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Steigung von proportionalen Funktionen 06:00 min

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Transkript Steigung von proportionalen Funktionen

Das ist Rudi. Rudis Job ist es, Asteroiden zu zerlasern. Was für eine langweilige, alltägliche Arbeit! Aber wenn Rudi tausend Asteroiden weggeschafft hat – dann bekommt er einen Bonus! Wie lange braucht er wohl, bis er 1000 geschafft hat? Wir rechnen das jetzt aus – mit Hilfe der Steigung von proportionalen Funktionen! An zwei Tagen zerlasert Rudi 25 Asteroiden, wenn er rund um die Uhr arbeitet. An doppelt so vielen Tagen sollte er also auch doppelt so viele Asteroiden schaffen. Das heißt, dass er an vier Tagen 50 Asteroiden aus dem Weg räumt. Aber wie viele Asteroiden sind es an einem Tag? Ein Tag ist die Hälfte von zwei Tagen, das weiß auch Rudi. Aber die Hälfte von 25 Asteroiden sind 12,5 Asteroiden! Hm. Einen halben Asteroiden kann man wohl kaum zerlasern. Aber wenn er nicht schläft, dann schafft Rudi eben im Schnitt 12,5 Asteroiden pro Tag. Nach 0 Tagen hat Rudi natürlich auch 0 Asteroiden weggepustet. Und nach drei Tagen demnach 37,5 – das wird wieder ein Durchschnitt sein. Die Anzahl der zerstörten Asteroiden wächst also jeden Tag um den gleichen Wert. Wenn zwei Größen so voneinander abhängen wie hier die Anzahl der weggelaserten Asteroiden und die Zeit, dann nennt man das einen proportionalen Zusammenhang. Man kann dann eine Größe als Produkt aus der anderen und einem Proportionalitätsfaktor schreiben. Hier wäre das: die Anzahl der Asteroiden ist gleich 12,5 mal die Anzahl an verstrichenen Tagen. Erinnert dich das an eine Funktion? Eine proportionale Funktion hat die Form f von x gleich m mal x. Dabei ist m der Proportionalitätsfaktor. Und wenn f von x die Anzahl der nach x Tagen zerlaserten Asteroiden ist, dann wäre die Funktionsgleichung für Rudis Asteroidenentferrnungsjob f von x gleich 12,5 mal x. Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Geraden, die durch den Ursprung verlaufen. Die Steigung dieser Geraden ist der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung– also bei uns die Anzahl der zerstörten Asteroiden pro Tag. Bei Geraden bestimmst du die Steigung durch Steigungsdreiecke: Du gehst von einem beliebigen Punkt auf der Geraden aus eine Anzahl von Einheiten nach rechts und zählst, wie viele Einheiten nach oben oder unten du gehen musst, um wieder den Graph zu treffen. Zum Beispiel sind wir ausgehend von hier zwei Einheiten nach rechts gegangen und mussten dann 25 Einheiten nach oben. Die Steigung ist dann die Anzahl der Einheiten, die du nach oben gehst, geteilt durch die Anzahl der Einheiten nach rechts. Du kannst die Steigung von proportionalen Funktionen auch berechnen, indem du zu einem beliebigen x-Wert, der nicht 0 ist, f von x durch x teilst. Wir könnten das zum Beispiel für x gleich 4, also nach 4 Tagen, ausrechnen – da ist f(x) gleich 50. Wenn du den Funktionswert bei x gleich 1 weißt – der gibt dir direkt die Steigung an. Aber wie lange braucht Rudi denn nun, um die 1000 Asteroiden zu zerlasern? Wir suchen also das x, für das f von x gleich 1000 ist. Dazu setzen wir '12 Komma 5 mal x' gleich 1000. Durch Umstellen der Funktionsgleichung erhalten wir x gleich 80. 80 Tage lang muss Rudi also durcharbeiten! Das geht nur mit Space-Kaffee! Aber wie viele Tassen seines Vorrats verbraucht Rudi in den 80 Tagen? Praktischerweise zeigt die Space-Kaffeemaschine gleich das Fallen der Kaffeevorräte graphisch an. Kann Rudi damit seinen Verbrauch nach 80 Tagen ausrechnen? Der Graph ist eine fallende Gerade, die wieder durch den Ursprung verläuft. Wenn etwas verbraucht wird, ist es üblich, fallende Geraden zu verwenden – man nimmt ja etwas weg. Aber letztlich hängt das immer von der Fragestellung ab. Nach 0 Tagen hat Rudi noch gar keinen Space-Kaffee verbraucht. Aber aus dem Graph können wir ablesen, dass die Gerade pro Zeitschritt nach rechts um zwanzig Einheiten nach unten fällt. Die Steigung berechnen wir mit Hilfe des Steigungsdreiecks, indem wir die Anzahl der nach oben gegangenen Einheiten durch die Anzahl der Einheiten nach rechts teilen. Wenn wir aber gar nicht nach oben, sondern nach unten gehen mussten, ist die Steigung negativ. Das heißt, die Steigung dieser Geraden ist minus 20! Und deshalb ist die Funktionsgleichung der verbrauchten Space-Kaffee-Tassen: f von x gleich minus 20 mal x. x sind hier wieder die durchgearbeiteten Tage. Um die in 80 Tagen getrunkenen Tassen zu berechnen, setzen wir für x 80 ein. Und heraus kommt – oha – 1600 Tassen! Ob das so gesund ist? Wir haben jetzt ja 80 Tage oder 1600 Tassen Space-Kaffee Zeit, um zusammenzufassen. Proportionale Funktionen haben die Form f von x gleich m mal x. Ihre Graphen sind Geraden und verlaufen durch den Ursprung. Die Steigung der Geraden m kann man bestimmen, indem man zu einem beliebigen x – außer 0 – f von x durch x teilt oder ein Steigungsdreieck anlegt. Wenn m größer ist als 0, steigt die Gerade. Und wenn m kleiner ist als 0, dann ist der Graph eine fallende Gerade. Denk daran: Ob du eine Funktion als fallend oder als steigend behandelst, hängt meistens vom genauen Problem ab. Die 80 Tage sind schon vorbei? Und Rudi hat es tatsächlich geschafft! Nach 1600 Tassen Space-Kaffee und 80 Tagen ohne Schlaf hat er diese schicke Tasse bekommen. Auf die nächsten 1000 Asteroiden!