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Steigung einer Geraden berechnen 05:55 min

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Transkript Steigung einer Geraden berechnen

Großvater Lindbergh ist einer der berühmtesten Piloten aller Zeiten. Er hält immer Ausschau nach Dingen, mit denen er sein Lieblingsflugzeug aufmotzen kann. Gerade erst hat er sich ein paar der modernsten und besten Geräte gegönnt, die man für Geld kaufen kann. Jetzt ist es Zeit für einen Test. Er will sehen, wie steil er mit seiner Maschine aufsteigen kann. Dazu muss Großvater Lindbergh die Steigung einer Geraden berechnen. Auf, auf und davon! Wenn wir uns Opas Flugroute anschauen, können wir bei mindestens drei Punkten die Koordinaten ablesen. Schauen wir mal: Um zu berechnen, wie steil die Maschine fliegt, müssen wir die Steigung des Graphen herausfinden. Dazu setzen wir einfach zwei beliebige Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein. Die Steigungsformel lautet: m ist gleich Delta y geteilt durch Delta x. Der griechische Buchstabe Delta steht in der Mathematik für "Änderung" oder "Differenz". In unserem Fall also für die Änderung zweier y,-Werte geteilt durch die Änderung zweier x-Werte. Das Ergebnis, m, bezeichnet, wie steil die Gerade ist, die die beiden Punkte miteinander verbindet. Setzen wir also die Koordinaten der Punkte A und B in die Steigungsformel ein. Es ist egal, welches Wertepaar du als erstes und welches du als zweites einsetzt, solange du die x- bzw. die y-Koordinaten einheitlich anordnest. Wir nutzen hier Punkt A als das erste Wertepaar und Punkt B als das zweite Wertepaar. Wir setzen 3 für y2 ein, 0 für y1, die 2 für x2 und 0 für x1. So erhalten wir 3 minus 0 geteilt durch 2 minus 0. Das ergibt 3 geteilt durch 2, also drei Halbe. Das bedeutet, wenn wir 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts gehen, gehen wir 3 auf der y-Achse nach oben. Ganz schnell kann man die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Du nutzt den Geradenabschnitt AB als Hypotenuse und zeichnest ein rechtwinkliges Dreieck unter die Gerade. Nicht nur Großvater Lindbergh weiß: Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Außerdem liegt sie dem rechten Winkel gegenüber. Wie wir es schon berechnet haben: Die Änderung von y ist gleich 3, die von x ist gleich 2. Das Gleiche haben wir auch mit der Steigungsformel berechnet. Denn da haben wir 3 Halbe herausbekommen. Probieren wir das noch mal an zwei anderen Punkte der gleichen Geraden aus. Dieses Mal setzen wir die Koordinaten der Punkte A und C in die Formel ein. Wieder ist x1 gleich 0 und y1 ist ebenfalls 0. Aber dieses Mal ist x2 gleich 4 und y2 ist gleich 6. Setzen wir diese Werte ein, erhalten wir 6 minus 0 geteilt durch 4 minus 0. Wenn wir das vereinfachen, erhalten wir 3 Halbe. Steile Sache! Die Steigung ist die gleiche wie zuvor. Vergiss das Steigungsdreieck nicht. Hier sehen wir, dass die Änderung von y insgesamt 6 beträgt. Und die von x beträgt 4. Und sechs Viertel ergibt gekürzt wieder einmal 3 Halbe. Machen wir einen dritten Versuch. Dieses Mal lassen wir aber den Punkt A weg, nur um zu sehen, ob das einen Unterschied macht. Für die Punkte B und C nutzen wir einmal mehr die Steigungsformel. Das kennen wir ja schon: Wieder ist m gleich 3 Halbe. Und auch anhand des Steigungsdreiecks sehen wir, dass die Steigung für diese beiden Punkte wieder die gleiche ist. Fassen wir noch mal zusammen. Wir wissen, dass man die Steigung einer Geraden berechnen kann, indem man zwei beliebige Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzt. Wir wissen auch, dass die Steigung für zwei beliebige Punkte der Geraden stets gleich bleibt. Wir können also beispielsweise die Punkte A und B, oder B und C, oder A und C benutzen. Damit können wir auch eine Regel für Steigungsdreiecke aufstellen. Steigungsdreiecke, die man entlang derselben Geraden konstruiert, sind immer ähnliche Dreiecke, egal welche Punkte man nutzt. Ähnliche Dreiecke haben identische Seitenverhältnisse und stimmen in ihren Winkeln überein. Großvater Lindbergh ist ganz aufgeregt, denn alles scheint zu funktionieren. Hupps! Falscher Knopf. Das geht ein wenig zu steil nach oben.

Steigung einer Geraden berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigung einer Geraden berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Steigung der Geraden.

    Tipps

    Eine konstante Funktion $f(x)=0$ ist auch eine Gerade, und zwar eine mit der Steigung $0$. Diese Gerade steigt also weder an, noch fällt sie ab. Für diese Gerade sind alle $y$-Werte $0$. Folglich sind auch alle Differenzen von $y$-Werten $y_2-y_1=0-0=0$.

    Das Beispiel der Funktion $f(x)=0$ kann dir zusammen mit der Tatsache, dass man nicht durch $0$ teilen kann, helfen, dir die Zuordnung von den Differenzen der $x$- und $y$-Koordinaten zu Zähler und Nenner zu merken. Ein Bruch der Form

    $\dfrac{d}{0}$ für beliebiges $d$

    kann nicht ausgewertet werden, ein Bruch der Form

    $\dfrac{0}{d}$ für $d\neq 0$

    ist zulässig und kann mit $\dfrac{0}{d}=0$ vereinfacht werden.

    Das sogenannte Zebra ist eine Märchenschach-Figur, die stets $2$ Felder in eine Richtung und $3$ Felder in die andere Richtung springen kann. Bei den hier abgebildeten Zügen entspricht das $\Delta x$ zwei Feldern und das $\Delta y$ drei Feldern.

    In den Bruch für die Berechnung der Steigung setzt man die Punkte so ein, dass die Koordinaten des einen Punktes durchgängig links vom Minuszeichen stehen und die Koordinaten des anderen Punktes rechts vom Minuszeichen. Du kannst dir das so vorstellen, dass die Koordinaten der Punkte nicht „auseinandergerissen“ werden dürfen, sondern jeweils als $x$-$y$-Koordinatenpaar in den Bruch herein gedreht werden.

    Lösung

    Wie im Bild hervorgehoben, enthält die Gerade die Punkte $(2|3)$ und $(4|6)$. Wir benutzen diese zwei Punkte $A(x_1|y_1)$ mit $A(2|3)$ und $B(x_2|y_2)$ mit $B(4|4)$ für die Berechnung der Steigung. Wir haben also für die beiden $y$-Koordinaten die Werte $y_1=3$ und $y_2=6$. Also müssen wir in den Zähler $y_2-y_1=6-3$ einsetzen. Für die $x$-Koordinaten haben wir die Werte $x_1=2$ und $x_2=4$. Deshalb setzen wir in den Nenner des Bruches $x_2-x_1=4-2$ ein. Insgesamt rechnen wir also:

    $m=\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\dfrac{6-3}{4-2}=\dfrac{3}{2}$.

    Eine Bemerkung am Rande: Wir hätten zum einen den Punkt $(2|3)$ auch mit dem Symbol $B(x_2|y_2)$ und den Punkt $B (4|6)$ mit dem Symbol $A(x_1|y_1)$ bezeichnen können. Damit tauscht man verglichen mit der vorherigen Wahl $x_1$ mit $x_2$ und $y_1$ mit $y_2$. Die $y$-Koordinaten wären demnach $y_1=6$ und $y_2=3$ und die $x$-Koordinaten wären $x_1=4$ und $x_2=2$. Setzt man diese Koordinaten in dieselbe Formel ein, so erhält man folgende Steigung:

    $m=\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\dfrac{3-6}{2-4}=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}$.

    In der letzten Umformung haben wir mit $-1$ gekürzt, um die negativen Vorzeichen loszuwerden und den Bruch vollständig zu vereinfachen. Wir sehen, dass das Ergebnis das gleiche ist.

  • Gib an, welche Begriffe bei der Berechnung der Steigung einer Geraden vorkommen.

    Tipps

    Bei der Berechnung der Steigung kann das Steigungsdreieck genutzt werden. Dann erhält man ein Dreieck, bei dem die Seitenlängen zweier Seiten in dem Bruch zur Berechnung der Steigung auftauchen. Im Nenner stehen jeweils eine Art von Koordinaten, also nur $x$-Koordinaten oder nur $y$-Koordinaten. Im Zähler gibt es analog nur $x$-Koordinaten oder nur $y$-Koordinaten.

    Der Punkt rechts oben hat die größeren Werte in den Koordinaten. Die zur Auswahl stehenden Differenzen haben die größere Zahl links von dem Minuszeichen. Also sollten immer die Koordinaten des rechts oben liegenden Punktes auf der linken Seite des Minuszeichens stehen.

    Das griechische Symbol $\Delta$ steht in der Mathematik und Physik oft für Änderungen oder Differenzen. Hier taucht zum Beispiel $\Delta_x$, die Differenz zweier $x$-Werte auf.

    Lösung

    Die Lücke mit der Lösung „Punkt $B(4|6)$“ bezeichnet den einen der zwei vorgegebenen Punkte des Steigungsdreiecks. Man kann mithilfe des Rasters direkt die Koordinaten $(4|6)$ ablesen. Von allen Punkten des Steigungsdreiecks ist $A$ der Punkt mit dem größten $y$-Wert.

    Die Lücke mit der Lösung „Punkt $B(4|6)$“ bezeichnet einen der zwei vorgegebenen Punkte des Steigungsdreiecks. Man kann mithilfe des Rasters direkt die Koordinaten $(2|3)$ ablesen. Also ist die richtige Antwort hier $A(2|3)$. Von allen Punkten des Steigungsdreiecks ist $A$ der Punkt mit dem kleinsten $x$-Wert.

    Die Lücke mit der Lösung „$\Delta_x=4-2$“ verweist auf die Seitenlänge der unteren Seite des Steigungsdreiecks. Diese Seite ist zur $x$-Achse parallel. Deshalb kann man die Länge durch Bestimmen der $x$-Werte finden. Diese kann man bei den Punkten $A$ und $B$ ablesen. Aus dem Punkt $B(4|6)$ entnehmen wir $x_2=4$ und aus $A(2|3)$ erhalten wir $x_1=2$. Damit ist die Differenz $x_2-x_1=4-2$. Alternativ kann man von den beiden Enden der Seite des Dreiecks senkrecht nach unten auf die $x$-Achse das Koordinatengitter verfolgen und dort an der $x$-Achse die $x$-Werte $x_2=4$ und $x_1=2$ ablesen.

    Die Lücke mit der Lösung „$\Delta_y=6-3$“ verweist auf die Seitenlänge der rechten Seite des Steigungsdreiecks. Diese Seite ist zur $y$-Achse parallel. Deshalb kann man die Länge durch Bestimmen der $y$-Werte finden. Die $y$-Werte kann man aus den Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ablesen. Aus dem Punkt $B(4|6)$ entnehmen wir $y_2=6$ und aus $A(2|3)$ erhalten wir $y_1=3$. Damit ist die Differenz $y_2-y_1=6-3$.

  • Gib das Vorgehen bei der Berechnung der Steigung einer Geraden an.

    Tipps

    Ein nicht-mathematischer Tipp:

    • Wenn sich ein Schritt auf etwas „Gewähltes“ bezieht, so muss das schon in einem früheren Schritt gewählt worden sein.

    Bevor du in einen Bruch der Form $\frac{a-b}{c-d}$ die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen kannst, musst du die Werte dieser Größen sowie den Bruch kennen.

    Lösung

    Die richtige Reihenfolge ist Folgende:

    1. Wahl zwei verschiedener Punkte
    2. Aufstellen des Bruchs mit Differenz der $y$-Koordinaten im Zähler und der $x$-Koordinaten im Nenner.
    3. Einsetzen der Koordinaten der gewählten Punkte
    4. Kürzen und Vereinfachen des Bruchs. Im vorliegenden Beispiel erhält man $\frac{3}{2}$.

    Schritt 1 Um ein Steigungsdreieck zu bilden und die Berechnung zu starten, wählt man zunächst zwei verschiedene Punkte auf der Geraden. Hierbei kann man schon Ausschau halten nach Zahlen, die nicht schwer zu subtrahieren sind, wie ganze Zahlen oder gar der Ursprung $(0,0)$ selbst. Da in der Aufgabe nicht vorgegeben ist, welcher Punkt gewählt werden soll rechnen wir hier mit dem Punktepaar $A(0|0)$ und $B(4|6)$. Somit haben wir die Koordinaten $(x_1|y_1)=(0|0)$ und $(x_2|y_2)=(4|6)$.

    Schritt 2 Jetzt stellen wir den Bruch

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    auf. Dieser enthält im Zähler die Differenz der $y$-Koordinaten. Das ist im Steigungsdreieck die Länge der vertikalen Seite des Dreiecks mit passendem Vorzeichen, also der Höhenunterschied. Im Nenner enthält der Bruch die Differenz der $x$-Koordinaten. Das ist im Steigungsdreieck die Länge der horizontalen Seite des Dreiecks mit passendem Vorzeichen. Beim konkreten Beispiel eines Flugs wäre das die Entfernung auf dem Boden, die überflogen wird, um einen bestimmten Höhenunterschied zu erzielen.

    Schritt 3 Nun setzen wir in den Bruch ein. Hier passen wir auf, dass der Zähler die $x$-Koordinaten beider Punkte enthält und der Nenner die $y$-Koordinaten beider Punkte enthält. Die einzelnen Koordinaten eines Punktes, zum Beispiel $(x_1,y_1)$ müssen in beiden Differenzen (Zähler und Nenner) entweder jeweils vor dem Minuszeichen stehen oder jeweils nach dem Minuszeichen stehen, aber nicht gemischt.

    Schritt 4 Wir hatten $\frac{6}{4}$ erhalten und können $2$ kürzen. So wird daraus der Bruch $\frac{3}{2}$.

    Letztlich kann man auch Schritte 1 und 2 vertauschen. Das würde bedeuten, man schreibt sich zunächst die allgemeine Form des Bruchs auf und wählt dann zwei Punkte, deren Koordinaten man in einem dritten Schritt in den Bruch einsetzt. Ein solches Vorgehen ist ebenso möglich, es passt allerdings nicht zu den genauen Formulierungen der Schritte in der Aufgabenstellung.

  • Prüfe, ob die Aussagen zu Geraden und ihren Steigungen wahr sind.

    Tipps

    Wenn sich zwei ungleiche Geraden in der Ebene in einem Punkt schneiden, kann man durch Drehen einer Geraden (an einem Punkt außer dem Schnittpunkt) das Auftreten des Schnittpunkts beeinflussen.

    Die $x$-Achse im $x$-$y$-Koordinatensystem ist durch alle Punkte mit der Koordinate $y=0$ gegeben. Das entspricht der Gleichung $y=f(x)=0\cdot x = m x$, also einer Geradengleichung mit $m=0$.

    Qualitative Fragen zum Verlauf von Geraden mit verschiedenen Steigungen kannst du gut mit einer Skizze beantworten. Wähle zum Beispiel für die Steigungen $m$ die Werte $0$, $\frac{1}{2}$, $1$ und $2$.

    Lösung

    Aussage 1

    Diese Aussage ist falsch. Geraden in der Ebene können verschieden sein und sich dennoch nicht schneiden. Ein Beispiel ist das Paar aus folgenden Geraden:

    • $f(x)=x$
    • $g(x)=x+1$
    Die Geraden sind offenbar nicht gleich. Unter anderem gilt für jeden $x$-Wert folgender Zusammenhang:
    • $x\neq x+1$
    Die Geraden schneiden sich nicht, da der Schnittpunkt beide Geradengleichungen erfüllen müsste. Dies ist laut obigem Ausdruck aber nicht möglich. Somit schneiden sich die beiden Geraden nicht, obwohl sie durch die unterschiedlichen $y$-Werte offenbar verschieden sind. In so einem Fall handelt es sich um parallele Geraden.

    Das obige Beispiel ist ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Beispiels für Paare von Geraden, die ungleich sind, sich aber nicht schneiden. Das allgemeinere Beispiel ist folgendes Paar von zwei Geraden:

    • $f_1(x)=m x +c_1$
    • $f_2(x)=mx+c_2$
    Dabei ist $c_1\neq c_2$, sodass die beiden Geraden die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte $c_1$ und $c_2$ besitzen. An jeder Stelle $x$ der Geraden liegen die $y$-Werte der Punkte $(x|f_1(x))$ und $(x|f_2(x))$ auseinander. Es gilt also stehts:
    • $m x +c_1\neq mx+c_2$
    Aussage 2

    Hierbei handelt es sich um eine wahre Aussage. Die $y$-Achse in einem $x$-$y$-Koordinatensystem besteht aus den Punkten $(x|y)$ mit der Eigenschaft $x=0$. Also findet man den Schnittpunkt einer Gerade der Form $f(x)=ax + b$ mit der $y$-Achse, indem man $x=0$ einsetzt. Das impliziert $y= f(x)=a\cdot 0 +b = b$. Wenn nun $b<0$ ist, dann ist $y=b<0$.

    Aussage 3

    Hierbei handelt es sich um eine falsche Aussage. Es gibt die Ausnahme der Geradengleichungen $f(x)=x+c$, also der Geraden mit der Steigung $m=1$. Diese sind gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke mit den Innenwinkeln $45^\circ$, $90^\circ$ und $45^\circ$. Siehe oben die Abbildung der entsprechenden Funktion mit einem solchen Steigungsdreieck.

    Aussage 4

    Diese Aussage ist falsch. Stattdessen ist korrekt: In einer Geraden der Form $f(x)=ax+b$ wird die Gerade flacher, wenn man den Betrag des Faktors $a$ verkleinert. Eckpunkte, die bei der Orientierung helfen können, sind: Die konstante Funktion $f(x)=c$, also eine Geradengleichung mit $m=0$ bleibt unverändert, egal welchen $x$-Wert man einsetzt. Im Koordinatensystem ist sie vollkommen flach. Alle Funktionen mit Betrag der Steigung $|m|\neq 0$ ändern sich mit ändernden $x$-Werten, steigen also an oder fallen ab. Hier sehen wir bereits den grundsätzlichen Zusammenhang, dass ein kleiner Betrag der Steigung zu einer flachen Gerade gehört.

    Aussage 5

    Diese Aussage ist richtig. Wir wählen eine beliebige Zahl $c$. Damit haben wir in dem angegebenen Punkt $(-c,3c)$ die $x$-Koordinate $x=-c$. Mit der Geradengleichung $f(x)=-3x$ erhalten wir $f(x)=-3x=-3\cdot(-c)=+3c$. Der Punkt $(-c,-3c)$ ist also in der durch $f(x)=-3x$ festgelegten Gerade enthalten, da er die Geradengleichung erfüllt.

    Aussage 6

    Diese Aussage über den Schnittwinkel ist korrekt. Die Gerade mit der Steigung $m_1=1$ steigt im $45^\circ$-Winkel an. Anders formuliert, ist die Gerade im Vergleich zur $x$-Achse um $45^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Die Gerade mit der Steigung $m_2=-1$ fällt im $45^\circ$-Winkel ab. Diese Gerade ist also im Vergleich zur $x$-Achse um $45^\circ$ im Uhrzeigersinn gedreht. Somit ist der Schnittwinkel $45^\circ+45^\circ=90^\circ$.

  • Ordne den abgebildeten Geraden die zugehörigen Funktionen zu.

    Tipps

    Das Steigungsdreieck kann Dir auch losgelöst von den genauen Koordinaten der Punkte helfen. Erinnere Dich daran, dass in dem Bruch für die Steigung am Ende nur Differenzen (mit richtigen Vorzeichen) der Koordinaten auftauchen. Du kannst also wie folgt rechnen:

    • $m=\dfrac{\text{Differenz der }y\text{-Koordinaten}}{\text{Differenz der }x\text{-Koordinaten}}$
    Geometrisch können wir das wie folgt auffassen:
    • $m=\dfrac{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{he des Steigungsdreiecks}}{\text{Breite des Steigungsdreiecks}}$
    Das Vorzeichen der Steigung ist dann wie folgt definiert:
    • "$+$" für steigende Geraden
    • "$-$" für fallende Geraden

    Eine Gerade mit der Steigung $m$, die zwischen $0$ und $1$ liegt, ist flacher als die Gerade mit der Steigung $m=1$. Eine Gerade mit einer Steigung $m$ größer $1$ ist steiler als die Gerade mit der Steigung $m=1$.

    Sind mehrere mögliche Lösungen für die Steigung angegeben, so kann man diese direkt vergleichen. Die Gerade, bei der der Betrag $|m|$ der Steigung größer ist, ist steiler. So ist zum Beispiel $3 > 2 > 1$. Folglich ist eine Gerade mit der Steigung $m=3$ steiler als eine Gerade mit der Steigung $m=2$ und diese wiederum ist steiler als eine Gerade mit der Steigung $m=1$.

    Lösung

    Eine Vorbemerkung zu allen unten aufgeführten Lösungen: Eine andere Wahl des Steigungsdreiecks beziehungsweise des Paares von Punkten auf der Geraden ist ebenso zulässig und führt zum gleichen Endergebnis.

    Die Abbildung der Gerade 1 gehört zu einer Gerade der Steigung $2$. In dem Steigungsdreieck ist die Länge der unteren Seite $1$. Es liegt also eine Differenz der $x$-Werte von $1$ vor. Die Höhe des Steigungsdreiecks lässt sich an dessen rechter Seite ablesen. Die rechte Seite hat eine Seitenlänge $2$, so dass dies der Unterschied der $y$-Werte ist.

    • $m=\dfrac{\text{Differenz der }y\text{-Koordinaten}}{\text{Differenz der }x\text{-Koordinaten}}=\dfrac{2}{1}=2\ .$
    Ein anderer Ansatz zur Lösung startet direkt mit zwei verschiedenen Punkten der Gerade und den zugehörigen Koordinaten. Das Ablesen der Koordinaten der Punkte $A(1|2)$ und $B(2|4)$ führt zum Bruch
    • $m=\dfrac{4-2}{2-1}=\dfrac{2}{1}=2\ .$
    Die Lösung ist die Steigung $m=2$.

    Die Abbildung der Gerade 2 gehört zu einer Gerade der Steigung $\frac{1}{2}$. In dem eingezeichneten Steigungsdreieck ist die Länge der unteren Seite $2$. Die Differenz der $x$-Werte ist also $2$. Die Höhe des Dreiecks lässt sich an der rechten Seite mit Seitenlänge $1$ ablesen. Hier ist also

    • $ m=\dfrac{\text{Differenz der }y\text{-Koordinaten}}{\text{Differenz der }x\text{-Koordinaten}}=\dfrac{1}{2}\ .$
    Die Gerade 3 hat die Steigung $1$. Dies sieht man geometrisch daran, dass das Steigungsdreieck eine gleiche Seitenlänge der unteren Seite und der rechten Seite hat. In dem eingezeichneten Steigungsdreieck ist die Seitenlänge jeweils $3$. Die Formel "Höhe/Breite mit passendem Vorzeichen" führt also direkt auf $\frac{3}{3}=1$.

    Die Methode über die Differenzen der Koordinaten zweier Punkte läuft wie folgt ab. Die Punkte sind $A(1|1)$ und $B(4|4)$. Somit sind die Koordinaten $x_1=1$ und $y_1=1$, und $x_2=4$ und $y_2=4$. Wir setzen in den Bruch für $m$ ein

    • $m=\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\dfrac{4-1}{4-1}=1\ .$
    Die Steigung der Geraden ist also $m=1$.

    Die Gerade 4 hat die Steigung $3$. Dies sieht man zum Beispiel an den Punkten $A(1|3)$ in der linken unteren Ecke und $B(2|6)$ rechts oben in dem eingezeichneten Steigungsdreieck. Die einzelnen Koordinaten sind hier $x_1=1$ und $y_1=3$ sowie $x_2=2$ und $y_2=6$. Der Bruch für die Berechnung der Steigung $m$ wird hier also

    • $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{6-3}{2-1}=\dfrac{3}{1}=3\ .$
    Damit hat die Gerade die Steigung $m=3$.

  • Setze die Paare von Punkten und die Steigungen der Geraden durch die Punkte in Verbindung.

    Tipps

    Die Bestimmung der Geradengleichung ist in dieser Aufgabe gleichbedeutend mit der Bestimmung der Steigung $m$.

    In manchen Teilaufgaben ist ein $y$-Wert zu einem $x$-Wert gesucht, wobei das Paar von $x$- und $y$-Koordinaten die Geradengleichung erfüllt. Das heißt, dass $y=f(x)=m\cdot x$ zu berechnen ist.

    Du kannst Vermutungen zu Ergebnissen gut an einer kleinen Skizze nachvollziehen. In den Teilaufgaben, bei denen eine Koordinate eines zweiten Punktes auf der Gerade gesucht ist, gilt: Für eine korrekte Wahl der gesuchten Koordinate des Punkts müssen sämtliche Steigungsdreiecke ähnlich zueinander sein und zur selben Steigung $m$ führen.

    Hier ist eine Beispielrechnung zu dem Typ von Aufgaben, in denen eine $y$-Koordinate zu einem vorgebenen $x$-Wert gesucht ist, z.B. $x=\frac{1}{3}$. Bei diesen Aufgaben ist die Steigung $m$ gegeben, z.B $m=99$. In der Vorbemerkung wurde erwähnt, dass alle hier auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Wir setzen den $x$-Wert aus dem Lückentext ein und erhalten $y=f(x)=99 \cdot \frac{1}{3}=33$.

    Lösung

    Beispiel 1

    Wir suchen die Steigung der Geraden durch die Punkte $A(2|2)$ und $B(3|3)$. Das bedeutet für die einzelnen Koordinaten $x_1=2$ und $y_1=2$ sowie $x_2=3$ und $y_2=3$. Diese setzen wir wie folgt in die Beziehung für die Steigung ein:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{3-2}{3-2}=1$
    Somit erhalten wir die Steigung $m=1$ und die Funktionsgleichung $f(x)=1x$.

    Beispiel 2

    Wir suchen die Steigung der Gerade durch die Punkte $A(1000|2000)$ und $B(1001|2002)$. Also sind die einzelnen Koordinaten $x_1=1000$ und $y_1=2000$ sowie $x_2=1001$ und $y_2=2002$. Wir setzen wiederum in den Bruch für die Steigung $m$ ein:

    • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2002-2000}{1001-1000}=\frac{2}{1}=2$
    Eine zusätzliche Information aus dem Kopfteil der Aufgabe ist, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat. Somit ist die Geradengleichung $f(x)=2x$.

    Beispiel 3

    Nun ist die Steigung $m=\frac{1}{4}$ und ein Punkt $(0|0)$ gegeben.

    In der Vorbemerkung zu den Lückentexten wurde erwähnt, dass alle auftauchenden Geradengleichungen die Form $f(x)=mx$ haben. Damit kann man direkt aus der gegebenen Steigung $m=\frac{1}{4}$ die Geradengleichung $f(x)=\frac{1}{4}x$ schlussfolgern. Wir setzen den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext ein und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$.

    Ein längerer Lösungsweg führt zu dem gleichen Ergebnis, selbst wenn wir nicht die Information über die Form der Geradengleichung $f(x)=mx$ hätten und von der allgemeinen Form der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ ausgehen müssten. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=0$ und $y_1=0$. Für jede Gerade muss für alle Punkte $(x_2|y_2)$ gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:

    • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Nach Multiplikation mit $x_2-x_1$ wird dies zu:
    • $(x_2-x_1)m=y_2-y_1$
    Speziell im Fall dieser Aufgabe, bei der $x_1=0$ und $y_1=0$ ist, bedeutet das:

    • $y_2=y_2-y_1=(x_2-x_1)m=x_2\cdot\frac{1}{4}$
    Das heißt, dass die allgemeine Formel für einen beliebigen weiteren Punkt $y=\frac{1}{4}x$ ist. In diese Geradengleichung können wir den $x$-Wert $x=4$ aus dem Lückentext einfügen und erhalten $y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}4=1$. Dieser Ansatz, über die Formel für die Steigung $m$ und das Wissen, dass $m$ gleich bleibt, egal welches Punktepaar wir einsetzen, ist allgemein gültig, insbesondere auch für Geraden der Form $f(x)=mx+b$.

    Beispiel 4

    Hier sind die zwei Punkte $(-5|-1)$ und $(5|1)$ gegeben. Wir nennen den ersten Punkt $A(-5|-1)$, den zweiten $B(5|1)$ und erhalten so die $y$-Koordinaten $y_1=-5$ und $y_2=5$ sowie die $x$-Koordinaten $x_1=-1$ und $x_2=1$. Wir setzen in den Bruch für die Steigung $m$ ein:

    • $ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-(-1)}{5-(-5)}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.
    Damit ist die Steigung $m=\frac{1}{5}$ gefunden. Wenn man die zusätzliche Information miteinbezieht, dass die Gleichung der Geraden die Form $f(x)=mx$ hat, bleibt nur die Möglichkeit $f(x)=\frac{1}{5}x$ für die gesuchte Geradengleichung.

    Bespiel 5

    Es ist die Steigung $m=3$ und ein Punkt $(-1|-3)$ gegeben. Wir bezeichnen den gegebenen Punkt als den ersten mit Koordinaten $x_1=-1$ und $y_1=-3$. Wir können wie in der dritten Teilaufgabe die Tatsache ausnutzen, dass die Steigung für alle Paare von Punkten auf der Gerade gleich ist.

    Für alle Punkte $(x_2|y_2)$ muss gelten, dass die Steigungsformel wieder dieselbe Steigung liefert, also:

    • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
    Multiplizieren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen liefert die Formel $ (x_2-x_1)m=y_2-y_1$. Wir setzen die Werte $x_1=-1$, $y_1=-3$ und die gegebene Steigung $m=3$ ein. So erhalten wir für die Unbekannten $x_2$ und $y_2$ die Gleichung $3(x_2-(-1))=y_2-(-3)$. Dies ist gleichbedeutend mit:

    • $3x_2+3=y_2+3$.
    Wenn wir auf beiden Seiten $3$ subtrahieren, bleibt die Geradengleichung:

    • $y_2=3x_2$.
    Wenn wir die Notation von $(x_2|y_2)$ zu dem einfacheren $(x|y)$ vereinfachen, bedeutet das, dass die Geradengleichung $f(x)=3x$ ist. Also ist der $y$-Wert bei dem $x$-Wert $x=2$ durch $f(x)=3x=3\cdot 2 = 6$ gegeben. Die richtige Lösung für die Lücke ist also $y=6$.