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Geometrische Grundbegriffe – Überblick

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Team Digital
Geometrische Grundbegriffe – Überblick
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Geometrische Grundbegriffe – Überblick

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Grundbegriffe der Geometrie zu definieren.

Zunächst lernst du die Begriffe Punkt und Strecke im geometrischen Zusammenhang kennen. Anschließend lernst du den Unterschied zwischen einer Strecke, einem Strahl und einer Geraden kennen. Abschließend lernst du Winkel kennen, die durch Schnittpunkte gebildet werden und was Flächen und sogar Körper sind.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Punkt, Linie, Strecke, Strahl, Gerade, Schnittpunkt, Winkel, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, rechter Winkel, Fläche und Körper.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits einfache Formen kennen.

Transkript Geometrische Grundbegriffe – Überblick

Jetzt: Geometrische Grundbegriffe! Im Anfang war das Nichts. Oh! Ein Punkt! Ein Punkt ist ein geometrisches Objekt, das keine Ausdehnung besitzt. Man kann ihn so stark vergrößern, wie man möchte aber dadurch ändert sich nichts. Der Punkt bleibt ein Punkt. Wenn man ihn auf ein Blatt Papier zeichnen möchte, benutzt man dafür aber manchmal ein Kreuz. Das ist nämlich besser zu erkennen und lässt sich leichter zeichnen. Mit einem Punkt kann man eine Position bezeichnen, zum Beispiel auf einer Landkarte. Auf der Karte kann der Punkt ein Haus bedeuten oder eine Stadt. Die besitzen natürlich eine Größe – anders als ein geometrischer Punkt. So ein geometrischer Punkt ohne Ausdehnung ist ein mathematisches Konzept. Was man im Alltag als Punkt bezeichnet, entspricht diesem Konzept nicht ganz. Huch! Noch ein Punkt! Zwei verschiedene Punkte können immer durch eine Strecke verbunden werden! Dabei ist die Strecke die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Punkten. Deshalb haben Strecken keine Kurven! Sie verlaufen ganz gerade. Aber dafür haben sie eine Länge! Zum Beispiel können auf der Landkarte zwei Städte durch eine gerade Straße verbunden sein. Dann entspricht die Strecke dieser Straße. Und die Länge der Straße kann man durch die Länge der Strecke angeben. Was denn nun? Ah ja! Das ist ein Strahl! So ein Strahl – man sagt auch Halbgerade – hat einen Anfangspunkt, von dem er ausgeht, aber keinen Endpunkt und damit auch kein Ende. Er ist also unendlich lang – anders als eine Strecke. So ein bisschen wie ein Laserstrahl. Solange nichts im Weg des Laserstrahls steht, startet er in der Laserkanone und geht schnurgerade ohne Ende immer weiter. Immer weiter. Ohne Ende. Verlängert man den Strahl auf der anderen Seite aber ebenfalls bis ins Unendliche. Dann bekommt man eine Gerade. Durch zwei gegebene Punkte verläuft immer eine – und nur eine – Gerade. Eine Gerade ist ausgesprochen gerade. Sie hat keinerlei Kurven, keinerlei Breite, keinerlei Tiefe, keinerlei Anfang und keinerlei Ende. Diesem Video also nicht unähnlich. Mein Gott! Was tust du? Zwei Geraden können sich schneiden – und zwar in einem Schnittpunkt. Dort liegt ein Winkel zwischen den beiden Geraden an. Winkel gibt es viele. Insbesondere spitze und stumpfe. Wenn die zwei Geraden genau aufeinander liegen, bilden sie einen – sehr flachen – Winkel von 180 Grad. Das nennt man einen gestreckten Winkel. Wenn sich die Geraden so schneiden, dass diese vier Winkel alle gleich sind, dann sind sie alle rechten Winkel – sie haben 90 Grad. Und hier sehen wir eine Fläche. Eine Fläche ist in Länge und Breite begrenzt – und sehr flach. Sie hat einen Inhalt – den Flächeninhalt. Flächen können von verschieden vielen Strecken umgrenzt sein. Aber auch von Kurven: das hier zum Beispiel ist ein Kreis. Die Längen aller Begrenzungsstrecken oder -Kurven zusammengenommen nennt man den Umfang der Fläche. Mit Flächen und ihren Inhalten kannst du den Platz auf deinem Handydisplay beschreiben. Oder die Größe eines Fußballfeldes. Das ist aber alles so zweidimensional – anders ist da ein Körper! So ein Körper hat nicht nur eine Länge und Breite, sondern auch eine Höhe. Natürlich hat auch ein Körper einen Inhalt – den nennt man Volumen. Jeder Körper ist von Flächen begrenzt. Das können unterschiedliche viele sein und auch ganz verschiedene Flächen. Sie können sogar gekrümmt sein – wie bei diesem Kegel, diesem Zylinder oder dieser Kugel. Das hier ist ein Würfel – ein ganz besonders regelmäßiger Körper. Alle Begrenzungsflächen zusammen nennt man Oberfläche des Körpers. Und der Flächeninhalt dieser Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Begrenzungsflächen. Es gibt noch viel mehr in der Geometrie zu entdecken; aber fürs Erste wollen wir es dabei belassen und fassen zusammen. Wir haben gesehen, dass ein Punkt ein ausdehnungsloses geometrisches Objekt ist, das eine Position beschreiben kann. Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Ein Strahl geht von einem Punkt aus und erstreckt sich unendlich weit in eine Richtung. Eine Gerade schließlich hat weder einen Anfang noch ein Ende, sondern ist in beiden Richtungen unendlich. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden, Strahlen oder Strecken liegt immer ein Winkel an. Flächen sind in Länge und Breite begrenzte Bereiche und haben einen Flächeninhalt und einen Umfang. Körper sind in Länge, Breite und Höhe begrenzte Bereiche und besitzen ein Volumen und einen Oberflächeninhalt. Und im Ende war das Nichts.

87 Kommentare

87 Kommentare
  1. Super erklärt, hab alles verstanden

    Von Saf, vor 4 Tagen
  2. Das Video war gut erklt .

    Von Mia, vor etwa einem Monat
  3. Genau gute Animation und geräusche

    Von Finian, vor etwa einem Monat
  4. Beste Animation und gut erklärt

    Von Clinix, vor etwa einem Monat
  5. Coole Animation und echt gut erklärt. Hab es viel besser verstanden

    Von Hello, vor etwa einem Monat
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Geometrische Grundbegriffe – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrische Grundbegriffe – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu geometrischen Grundbegriffen.

    Tipps

    Hier schneiden sich zwei Geraden.

    Dieses geometrische Konstrukt heißt Strecke.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten heißt Gerade. Sie hat keine Kurven und eine endliche Länge“

    • Dieses geometrische Objekt heißt Strecke. Eine Gerade kommt aus dem Unendlichen und verschwindet dort.
    „Schneiden sich ein Strahl und eine Strecke, entsteht zwischen ihnen kein Winkel.“

    • Immer wenn sich zwei Linien schneiden, entstehen dort Winkel (siehe Abbildung).
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Ein Punkt ist ein geometrische Objekt, das keine Ausdehnung besitzt.“

    • Natürlich hat jeder Punkt, den du auf ein Blatt Papier zeichnest, eine kleine Ausdehnung. Man nimmt allerdings an, dass das mathematische Objekt, das er darstellt, keine Ausdehnung besitzt.
    „Schneiden sich zwei Geraden, entsteht zwischen ihnen immer ein Winkel.“

    • Winkel beschreiben die verschiedenen Möglichkeiten, wie zwei Längen zueinander stehen können. Deshalb spannen zwei sich schneidende Längen immer einen Winkel auf.
    „Schneiden sich zwei Geraden nicht im rechten Winkel, entsteht zwischen ihnen immer ein spitzer und ein stumpfer Winkel.“

    • Eine Seite einer Geraden spannt einen Winkel von $180^{\circ}$ auf. Wird dieser Winkel durch eine weitere Gerade in zwei ungleich große Stücke geteilt, muss einer der beiden Winkel spitz ($\alpha<90^{\circ}$) und der andere stumpf sein ($\beta>90^{\circ}$).
  • Beschreibe die Eigenschaften von Flächen und Körpern.

    Tipps

    Dies ist eine Fläche, die nur von einer gekrümmten Linie umgeben wird.

    Das ist ein Körper, der nur von einer gekrümmten Fläche umgeben wird.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Eine Fläche ist in Länge und Breite begrenzt. Der Inhalt dieser Begrenzungen heißt Flächeninhalt. Sie kann von beliebig vielen Linien begrenzt sein, auch von Kurven. Eine Fläche, die von einer gekrümmten Linie begrenzt wird, ist beispielsweise ein Kreis. Die gesamte Länge der Begrenzungslinien nennt man Umfang.“

    • Eine Fläche ist ein zweidimensionales geometrisches Objekt, deshalb wird es von zwei Längen (Länge und Breite) begrenzt.
    „Ein Körper hat eine Länge, eine Breite und eine Höhe. Der Inhalt des Körpers heißt Volumen. Körper sind begrenzt von Flächen. Diese können alle möglichen Formen annehmen. Sie können auch gekrümmt sein. Ein Beispiel für einen Körper, der nur von einer gekrümmten Fläche begrenzt wird, ist eine Kugel. Die Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers heißt Oberfläche.

    • Ein Körper ist ein dreidimensionales geometrisches Objekt. Er dehnt sich in alle drei Richtungen des Raumes (Länge, Breite und Höhe) aus.
  • Ermittle die Eigenschaften bestimmter geometrischer Figuren.

    Tipps

    Eine Fläche besitzt einen Inhalt und wird durch eine Linie begrenzt.

    Der Inhalt eines Körpers heißt Volumen. Das Volumen ist durch eine Fläche begrenzt.

    Lösung

    So kannst du die Bezeichnungen zuordnen:

    • Eine Punkt hat keine Ausdehnung.
    • Eine Gerade ist unendlich lang.
    • Ein Kreis ist eine Fläche und besitzt einen Flächeninhalt und einen Umfang.
    • Ein Würfel ist ein Körper, der eine Oberfläche und ein Volumen besitzt.
  • Ordne die Bezeichnungen den geometrischen Figuren zu.

    Tipps

    Wir beginnen bei der dreidimensionalen Figur, betrachten dann die zweidimensionale und schließen mit den verschiedenen eindimensionalen Strukturen ab. Diese unterscheiden sich durch die Existenz von Anfangs- bzw. Endpunkten.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du mit Informationen aus dem Video beantworten. Wir beginnen bei der dreidimensionalen Figur, betrachten dann die zweidimensionale und schließen mit den verschiedenen eindimensionalen Strukturen ab. Diese unterscheiden sich durch die Existenz von Anfangs- bzw. Endpunkten:

    „Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur, die durch Flächen begrenzt ist. Er hat ein Volumen und eine Oberfläche. Beispiele dafür sind eine Kugel, ein Quader, oder eine Pyramide.“

    „Eine Fläche ist zweidimensional und wird durch Seitenlängen begrenzt. Sie hat einen Flächeninhalt. Beispiele für Flächen sind ein Kreis, ein Quadrat oder eine Raute.“

    „Eine Gerade ist unendlich lang und hat keine Kurven. Sie kann durch zwei Punkte im Raum aufgestellt werden.“

    „Ein Strahl hat hat einen Anfang, aber kein Ende. Er verschwindet im Unendlichen.“

    „Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt. Die Entfernung zwischen diesen beiden Punkten kann gemessen werden.“

    • Alle diese Linien sind gerade. Die Gerade hat jedoch kein Anfang und kein Ende, der Strahl hat einen Anfang und kein Ende und die Strecke hat Anfang und Ende.
  • Gib die Bezeichnungen verschiedener geometrischer Figuren wieder.

    Tipps

    Ein Würfel ist ein Körper, der durch seine Oberfläche begrenzt wird.

    Lösung

    Die Linie ist ein Strahl; sie hat einen Anfangs- aber kein Endpunkt.

    Der Winkel ist ein rechter Winkel. Die beiden Linien stehen senkrecht aufeinander.

    Die Fläche ist die Oberfläche eines Würfels.

    Der Körper ist ein Würfel.

  • Erschließe die Berechnung einfacher Flächen und Volumen.

    Tipps

    Falls du Probleme hast Flächen von Volumina zu unterscheiden, schau dir die Einheit der Größe an. Flächeneinheiten werden immer zur zweiten Potenz erhoben (z. B. $\text{m}^2$). Volumeneinheiten zur dritten (z. B. $\text{m}^3$).

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Ein Quadrat ist eine Fläche, die von zwei gleich langen Seitenlängen $a$ begrenzt ist. Du kannst den Flächeninhalt des Quadrats berechnen, indem du die beiden Seitenlängen miteinander multiplizierst, also:

    $A=a \cdot a =a^2$

    Hast du ein Quadrat mit Seitenlänge $a=3~\text{m}$ gegeben, ergibt sich für den Flächeninhalt:

    $A=(3~\text{m})^2 = 3^2 \cdot ~\text{m}^2=9~\text{m}^2$“

    • Um Flächen und Volumina zu berechnen, setze deine gegebenen Längen in die Formel zur Berechnung ein.
    „Ein Würfel ist ein Körper, der von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird. Alle Kantenlängen $a$ eines Würfels sind gleich lang. Du kannst das Volumen des Würfels bestimmen, indem du seine Kantenlängen drei mal mit sich selbst multiplizierst.

    $V=a \cdot a\cdot a =a^3$

    Hast du einen Würfel mit Kantenlänge $a=3~\text{m}$ gegeben, ergibt sich für das Volumen:

    $A=(3~\text{m})^3 = 3^3 \cdot ~\text{m}^3=27~\text{m}^3$“

    • Falls du Probleme hast Flächen von Volumina zu unterscheiden, schau dir die Einheit der Größe an. Flächeneinheiten werden immer zur zweiten Potenz erhoben (z. B. $\text{m}^2$). Volumeneinheiten zur dritten (z. B. $\text{m}^3$).
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