)$

    $\Rightarrow~ x_1=0$ ist die erste Nullstelle.
    Wir bestimmen nun die weiteren Nullstellen, indem wir ermitteln, für welche $x$ der Term $(x^3-3x^2-4x+12)$ gleich Null wird. Den ersten $x$-Wert ermitteln wir durch Probieren. Dazu setzen wir verschiedene natürliche Zahlen ein und überprüfen, ob das Ergebnis Null ist:

    $x= 1$: $~1^3-3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1+12 = 6$
    $x = 2$: $~2^3-3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2+12 = 0$

    $\Rightarrow~ x_2=2$ ist eine weitere Nullstelle.
    Wir wenden nun die Polynomdivision an, um den ersten Linearfaktor $(x-2)$ abzuspalten:

    $\begin{array}{rrrrrccc} &(x^3&-3x^2~\,& -4x~\,& +12)& : & (x-2) & = & x^2 & -x & -6 \\ -& (x^3 & -2x^2)&&&&&& \\ \hline & & -x^2 & -4x~\,& +12~\,& \\ & - & (-x^2 & +2x) & \\ \hline & & & -6x & +12~\, \\ & &- & (-6x & +12) \\ \hline &&&&0 \end{array}$

    Die weiteren Nullstellen der Funktion können wir also ermitteln, indem wir die folgende quadratische Gleichung lösen:

    $x^2-x-6 = 0$

    Wir wenden dazu die $pq$-Formel an:

    $\begin{array}{ccll} x^2-x-6 & = & 0 &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\\ x_{3/4} & = & - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{-1}{2}\right)^2+6} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} &\\ x_{3/4} & = & 0{,}5 \pm 2{,}5&\\ \end{array}$

    Die Funktion hat also die Nullstellen:

    $x_1=0$
    $x_2=2$
    $x_3= 0{,}5 + 2{,}5 =3$
    $x_4= 0{,}5-2{,}5 =-2$

    Wir können nun den Funktionsterm mithilfe der Linearfaktoren notieren:

    $f(x)=x(x-2)(x-3)(x+2)$