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Steigung von proportionalen Funktionen 06:00 min

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Transkript Steigung von proportionalen Funktionen

Das ist Rudi. Rudis Job ist es, Asteroiden zu zerlasern. Was für eine langweilige, alltägliche Arbeit! Aber wenn Rudi tausend Asteroiden weggeschafft hat – dann bekommt er einen Bonus! Wie lange braucht er wohl, bis er 1000 geschafft hat? Wir rechnen das jetzt aus – mit Hilfe der Steigung von proportionalen Funktionen! An zwei Tagen zerlasert Rudi 25 Asteroiden, wenn er rund um die Uhr arbeitet. An doppelt so vielen Tagen sollte er also auch doppelt so viele Asteroiden schaffen. Das heißt, dass er an vier Tagen 50 Asteroiden aus dem Weg räumt. Aber wie viele Asteroiden sind es an einem Tag? Ein Tag ist die Hälfte von zwei Tagen, das weiß auch Rudi. Aber die Hälfte von 25 Asteroiden sind 12,5 Asteroiden! Hm. Einen halben Asteroiden kann man wohl kaum zerlasern. Aber wenn er nicht schläft, dann schafft Rudi eben im Schnitt 12,5 Asteroiden pro Tag. Nach 0 Tagen hat Rudi natürlich auch 0 Asteroiden weggepustet. Und nach drei Tagen demnach 37,5 – das wird wieder ein Durchschnitt sein. Die Anzahl der zerstörten Asteroiden wächst also jeden Tag um den gleichen Wert. Wenn zwei Größen so voneinander abhängen wie hier die Anzahl der weggelaserten Asteroiden und die Zeit, dann nennt man das einen proportionalen Zusammenhang. Man kann dann eine Größe als Produkt aus der anderen und einem Proportionalitätsfaktor schreiben. Hier wäre das: die Anzahl der Asteroiden ist gleich 12,5 mal die Anzahl an verstrichenen Tagen. Erinnert dich das an eine Funktion? Eine proportionale Funktion hat die Form f von x gleich m mal x. Dabei ist m der Proportionalitätsfaktor. Und wenn f von x die Anzahl der nach x Tagen zerlaserten Asteroiden ist, dann wäre die Funktionsgleichung für Rudis Asteroidenentferrnungsjob f von x gleich 12,5 mal x. Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Geraden, die durch den Ursprung verlaufen. Die Steigung dieser Geraden ist der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung– also bei uns die Anzahl der zerstörten Asteroiden pro Tag. Bei Geraden bestimmst du die Steigung durch Steigungsdreiecke: Du gehst von einem beliebigen Punkt auf der Geraden aus eine Anzahl von Einheiten nach rechts und zählst, wie viele Einheiten nach oben oder unten du gehen musst, um wieder den Graph zu treffen. Zum Beispiel sind wir ausgehend von hier zwei Einheiten nach rechts gegangen und mussten dann 25 Einheiten nach oben. Die Steigung ist dann die Anzahl der Einheiten, die du nach oben gehst, geteilt durch die Anzahl der Einheiten nach rechts. Du kannst die Steigung von proportionalen Funktionen auch berechnen, indem du zu einem beliebigen x-Wert, der nicht 0 ist, f von x durch x teilst. Wir könnten das zum Beispiel für x gleich 4, also nach 4 Tagen, ausrechnen – da ist f(x) gleich 50. Wenn du den Funktionswert bei x gleich 1 weißt – der gibt dir direkt die Steigung an. Aber wie lange braucht Rudi denn nun, um die 1000 Asteroiden zu zerlasern? Wir suchen also das x, für das f von x gleich 1000 ist. Dazu setzen wir '12 Komma 5 mal x' gleich 1000. Durch Umstellen der Funktionsgleichung erhalten wir x gleich 80. 80 Tage lang muss Rudi also durcharbeiten! Das geht nur mit Space-Kaffee! Aber wie viele Tassen seines Vorrats verbraucht Rudi in den 80 Tagen? Praktischerweise zeigt die Space-Kaffeemaschine gleich das Fallen der Kaffeevorräte graphisch an. Kann Rudi damit seinen Verbrauch nach 80 Tagen ausrechnen? Der Graph ist eine fallende Gerade, die wieder durch den Ursprung verläuft. Wenn etwas verbraucht wird, ist es üblich, fallende Geraden zu verwenden – man nimmt ja etwas weg. Aber letztlich hängt das immer von der Fragestellung ab. Nach 0 Tagen hat Rudi noch gar keinen Space-Kaffee verbraucht. Aber aus dem Graph können wir ablesen, dass die Gerade pro Zeitschritt nach rechts um zwanzig Einheiten nach unten fällt. Die Steigung berechnen wir mit Hilfe des Steigungsdreiecks, indem wir die Anzahl der nach oben gegangenen Einheiten durch die Anzahl der Einheiten nach rechts teilen. Wenn wir aber gar nicht nach oben, sondern nach unten gehen mussten, ist die Steigung negativ. Das heißt, die Steigung dieser Geraden ist minus 20! Und deshalb ist die Funktionsgleichung der verbrauchten Space-Kaffee-Tassen: f von x gleich minus 20 mal x. x sind hier wieder die durchgearbeiteten Tage. Um die in 80 Tagen getrunkenen Tassen zu berechnen, setzen wir für x 80 ein. Und heraus kommt – oha – 1600 Tassen! Ob das so gesund ist? Wir haben jetzt ja 80 Tage oder 1600 Tassen Space-Kaffee Zeit, um zusammenzufassen. Proportionale Funktionen haben die Form f von x gleich m mal x. Ihre Graphen sind Geraden und verlaufen durch den Ursprung. Die Steigung der Geraden m kann man bestimmen, indem man zu einem beliebigen x – außer 0 – f von x durch x teilt oder ein Steigungsdreieck anlegt. Wenn m größer ist als 0, steigt die Gerade. Und wenn m kleiner ist als 0, dann ist der Graph eine fallende Gerade. Denk daran: Ob du eine Funktion als fallend oder als steigend behandelst, hängt meistens vom genauen Problem ab. Die 80 Tage sind schon vorbei? Und Rudi hat es tatsächlich geschafft! Nach 1600 Tassen Space-Kaffee und 80 Tagen ohne Schlaf hat er diese schicke Tasse bekommen. Auf die nächsten 1000 Asteroiden!

Steigung von proportionalen Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigung von proportionalen Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die gegebene Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Funktion verläuft stets durch den Ursprung.

    Eine proportionale Funktion hat die Form:

    $f(x) = m \cdot x$

    mit dem Proportionalitätsfaktor $m$.

    Bei einer proportionalen Zuordnung wachsen die Funktionswerte in derselben Proportion wie die Variable, d.h., die Verdoppelung der Variablen führt auch zur Verdoppelung des Funktionswertes.

    Lösung

    Rudi zerlasert an $2$ Arbeitstagen $25$ Asteroiden.

    An doppelt so vielen Tagen zerstört er auch doppelt so viele Asteroiden, also an $4$ Tagen $50$ Asteroiden.

    An einem Tag schafft er dagegen nur halb so viele Asteroiden wie an zwei Tagen. Das ergibt im Schnitt $12,5$ Asteroiden pro Tag.

    Und wenn Rudi gar nicht, also $0$ Tage, arbeitet, schafft er gar nichts, also $0$ Asteroiden.

    Im Bild siehst Du die richtig ausgefüllte Wertetabelle.

  • Gib die Eigenschaften proportionaler Funktionen an.

    Tipps

    Zu einer proportionalen Funktion gehört immer ein Proportionalitätsfaktor $m$.

    Der Proportionalitätsfaktor $m$ bestimmt, wie steil die Funktion ansteigt bzw. abfällt.

    Bei einer proportionalen Funktion gilt immer:

    $ f(0) =0 $.

    Lösung

    Die Funktion einer proportionalen Zuordnung ist durch den Proportionalitätsfaktor $m$ festgelegt. Die Funktion hat die Form:

    $ f(x) = m \cdot x $.

    Ihr Graph ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$.

    Nun zu den einzelnen Aussagen.

    Proportionale Funktionen sind von der Form $f(x) = m \cdot x$.

    Diese Aussage ist richtig, denn diese Form stimmt mit der oben dargestellten überein.

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Parabel. Diese Aussage ist falsch. Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft.

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Diese Aussage ist richtig. Der Graph der proportionalen Funktion $f(x) = m \cdot x$ ist die Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$.

    Jede Gerade ist der Graph einer proportionalen Funktion. Diese Aussage ist falsch. Geraden sind nur dann Graphen einer proportionalen Funktion, wenn sie durch den Ursprung verlaufen.

    Funktionen der Form $f(x) = m \cdot x + b$ beschreiben proportionale Zuordnungen. Die Aussage ist falsch. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade, aber sie verläuft nur dann durch den Ursprung, wenn $b=0$.

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade. Die Aussage ist richtig. Graphen proportionaler Funktionen sind Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.

  • Bestimme die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion und berechne den gesuchten Funktionswert.

    Tipps

    Um die Steigung einer Geraden zu berechnen, die von links nach rechts ansteigt, teilst Du die Anzahl der Einheiten nach oben durch die Anzahl der Einheiten nach rechts.

    Fällt die Gerade von links nach rechts ab, so ist die Steigung negativ.

    Die Funktion eines proportionalen Zusammenhangs lautet:

    $ f(x) = m \cdot x. $

    Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor bzw. die Steigung der Geraden.

    Lösung

    Die Funktion des Space-Kaffee-Verbrauchs ist eine proportionale Funtkion. Sie hat also die Form:

    $ f(x) = m \cdot x. $

    Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor. Wir berechnen $m$ aus dem Steigungsdreieck. An einem Tag verbraucht Rudi $20$ Tassen Space-Kaffee. Im Steigungsdreieck bedeutet das: eine Einheit nach rechts und $20$ Einheiten nach unten. Die Steigung ist also $m= \frac{-20}{1} = -20$.

    Die Funktion des Space-Kaffee-Verbrauchs lautet nun:

    $ f(x) = -20 \cdot x. $

    Um herauszufinden, wie viel Space-Kaffee Rudi in $80$ Tagen verbraucht, setzen wir $x=80$ in die Verbrauchsfunktion ein und erhalten $f(80) = -20 \cdot 80 = -1600$.

  • Ermittle die Funktionsgleichung und berechne den $x$-Wert.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung. Der Proportionalitätsfaktor ist die Steigung der Geraden.

    Die Steigung $m$ einer Geraden berechnet man mit der Formel:

    $ m = \frac{f(x)}{x} $

    für ein $x \neq 0$.

    Lösung

    Rudi will ab jetzt $48$ Asteroiden in $3$ Tagen schaffen. Wenn er diese Leistung halten kann, so wird der Asteroidenertrag wieder durch eine proportionale Funktion

    $ f(x) = m \cdot x $

    beschrieben.

    Wir bestimmen den Proportionalitätsfaktor $m$ mit der Formel:

    $ m = \frac{48}{3} = 16. $

    Die proportionale Funktion lautet also:

    $ f(x) = 16 \cdot x $.

    Wie viele Tage braucht Rudi für $1200$ Asteroiden? Wir lösen die folgende Gleichung nach $x$ auf.

    $ 1200 = f(x) = 16 \cdot x $

    Wir erhalten:

    $ x = \frac{1200}{16} = 75 $.

    Rudi braucht $75$ Tage.

  • Bestimme die gesuchten Funktionswerte.

    Tipps

    Der Asteroidenertrag nach drei entspannten Arbeitstagen ist:

    $ g(3) = 30. $

    Berechne den Funktionswert $f(4)$ durch Einsetzen von $4$ in die Funktion:

    $ f(x) = 15 \cdot x. $

    Beachte das Vorzeichen der Proportionalitätsfaktoren und der Funktionswerte.

    Lösung

    Wir berechnen die Funktionswerte der drei neuen Funktionen.

    An zwei bzw. drei stressigen Tagen schafft Rudi $30$ bzw. $45$ Asteroiden. Für die stressigen Tage nutzen wir die Funktion $f$:

    $f(2) = 15 \cdot 2 = 30$

    bzw.

    $f(3) = 15 \cdot 3 = 45$.

    An $4$ entspannten Tagen schafft Rudi immerhin $40$ Asteroiden. Für die entspannten Tagen nutzen wir die Funktion $g$.

    $g(4) = 10 \cdot 4 =40$

    Und Rudis Space-Kaffee-Verbrauch beträgt jetzt nur noch $-35$ Tassen in fünf Tagen und $-42$ Tassen in sechs Tagen. Für den Kaffeeverbrauch nutzen wir die Funktion $h$.

    $h(5) =-7 \cdot 5 =-35$

    bzw.

    $h(6) =-7 \cdot 6 =-42$

  • Ermittle die Funktionsgleichungen zu den gegebenen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Beachte das Vorzeichen der Steigung.

    Geraden mit positiver Steigung steigen von links nach rechts an. Geraden mit negativer Steigung fallen von links nach rechts ab.

    Je größer der Wert der Steigung ist, desto steiler ist die Gerade.

    Lösung

    Proportionale Funktionen sind von der Form:

    $ f(x) = m \cdot x $.

    Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor. Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$. Die Steigung, d.h. der Proportionalitätsfaktor, lässt sich aus dem Steigungsdreieck ablesen.

    Die erste Funktion

    Die Gerade steigt bei einer Einheit nach rechts um $15$ Einheiten nach oben. Die Gleichung lautet daher:

    $ f(x) = 15 \cdot x $.

    Die zweite Funktion

    Die Gerade steigt bei $2$ Einheiten nach rechts um $20$ Einheiten nach oben. Die Gleichung lautet daher:

    $ f(x) = \frac{20}{2} \cdot x = 10 \cdot x $.

    Die dritte Funktion

    Die Gerade fällt bei $3$ Einheiten nach rechts um $21$ Einheiten nach unten. Die Gleichung lautet daher:

    $ f(x) = -\frac{21}{3} \cdot x = -7 \cdot x $.

    Die vierte Funktion

    Die Gerade fällt bei $25$ Einheiten nach rechts um $250$ Einheiten nach unten. Die Gleichung lautet daher:

    $ f(x) = -\frac{250}{25} \cdot x = -10 \cdot x $.