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Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem 05:31 min

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Transkript Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem

Stefanie steht total auf Retro-Computerspiele. Jetzt lernt sie zu programmieren, um eigenen Spiele machen zu können. Um ihren Charakter 8bitbot die richtigen Wege gehen zu lassen, muss sie sich mit horizontalen und vertikalen Geraden beschäftigen. Zuerst erstellen wir ein Koordinatensystem. Wir zeichnen und benennen die x-Achse und die y-Achse. Untersuchen wir die horizontale Gerade, auf der 8bitbot sich entlangbewegen soll. Wenn wir Punkte entlang dieser Geraden untersuchen, können wir eine Gleichung aufstellen, die die Gerade beschreibt. Wir wählen einfach ein paar Wertepaare aus: -5 und -2, -3 und -2, 0 und -2 und 2 und -2. Erkennst du ein Muster? Während sich der x-Wert verändert, ist der y-Wert immer -2. Die Gleichung für diese horizontale Gerade lautet also y = -2. Welche Eigenschaften hat diese horizontale Gerade noch? Sie liegt parallel zur x-Achse. Sie wird die x-Achse also niemals schneiden. Also besitzt sie keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie hat aber einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei 0 | -2 und ist orthogonal zur y-Achse. Fällt dir auch etwas zur Steigung dieser horizontalen Geraden auf? Sie scheint überhaupt keine zu haben. Überprüfen wir das, indem wir zwei Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzen. Wir erinnern uns: Die Formel für die Steigung m lautet y2 minus y1 geteilt durch x2 minus x1. Wir werden die Punkte (-5|-2) und (-3|-2) einsetzen, um die Steigung zu berechnen. Das ergibt 0 geteilt durch 2. Moment mal! 0 geteilt durch eine beliebige Zahl ergibt doch immer 0. Also ist die Steigung m gleich 0. Jetzt versteht Stefanie horizontale Geraden. Sie gibt die Gleichung y = -2 in ihr Programm ein. Und schon legt 8bitbot los. Aber er muss sich auch in eine andere Richtung bewegen können. Untersuchen wir also die vertikale Gerade Ebene. Wie bei der horizontalen Geraden können wir einige beliebige Punkte auswählen. Erkennst du ein Muster in diesen Wertepaaren? Ähnlich wie bei der horizontalen Geraden, bei der sich der y-Wert nicht geändert hat, bleibt bei vertikalen Geraden der x-Wert stets gleich. Darum können wir die Gleichung x = 5 aufstellen. Welche anderen Eigenschaften haben vertikale Geraden? Diese vertikale Gerade liegt parallel zur y-Achse, also besitzt sie keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. Sie hat aber einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5|0) und ist orthogonal zur x-Achse, die ja horizontal verläuft. Die vertikale Gerade ist auch orthogonal zu der horizontalen Geraden aus dem ersten Beispiel. Was bedeutet das aber für die Steigung dieser bzw. für die Steigungen aller vertikalen Geraden? Untersuchen wir die Steigung algebraisch mit der Steigungsformel und zwei beliebigen Punkten der Geraden. Das ergibt -1 geteilt durch 0. Stopp, Stopp, Stopp! Einen Moment mal! Man darf nicht durch 0 teilen. Diese Steigung ist also nicht definiert. Tatsächlich haben alle vertikalen Geraden eine nicht definierte Steigung, da sich ihr x-Wert nicht verändert. Puh, gut zu wissen. Stefanie tippt x = 5 ein, damit 8bitbot sich vertikal bewegen kann. Schau, wie er klettert! Bevor Stefanie ihr Programm fertigstellt, fassen wir noch mal zusammen. Unser erstes Beispiel war eine horizontale Gerade mit der Geradengleichung y = -2. Schauen wir uns einige andere horizontale Geraden an. Alle horizontalen Geraden haben die Gleichung: y = irgendeine Konstante. Es gibt keinen x-Term bei horizontalen Geraden, da ihre Steigung stets 0 ist. Die Steigung von horizontalen Geraden ist immer 0, weil die y-Werte der alle Punkte der Geraden gleich sind. Unsere vertikale Gerade hatte die Gleichung x = 5. Im Unterschied zu horizontalen Geraden hat eine vertikale Gerade also immer die Gleichung: x ist gleich irgendeine Konstante. Vertikale Geraden haben keinen y-Term in ihren Gleichungen. Für alle vertikalen Geraden ist die Steigung undefiniert, da sich die x-Werte der Punkte niemals ändert. Weil Stefanie die Eigenschaften von horizontalen und vertikalen Geraden versteht, konnte sie die Bewegung von 8bitbot programmieren. Aber was macht 8bitbot denn jetzt? Oh, arme Stefanie. War wohl ein langer Tag.

3 Kommentare
  1. jz hab ich bock zu zocken obwohl ich lernen muss

    Von Ann Qurratul, vor 9 Tagen
  2. In welchem Video lernt man die Steigungsformel?

    Von Nina L., vor 3 Monaten
  3. nein spass sehr gut

    Von Bettina Milano, vor 4 Monaten

Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Eigenschaften horizontaler und vertikaler Geraden.

    Tipps

    Die $y$-Achse ist eine vertikale Gerade.

    Läuft 8bit-Bot längs einer horizontalen Geraden, so ändert sich nur seine $x$-Koordinate.

    Mit dem Steigungsdreieck bestimmt Stefanie die Steigung einer Geraden.

    Lösung

    Stefanie programmiert die Bewegung des Charakters 8bit-Bot entlang der Geraden $y=-2$. Diese Gerade ist horizontal. Alle Punkte auf der Geraden haben dieselben $y$-Werte und verschiedene $x$-Werte. Mit dem Steigungsdreieck rechnet Stefanie nicht etwa die Länge der Geraden aus, sondern die Steigung. Dazu wählt sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden aus. Die $y$-Werte der beiden Punkte sind dieselben, daher ist die Steigung der Geraden $0$.

    Beim Hoch- oder Runterklettern einer Leiter bewegt sich 8bit-Bot entlang einer vertikalen Geraden. Die Gerade hat z.B. die Gleichung $x=5$. Je zwei verschiedene Punkte auf der Geraden haben dieselben $x$-Werte, aber ihre $y$-Werte sind verschieden. Setzt Stefanie z.B. die $x$- und $y$-Werte der Punkte $(5|2)$ und $(5|3)$ in die Formel für die Steigung ein, so erhält sie den Bruch $\frac{-1}{0}$. Da dieser Bruch nicht existiert, ist die Steigung dieser vertikalen Geraden nicht definiert. Gleiches gilt für alle vertikalen Geraden.

  • Bestimme die Eigenschaften der Geraden.

    Tipps

    Ist eine Gerade parallel zur $y$-Achse, so ändern sich längs dieser Geraden nur die $y$-Koordinaten, nicht die $x$-Koordinaten.

    Die $x$-Achse ist eine horizontale Gerade.

    Setzt Du die Punkte $(-1|-3)$ und $(-1|-2)$ der vertikalen Gerade $x=-1$ in die Formel für die Steigung ein, so kommst Du auf die Gleichung:

    $m = \frac{-1}{0}$

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Eine horizontale Gerade ist orthogonal zur $y$-Achse.“ Diese Aussage gilt für jede horizontale Gerade.
    • „Die Gerade $y=-2$ ist nicht parallel zur $y$-Achse.“ Die Gerade enthält keinen $x$-Term und ist daher horizontal, also parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse.
    • „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Formel für die Steigung ein, so erhältst Du stets einen undefinierten Bruch mit $0$ im Nenner.
    • „Die Steigung jeder horizontalen Geraden ist $0$.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein so erhältst Du im Zähler $0$, im Nenner einen Wert $\neq 0$. Daher ist die Steigung einer einer horizontalen Geraden stets $0$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse nicht.“ Jede vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse. Erfüllt die Gerade die Gleichung $x=C$, so ist der Schnittpunkt $(0|C)$.
    • „Die Gerade $x=C$ ist parallel zur $x$-Achse.“ Diese Gerade ist vertikal, also parallel zur $y$-Achse und orthogonal zur $x$-Achse.
    • „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist stets $0$.“ Diese Steigung ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte einer vertikalen Geraden in die Steigungsformel ein, so erhältst Du einen Bruch mit $0$ im Zähler und einem Wert $\neq 0$ im Nenner. Dieser Bruch existiert nicht. Daher ist die Steigung nicht definiert.
  • Gib die Punkte und Eigenschaften der Geraden an.

    Tipps

    Zwei verschiedene Punkte einer horizontalen Geraden haben dieselben $y$-Koordinaten und verschiedene $x$-Koordinaten.

    Die Steigung einer vertikalen Gerade ist nicht definiert.

    Die Punkte $(2|0)$ und $(2|-1)$ liegen auf der Gerade $x=2$

    Lösung

    Die Gerade $y=-2$ ist horizontal. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $-2$. Die Steigung ist $0$. Das findest Du heraus, wenn Du zwei Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzt.

    Die Gerade $x=5$ ist vertikal. Alle Punkte der Geraden haben den $x$-Wert $5$. Die Steigung der Geraden ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein, so ergibt sich ein Bruch mit $0$ im Nenner.

    Du erhältst also folgende Zuordnung:

    Gerade $y=-2$

    • $(0|-2)$
    • $(-5|-2)$
    • $(-3|-2)$
    • horizontal
    • $m=0$
    Gerade $x=5$

    • $(5|3)$
    • $(5|2)$
    • $(5|0)$
    • vertikal
    • $m$ nicht def.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Jede vertikale Gerade ist orthogonal zu jeder horizontalen Geraden.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Haben die Punkte einer Geraden alle dieselben $x$- oder $y$-Koordinaten, so ist die Gerade vertikal oder horizontal.“ Sind die $x$-Werte gleich, so ist die Gerade vertikal, sind die $y$-Werte gleich, so ist sie horizontal.
    • „Die Gerade $y=-x$ ist weder vertikal noch horizontal.“ Eine horizontale Gleichung hat die Form $ y=C$ mit einer Konstanten $C$, die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet $x=C$.
    • „Ist die Steigung einer Geraden $m \neq 0$, so ist die Gerade weder vertikal noch horizontal.“ Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert, also auch nicht $\neq 0$. Die Steigung einer horizontalen Geraden ist $0$. Da beides nicht zutrifft, ist eine Gerade mit Steigung $\neq 0$ weder horizontal noch vertikal.
    • „Haben zwei Geraden mit konstanten $x$- oder $y$-Werten genau einen Schnittpunkt, so ist eine der beiden vertikal, die andere horizontal.“ Haben beide Geraden dieselben $x$-Werte, so sind die Geraden beide vertikal, also entweder identisch oder parallel. Dann können sie aber nicht genau einen Schnittpunkt haben. Dasselbe gilt für zwei horizontale Geraden. Also muss eine Gerade konstante $x$-Werte haben, die andere konstante $y$-Werte. Dann ist die eine Gerade vertikal, die andere horizontal, und sie haben genau einen Schnittpunkt.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jede zu $y=-2$ orthogonale Gerade ist horizontal.“ Die Gerade $y=-2$ ist selbst horizontal. Jede zu ihr orthogonale Gerade ist vertikal.
    • „Auf einer horizontalen Geraden gibt es keine zwei verschiedenen Punkte mit denselben Koordinaten, auf einer vertikalen Geraden aber schon.“ Sind die Koordinaten zweier Punkte gleich, so sind die Punkte identisch und nicht verschieden.
    • „Jede horizontale Gerade hat mit der $x$-Achse keinen Punkt gemeinsam.“ Die $x$-Achse ist selbst auch eine horizontale Gerade. Für sie stimmt die Aussage nicht. Für jede andere horizontale Gerade ist die Aussage aber richtig.
  • Charakterisiere die Geraden.

    Tipps

    Die Gleichung $y=0$ beschreibt eine horizontale Gerade, nämlich die $x$-Achse.

    Die Steigung der $x$-Achse ist $0$.

    Die Steigung der $y$-Achse ist nicht definiert.

    Lösung

    Horizontale Geraden haben eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer Konstanten $C$. Für vertikale Geraden lautet die Gleichung $x=C$.

    Horizontale Geraden sind parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse. Damit sind sie dann auch orthogonal zu allen Parallelen der $y$-Achse, also zu allen vertikalen Geraden. Bei vertikalen Geraden ist es umgekehrt.

    Alle Punkte einer horizontalen Geraden haben denselben $y$-Wert, nämlich den Wert $C$ der Konstanten aus der Gleichung $y=C$. Die Punkte einer horizontalen Geraden $x=C$ haben alle den $x$-Wert $C$. Damit erhältst Du folgende Zuordnung:

    Die Steigung horizontaler Geraden ist $0$, die Steigung vertikaler Geraden ist nicht definiert.

    horizontale Geraden:

    • $y=5$
    • $y=-2$
    • $m=0$
    • parallel zu $x$-Achse
    • orthog. zu $x=-2$
    • gleiche $y$-Werte
    vertikale Geraden:

    • $x=-2$
    • $x=5$
    • $m$ nicht def.
    • parallel zu $y$-Achse
    • orthog. zu $y=5$
    • gleiche $x$-Werte
  • Ermittle die Geradengleichung.

    Tipps

    Wenn zwei Punkte beide den $x$-Wert $5$ haben, so liegen sie auf der Geraden $x=5$.

    Lösung

    Eine horizontale Gerade erfüllt eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer beliebigen Konstanten $C$. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $C$. Für eine horizontale Gerade lautet die Gleichung $x=C$ mit einer Konstanten $C$ und alle ihre Punkte haben den $x$-Wert $C$.

    Zu zwei Punkten im Koordinatensystem gibt es genau eine Gerade, die beide Punkte enthält. Haben die beiden Punkte denselben $x$-Wert $C$, so ist dies die vertikale Gerade $x=C$. Haben die Punkte dagegen denselben $y$-Wert $C$, so lautet die Gerade $y=C$ und ist horizontal.

    Du erhältst daher die folgende Zuordnung:

    • Die Gerade der ersten Abbildung enthält die Punkte $(2|-1)$ und $(2|3)$. Da der $x$-Wert bei beiden Punkten derselbe ist, liegen die Punkte auf der Geraden $x=2$. Die markierten Punkte sind nur zwei von unendlich vielen Punkten auf der Gerade. Man hätte andere Punkte auf der Geraden auswählen können. Es handelt sich hierbei um eine vertikale Gerade und damit ist diese Zuordnung keine Funktion.
    • Bei der zweiten Geraden sind die beiden Punkte $(-1|-2)$ und $(3|-2)$ markiert. Sie haben beide denselben $y$-Wert. Die Gleichung lautet $y=-2$. Es ist eine horizontale Gerade und damit eine Funktion.
    • Die dritte Gerade verläuft vertikal durch die Punkte $(-1|-2)$ und $(-1|3)$. Der $x$-Wert ist jeweils gleich. Somit lautet die Geradengleichung: $x=-1$. Es handelt sich hierbei um keine Funktion.
    • Die vierte Gerade verläuft horizontal durch die Punkte $(-2|3)$ und $(2|3)$. Sie hat die Gleichung $y=3$ und ist somit eine Funktion.