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Was ist ein Abstand?

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Was ist ein Abstand in der Geometrie?

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Was ist ein Abstand?
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Grundlagen zum Thema Was ist ein Abstand?

Einführung: ein Hai in der Geometrie

Den Begriff Abstand kennst du natürlich schon. Der Abstand zwischen dir und einem Hai sollte beim Schwimmen zum Beispiel natürlich möglichst groß sein! In der Mathematik, genauer in der analytischen Geometrie, ist der Abstand genau definiert. Die schauen wir uns nun genauer an:

Was ist ein Abstand in der Geometrie?

Der Abstand in Mathe ist per Definition die kürzeste Entfernung zwischen zwei geometrischen Objekten.

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Wie kann man Abstände messen?

Wir schauen uns im Folgenden an, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden und zwischen zwei parallelen Geraden bestimmen kann.

Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Um den Abstand in der Geometrie zwischen einem Punkt PP und einer Geraden gg zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

Abstand Punkt Gerade

  • Lege die Mittellinie deines Geodreiecks auf die Gerade gg.
  • Verschiebe das Geodreieck so lange entlang der Geraden, bis es mit der Zeichenkante den Punkt PP berührt.
  • Zeichne entlang der Zeichenkante eine Hilfslinie durch den Punkt PP. Diese schneidet die Gerade gg in einem Punkt (SS).
  • Die Länge der Strecke zwischen PP und SS ist der Abstand. Miss sie aus.

Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Zwei parallele Geraden schneiden sich nicht und haben überall den gleichen Abstand. Um den Abstand zwischen den beiden Geraden gg und hh zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

Abstand parallele Geraden

  • Zeichne einen Hilfspunkt PP auf der Geraden hh ein.
  • Lege die Mittellinie deines Geodreiecks auf die Gerade gg.
  • Verschiebe das Geodreieck so lange entlang der Geraden, bis es mit der Zeichenkante den Punkt PP berührt.
  • Zeichne entlang der Zeichenkante eine Hilfslinie durch den Punkt PP. Diese schneidet die Gerade gg in einem Punkt (SS).
  • Die Länge der Strecke zwischen PP und SS ist der Abstand. Miss sie aus.

Ein weiteres Beispiel zum Abstand in der Geometrie können wir ähnlich lösen:

Abstand Geraden

Um zu einer gegebenen Geraden aa in einem vorgegebenen Abstand, z. B. 6cm6 \text{cm}, eine zweite Gerade bb zu zeichnen, markierst du dir einen beliebigen Punkt PP auf der gegebenen Geraden aa. Nun legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade aa, sodass die Zeichenkante den Punkt PP berührt. Jetzt kannst du im Abstand von 6cm6 \text{cm} einen zweiten Punkt SS markieren. Lege nun das Geodreieck mit der Zeichenkante auf die Gerade aa und verschiebe es so lange mithilfe der parallelen Hilfslinien, bis die Zeichenkante den Punkt SS berührt. Zeichne nun entlang der Zeichenkante die Gerade bb.

Zusammenfassung: Was ist ein Abstand?

In diesem Video zum Abstand betrachten wir den Abstand in der analytischen Geometrie. Dazu benötigen wir zunächst die Definition des Abstands in der Geometrie. Wir bestimmen dann den Abstand bei folgenden Beispielen:

  • Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden
  • Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Was ist ein Abstand?.

Transkript Was ist ein Abstand?

Kennst du schon die sogenannte „Zöllner-Täuschung“? Was würdest du sagen? Verlaufen die hier zu sehenden roten Geraden parallel zueinander? Sieht nicht so aus oder? Das sollten wir vielleicht mal genauer untersuchen! Und zwar, indem wir uns folgender Frage widmen: „Was ist ein Abstand?“ Was Abstände damit zu tun haben? Nun, fangen wir ganz von vorne an! Abstände begegnen uns in unserem Alltag ständig! Was im mathematischen Sinne unter dem Wort „Abstand“ zu verstehen ist, können wir uns gut auf einer Map veranschaulichen. Wenn wir mit dem Auto von Köln nach Berlin fahren wollen, suchen wir die schnellste Route. Diese ist hier durch die blaue Linie markiert. Das ist allerdings nicht der Abstand! Denn der Abstand bezieht sich streng mathematisch betrachtet immer auf die kürzeste Verbindungsstrecke. In unserem Fall wäre das die Luftlinie zwischen Berlin und Köln – hier rot eingezeichnet. Der Begriff „Abstand“ ist in der Mathematik also gleichbedeutend mit „Länge der kürzesten Verbindungsstrecke“. Wir können zum Beispiel den Abstand von zwei Punkten betrachten. Der Abstand von zwei Punkten, nennen wir sie P und Q, ist die Länge der Verbindungsstrecke der Punkte. Wir müssen die beiden Punkte also durch eine Strecke verbinden. Eine gebogene Linie, die im Zickzack-Kurs verläuft, können wir dafür nicht nehmen. Diese Strecke benennen wir nach den beiden Punkten, die durch sie verbunden werden. Der waagerechte Strich verdeutlicht, dass es sich um eine Strecke handelt. Dann müssen wir die Länge der Verbindungsstrecke einfach mit dem Geodreieck messen. In unserem Beispiel beträgt der Abstand zwischen den beiden Punkten drei Zentimeter. Die Länge der Strecke „p q“ schreiben wir so. Doch wir können nicht nur den Abstand von Punkt zu Punkt messen. Als nächstes betrachten wir den Abstand eines Punktes P von einer Geraden, nennen wir sie g. Zwischen Punkt und Gerade können wir viele unterschiedliche Verbindungsstrecken einzeichnen, genau genommen sogar unendlich viele. Für den Abstand interessiert uns aber nur die Länge einer einzigen – und zwar der kürzesten! Doch wie finden wir heraus welche die kürzeste Verbindungsstrecke ist? Die kürzeste Verbindungsstrecke ist immer die, die genau senkrecht auf unserer Geraden liegt und den Punkt mit der Geraden verbindet. Um sie einzuzeichnen, brauchen wir wieder unser Geodreieck. Wir legen die Mittellinie des Geodreiecks genau auf die Gerade und verschieben es dann so, dass der Punkt P genau auf der Zeichenkante liegt. Dann können wir eine Gerade durch P einzeichnen, die genau im rechten Winkel zur anderen Geraden liegt. Den Schnittpunkt von beiden Geraden können wir jetzt noch beschriften. Wir betrachten dann die Strecke „p q“. Die Länge dieser Strecke können wir wieder am Geodreieck ablesen. Hier sind es 4,5 Zentimeter. Soweit alles klar? Dann können wir ja jetzt nochmal unsere „Zöllner-Täuschung“ vom Anfang genauer betrachten. Die Frage, die wir uns gestellt haben war, ob die roten Geraden parallel zueinander sind. Parallel sind zwei Geraden genau dann, wenn sie an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander haben. Schauen wir uns dazu einmal zwei dieser Geraden genauer an und nennen sie g und h. Um den Abstand zwischen diesen beiden Geraden zu bestimmen, brauchen wir wieder eine Verbindungsstrecke. Allerdings nicht irgendeine, sondern wieder die kürzeste! Das ist erneut DIE Strecke, die senkrecht zu g, jetzt aber auch senkrecht zu h steht. Wir legen also wieder die Mittellinie unseres Geodreiecks auf eine der beiden Geraden und zeichnen die senkrechte Strecke ein, die beide Geraden verbindet. Jetzt können wir mit dem Geodreieck überprüfen, ob die eingezeichnete Strecke auch parallel zu der anderen Geraden verläuft. Bei uns ist das der Fall. Die Geraden sind also parallel! Dass beide Geraden parallel sind, erkennen wir auch daran, dass wir an jeder Stelle den gleichen Abstand messen: Zwei Zentimeter! Wir haben also offiziell bestätigt: Die beiden Geraden sind parallel! Mathematisch schreiben wir das so: „g und h sind parallel“. Bevor wir nochmal das ganze Bild unter die Lupe nehmen, fassen wir kurz zusammen. Der Abstand beschreibt in der Mathematik immer die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Zwischen zwei Punkten können wir diese Verbindungsstrecke ganz einfach einzeichnen und anschließend abmessen. Wollen wir den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden messen, müssen wir mit unserem Geodreieck die Senkrechte zeichnen, die die Gerade mit dem Punkt verbindet. Dann können wir die Länge der Verbindungsstrecke wieder abmessen. Zu guter Letzt können wir auch den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden messen. Da der Abstand bei parallelen Geraden an jeder Stelle gleich ist, ist es egal, an welcher Stelle wir unser Geodreieck ansetzen. Wichtig ist nur, dass die eingezeichnete Verbindungsstrecke zu beiden Geraden senkrecht steht. Dann können wir auch hier die Länge der eingezeichneten Strecke abmessen und haben so den Abstand der Geraden bestimmt! Gar nicht schwierig, oder? Und was lernen wir daraus? Die Mathematik zeigt uns, dass es nicht immer so ist, wie es auf den ersten Blick erscheint Linien, die so aussehen, als würden sie schief zueinanderstehen, entpuppen sich als parallele Geraden! Manchmal muss man eben ganz genau hinschauen!

21 Kommentare
  1. Ja war gut

    Von Enes, vor 26 Tagen
  2. Ich hatte 2 Mal hintereinander ne 1 in Mathe . Danke sofatutor❤️‍🩹💝😎

    Von Samy2013, vor 3 Monaten
  3. Hilft mir sehr gut und ich hoffe ich kann es jetzt 😁😁😁😁😁😁

    Von Felix, vor 4 Monaten
  4. Das Video ist sehr hilfreich.Danke(:

    Von Tom, vor 7 Monaten
  5. Ich habe alles verstanden, herzlichen Dank an Team Digital!!!!

    Von Lai, vor etwa einem Jahr
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