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Konstante Geschwindigkeit 05:14 min

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Transkript Konstante Geschwindigkeit

Giovanni ist ein italienischer Dichter und ein ziemlich altmodischer Geselle. Er möchte seiner Liebsten einen Brief schicken. Aber da ist ein Problem: Seine Geliebte lebt im Nachbarkönigreich, 250 Kilometer entfernt. Beim örtlichen Brieftaubenhändler kauft Giovanni die schnellste Taube weit und breit. Giovanni ist ganz ungeduldig und möchte wissen, wann der Vogel seine Geliebte erreichen wird. Helfen wir der Liebe doch mal ein wenig auf die Sprünge, indem wir konstante Geschwindigkeiten nutzen. Wenn etwas eine konstante Geschwindigkeit hat, ändert sich der Weg proportional zur Zeit. Zum Beispiel kann die Taube pro halbe Stunde Flug einen Weg von 25 Kilometern zurücklegen. Diese konstante Geschwindigkeit können wir als Verhältnis darstellen. Weil wir Einheiten umrechnen wollen, lassen wir sie immer stehen. Wir wollen den Bruch im Nenner eliminieren, dabei das Verhältnis aber beibehalten, darum erweitern wir im Zähler und im Nenner mit 2. Genau wie Brüche solltest du auch Verhältnisse immer so weit wie möglich kürzen. So erhältst du eine konstante Geschwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde. Schauen wir mal, wo Giovannis Taube nach einer bestimmten Zeit sein wird. In eine Tabelle können wir verschiedene Werte für die Zeit eintragen, um den zurückgelegten Weg festzuhalten. Die Taube fliegt mit einer Geschwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde. Nach einer Stunde hat sie also einen Weg von 50 Kilometern hinter sich gebracht. Um herauszufinden, wie weit der Vogel nach zwei Stunden gekommen ist, müssen wir die Geschwindigkeit mit 2 Stunden multiplizieren. Wenn die Taube drei Stunden unterwegs ist, können wir die Geschwindigkeit mit 3 Stunden multiplizieren. Die Taube hat dann also 150 Kilometer hinter sich gebracht. Wenn wir so weitermachen, füllt sich unsere Tabelle nach und nach. Aha! Nach 5 Stunden ist die Taube also 250 km geflogen. Um das Ganze aber noch besser zu verstehen, werden wir die Werte aus der Tabelle in einen Graphen einzeichnen. Auf der x-Achse tragen wir die vergangene Zeit in Stunden auf, auf der y-Achse den zurückgelegten Weg in Kilometern. Jedes Wertepaar (x|y) ist ein Punkt auf dem Graphen. x, in unserem Beispiel also die Anzahl an vergangenen Stunden, ist eine unabhängige Variable. Der zurückgelegte Weg y ist also die abhängige Variable. Nun zeichnest du die Wertepaare aus Zeit und Weg in das Koordinatensystem ein. Schau an, der Graph ist eine perfekte Gerade. Mit jeder Stunde kommt die Taube genau 50 weitere Kilometer voran. Wir können diese Aufgabe auch rechnerisch lösen. Gehen wir noch mal zu unserer Gleichung zurück. Wir haben vorhin herausgefunden, dass die Taube mit einer Geschwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde fliegt. Das setzen wir in die Gleichung ein und erhalten: Geschwindigkeit mal 2 Stunden gleich 100 Kilometer. Da "Stunde" eine Zeiteinheit ist, können wir die "2 Stunden" in der Gleichung mit dem Begriff "Zeit" ersetzen. Und "100 Kilometer" ist der Weg, den die Taube zurückgelegt hat, also können wir das durch den Begriff "Weg" ersetzen. Mathematiker schreiben Gleichungen normalerweise mit Variablen statt mit Begriffen. Die Variable für die Geschwindigkeit lautet v, die für die Zeit t und die für den Weg s. Da der Weg s unsere abhängige Variable ist, schreiben wir ihn auf die linke Seite der Gleichung. Also ist s gleich v mal t. Jetzt können wir jede Aufgabe mit konstanten Geschwindigkeiten lösen, wenn wir zwei der Variablen kennen. Setzen wir unsere bekannten Werte ein und schauen mal, wo sich unser gefiederter Freund aufhält. Er muss einen Weg von 250 Kilometern zurücklegen und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde. Wir multiplizieren mit dem Kehrwert unserer Geschwindigkeit und können dadurch Giovannis Frage beantworten. Die Taube wird 5 Stunden brauchen, um den Brief abzuliefern. Giovanni wartet sehnsüchtig auf die Antwort seiner Herzallerliebsten. Oh, er wird wohl noch etwas länger warten müssen.

Konstante Geschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Konstante Geschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Zeit und den Weg, den die Brieftaube braucht.

    Tipps

    Die Brieftaube fliegt mit einer Geschwindigkeit von $v = 50 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}}$. Also legt sie einen Weg von $50~\text{Kilometern}$ in $1~\text{Stunde}$ zurück.

    Der Weg ist abhängig von der Zeit. Verdoppelt sich die Zeit, so verdoppelt sich auch der Weg.

    Beispielrechnung für $v=10 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}}$:

    Nach $1~ \text{Stunde}$ wurden $10~ \text{Kilometer}$ Weg zurückgelegt.

    Nach $2 \cdot 1 ~\text{Stunde} = 2~ \text{Stunden}$ wurden $ 2 \cdot 10~ \text{Kilometer} = 20~ \text{Kilometer}$ Weg zurückgelegt.

    Nach $3 \cdot 1~ \text{Stunde}= 3~ \text{Stunden}$ wurden $ 3 \cdot 10~ \text{Kilometer} = 30~ \text{Kilometer}$ Weg zurückgelegt.

    Lösung

    Die Brieftaube fliegt mit einer Geschwindigkeit von $v = 50 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}}$. Also legt sie einen Weg von $50~\text{Kilometern}$ in $1~\text{Stunde}$ zurück.

    • In $2 ~\text{Stunden}$ fliegt sie:
    $50 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 2 ~ \text{h} = 100 ~\text{km} = 100~ \text{Kilometer}$.

    • $200~\text{km} = 4 \cdot 50 ~\text{km}$
    Da $200$ ein Vielfaches von $50$ ist und sich als $4 \cdot 50$ ausdrücken lässt, ist die Zeit auch mit $4$ zu multiplizieren.

    Daher dauert es $4~\text{Stunden}$, bis die Taube $200~\text{Kilometer}$ zurückgelegt hat.

  • Gib die Berechnung zum Weg an.

    Tipps

    Der Startpunkt der Rechnung ist die bereits bekannte Information über die Geschwindigkeit.

    Nach und nach kann die Rechnung umgestellt, durch Begriffe ersetzt und dann durch die Variablen ersetzt werden.

    • $s$ ist die Variable für den Weg.
    • $v$ ist die Variable für die Geschwindigkeit.
    • $t$ ist die Variable für die Zeit.
    Lösung

    $1.$ Bei einer konstanten Geschwindigkeit ändert sich der Weg proportional zur Zeit. Bekannt ist der Weg, der in einer halben Stunde zurückgelegt wird. Die Geschwindigkeit, die das Verhältnis von Weg und Zeit angibt, kann erweitert werden. So erhält man die Geschwindigkeit als Verhältnis des zurückgelegten Weges in einer Stunde $\left( \frac{\text{km}}{\text{h}} \right)$, was die übliche Einheit der Geschwindigkeit ist:

    • $\text{Geschwindigkeit} = \frac{25 ~\text{km}}{\frac{1}{2}~ \text{h}} = \frac{25 ~\text{km}~ \cdot~~~ 2}{\frac{1}{2}~ \text{km}~ \cdot ~2} = \frac{50 ~\text{km}}{1~ \text{h}}. $
    $2.$ Mit der Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}} $ kann nun sehr einfach der zurückgelegte Weg in einer bestimmten Zeit ermittelt werden. Durch die Proportionalität von Weg und Zeit wissen wir, dass die Taube in $2$ Stunden doppelt so weit fliegt wie in $1$ Stunde.

    • $\text{zur} \ddot{\text{u}} \text{ckgelegter Weg in} ~ 2~ \text{Stunden} = 50 \frac{\text{km}}{\text{h}}~ \cdot 2 ~\text{h} = 100~ \text{km}$
    $3.$ Die ermittelte Gleichung kann mit Hilfe von Begriffen umgeschrieben werden.

    • $50 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ ist die Geschwindigkeit, was in der Formel durch den Begriff „Geschwindigkeit“ ersetzt werden kann.
    • Stunde ($\text{h}$) ist eine Zeiteinheit, weshalb auch dieser Faktor durch den Begriff „Zeit“ ersetzt werden kann.
    • $100 ~\text{km}$ ist der zurückgelegte Weg der Taube, weshalb der Begriff „Weg“ eingesetzt wird.
    Daraus entsteht die Gleichung:

    • $\text{Geschwindigkeit} ~ \cdot ~ \text{Zeit} ~ = \text{Weg}$.
    $4.$ Da in der Mathematik nicht Begriffe, sondern Variablen benutzt werden, lautet die Gleichung:

    • $v \cdot t = s$.
    $5.$ Da der Weg $s$ die abhängige Variable ist, wird sie auf die linke Seite der Gleichung geschrieben:

    • $s = v \cdot t $.
    Wir haben somit eine allgemeingültige Formel. Jede der Variablen kann damit berechnet werden, sobald uns zwei der drei Variablen bekannt sind.

  • Bestimme die richtige Lösung.

    Tipps

    Beispielrechnung:

    $s = 20 ~\text{km}, ~ t = 0,5 ~\text{h}$

    $v = \frac{s}{t} = \frac{20 ~\text{km}}{0,5 ~\text{h}} = 40 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Lösung

    • $1.$ (Auto): $ v = 50 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}, ~s = 20 ~\text{km}$
    Die Geschwindigkeit und der Weg sind bekannt. Die Zeit, die Lena für ihre Autofahrt benötigt, ist noch nicht gegeben. Diese kann wie folgt ermittelt werden:

    $t = \frac{s}{v} = \frac{20 ~\text{km}}{50 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0,4~ \text{h}$.

    • $2.$ (Fahrrad): $ s = 30 ~\text{km}, ~ t = 2,5 ~ \text{h}$
    Der Weg und die Zeit, die Lena für ihre Fahrradstrecke benötigt, sind ihr bekannt. Daraus kann sie nun die Geschwindigkeit ermitteln:

    $v = \frac{s}{t} = \frac{30 ~\text{km}}{2,5 ~\text{h}} = 12 ~\text{km}$.

    • $3.$ (zu Fuß): $ t = 2 ~\text{h}, ~v = 4,5 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
    Lena ist $2 ~\text{Stunden}$ lang zu Fuß unterwegs und sie läuft dabei mit einer Geschwindigkeit von $v = 4,5 ~\text{Kilometern pro Stunde}$. Den Weg, den sie hinter sich bringt, kann sie wie folgt ermitteln:

    $ s = v \cdot t = 4,5 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 2 ~\text{h} = 9 ~\text{h}$.

    • $4.$ (Zug): $ t = 0,5 ~\text{h}, ~s = 80~ \text{km}$
    Die letzten $80~\text{Kilometer}$ fährt Lena mit dem Zug. Sie braucht nur eine halbe Stunde. Die Geschwindigkeit des Zuges kann sie mit den ihr bekannten Größen wie folgt ermitteln:

    $ v = \frac{s}{t} = \frac{80~ \text{km}}{0,5 ~\text{h}} = 160 ~ \frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Ermittle für jeden Graphen die jeweilige Geschwindigkeit.

    Tipps

    Die Gerade nimmt für $x = 1$ den $y$-Wert $50$ an. Daher wird in $1 ~\text{h}$ ein Weg von $50 ~ \text{km }$ geschafft. Die Geschwindigkeit lässt sich ermitteln, indem die Werte in die Formel $v = \frac{s}{t}$ eingesetzt werden, wobei der Weg $s = 50 ~ \text{km }$ beträgt und die Zeit $ t= 1 ~\text{h}$.

    $v = \frac{s}{t} = \frac{50 ~ \text{km }}{1 ~\text{h}} = 50 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Möglich ist es, auch einen beliebig anderen Punkt abzulesen.

    Für $t= 2~\text{h}$ nimmt der Graph den Wert $s=100~\text{km}$ an. Durch das Einsetzen in die Formel erhält man:

    $v = \frac{s}{t} = \frac{100 ~ \text{km }}{2 ~\text{h}} = 50 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    Lösung

    Durch einfaches Ablesen eines Weg-Zeit-Diagrammes kann die Geschwindigkeit bestimmt werden. Auf der $x$-Achse (Zeitachse) kann theoretisch eine beliebige Zeiteinheit (in Stunden) gewählt werden. Mit Hilfe der Gerade kann dann auf der $y$-Achse (Wegachse) abgelesen werden, wie viel Kilometer nach der gewählten Zeiteinheit erreicht wurden. Anschließend wird der abgelesene Weg durch die gewählte Zeiteinheit geteilt und man erhält die Geschwindigkeit ($v=\frac{s}{t}$). Da durch die gewählte Zeiteinheit geteilt werden muss, bietet es sich an, den Weg nach einer Stunde abzulesen, falls möglich.

    • Der Elefant
    Der zweite Punkt bietet sich hier zum Ablesen der Werte an, da die Werte auf der $x$-Achse (bzw. Zeitachse) sowie auf der $y$-Achse (bzw. Wegachse) eindeutig erkennbar sind.

    Der Elefant legt in einer Stunde ($t=1~\text{h}$) einen Weg von $40~\text{km}$ zurück. Somit ist die Geschwindigkeit wie folgt zu ermitteln:

    $v_{\text{Elefant}} = \frac{40~\text{km}}{1~\text{h}} = 40 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    • Die Biene
    Mittels des ersten Punktes lässt sich die Geschwindigkeit ablesen. Dieser liegt auf der Zeitachse bei $1~\text{h}$ und auf der Wegachse bei $20~\text{km}$. Daraus lässt sich die Geschwindigkeit leicht ermitteln:

    $v_{\text{Biene}} = \frac{20~\text{km}}{1~\text{h}} = 20 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    • Das Pferd
    Hier kann die Geschwindigkeit durch alle drei eingetragenen Punkte erfolgen. In $0,5~\text{h}$ legt das Pferd $35~\text{km}$ zurück, in $1~\text{h}$ $70~\text{km}$ und in $1,5~\text{h}$ $105~\text{km}$. Die Geschwindigkeit lässt sich durch eines der drei Wertepaare ermitteln:

    $1.$ Möglichkeit: $v_{\text{Pferd}} = \frac{35~\text{km}}{0,5~\text{h}} = 70 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    $2.$ Möglichkeit: $v_{\text{Pferd}} = \frac{70~\text{km}}{1~\text{h}} = 70 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    $3.$ Möglichkeit: $v_{\text{Pferd}} = \frac{105~\text{km}}{1,5~\text{h}} = 70 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Hier lässt sich gut erkennen, dass es sinnvoll ist, den Weg für $t=1~\text{h}$ abzulesen.

    • Die Feuerqualle
    Bei $t=1~\text{h}$ hat die Feuerqualle einen Weg von $2~\text{km}$ zurückgelegt:

    $v_{\text{Feuerqualle}} = \frac{2~\text{km}}{1~\text{h}} = 2 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Benenne die Formeln zur Weg-Zeit-Geschwindigkeit-Beziehung.

    Tipps
    • $s$ ist die Variable für den Weg.
    • $v$ ist die Variable für die Geschwindigkeit.
    • $t$ ist die Variable für die Zeit.
    • Die Einheit vom Weg $s$ ist Kilometer $\left( \text{km} \right)$.
    • Die Einheit der Geschwindigkeit $v$ ist Kilometer pro Stunde $\left( \frac{\text{km}}{\text{h}} \right)$.
    • Die Einheit der Zeit $t$ ist Stunde $\left( \text{h} \right)$.
    Lösung

    Durch die Betrachtung der Einheiten kann überprüft werden, ob die Formel korrekt ist. So kann in jeder Formel die jeweilige Einheit eingesetzt werden:

    • Die Einheit vom Weg $s$ ist $\text{km}$.
    • Die Einheit der Geschwindigkeit $v$ ist $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
    • Die Einheit der Zeit $t$ ist $\text{h}$.
    Richtige Formeln:

    • $ s = v \cdot t$
    Einheitenbetrachtung:

    $\text{km} = \frac{\text{km}}{\text{h}}~ \cdot \text{h} $

    Da sich $\text{h}$ wegkürzt, bleibt nur noch $\text{km}$ übrig, was die Einheit des gesuchten Weges ist.

    • $v = \frac{s}{t}$
    Einheitenbetrachtung:

    $\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{\text{km}}{\text{h}} $

    Mit Einsetzen der Einheiten in die Gleichung steht auf beiden Seiten dasselbe, weshalb die Formel korrekt ist.

    Falsche Formeln:

    • $ s = \frac{t}{v}$
    Einheitenbetrachtung:

    $\text{km} ~= \frac{\text{h}}{\frac{\text{km}}{\text{h}}} = \frac{\text{h} \cdot \text{h}}{\text{km}}$

    Da nach dem Einsetzen der Einheiten auf beiden Seiten nicht dasselbe steht, kann die Formel nicht korrekt sein.

    • $v = s \cdot t$
    Einheitenbetrachtung:

    $\frac{\text{km}}{\text{h}} ~= \text{km} ~\cdot \text{h}$

    Es kann hier nichts mehr gekürzt werden, deshalb steht auf beiden Seiten der Gleichung nicht dasselbe. Daher kann die Formel nicht korrekt sein.

    • $v = \frac{t}{s}$
    Einheitenbetrachtung:

    $\frac{\text{km}}{\text{h}} ~= \frac{\text{h}}{\text{km}}$

    Da nach dem Einsetzen der Einheiten auf beiden Seiten nicht dasselbe steht, kann die Formel nicht korrekt sein.

  • Gib die richtigen Aussagen zu konstanten Geschwindigkeiten an.

    Tipps

    Verdoppelt sich die Zeit, so verdoppelt sich auch der Weg.

    Lösung

    Richtige Aussagen:

    • Wenn Cora mit konstanter Geschwindigkeit läuft, ändert sich der Weg proportional zur Zeit.
    Begründung: Die Geschwindigkeit bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich. Der Formel $s = v \cdot t$ nach verändert sich deswegen der Weg proportional zur Zeit.

    • Cora fährt mit dem Auto zum Ausgangspunkt ihrer Wanderung. Dieser liegt $50~ \text{km}$ entfernt von ihrer Wohnung. Danach beginnt sie mit der Wanderung, die am ersten Tag $21 ~\text{km}$ weit ist und $3$ Stunden dauert. Die $50~\text{km}$, die sie zum Zeitpunkt $t=0$ bereits hinter sich gebracht hat, sollen im Graphen berücksichtigt werden. Dies wird berücksichtigt, indem die $y$-Achse (hier: $s$-Achse oder Wegachse) bei $50~\text{km}$ geschnitten wird.
    Begründung: Die $y$-Achse (bzw. $s$-Achse) gibt den Weg an. Wurde zum Zeitpunkt $t=0$ bereits ein Weg zurückgelegt, so läuft der Graph nicht mehr durch den Ursprung (Schnittpunkt beider Achsen). Der Graph schneidet die $y$-Achse (bzw. $s$-Achse) auf Höhe des bereits zurückgelegten Weges.

    • Bei einer konstanten Geschwindigkeit ist der Graph eine Gerade.
    Begründung: Der Weg und die Zeit verhalten sich proportional zueinander, daher ist der Graph eine Gerade. Verdoppelt sich die Zeit, so verdoppelt sich auch der zurückgelegte Weg.

    Falsche Aussagen:

    • Bei einer konstanten Geschwindigkeit von $5 ~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ legt Cora in einer halben Stunde einen Weg von $3~\text{km}$ zurück.
    Begründung: Eine halbe Stunde ist die Hälfte einer ganzen Stunde. Da der Weg und die Zeit proportional zueinander sind, halbiert sich auch der Weg. Daher hat Cora einen Weg von $2,5 ~\text{km}$ zurückgelegt.

    • Cora fährt mit dem Auto zum Ausgangspunkt ihrer Wanderung. Dieser liegt $50~ \text{km}$ entfernt von ihrer Wohnung. Danach beginnt sie mit der Wanderung, die am ersten Tag $21~\text{km}$ weit ist und $3~\text{Stunden}$ dauert. Die $50~\text{km}$, die sie zum Zeitpunkt $t=0$ bereits hinter sich gebracht hat, sollen im Graphen berücksichtigt werden. Dies wird berücksichtigt, indem die $x$-Achse (hier: $t$-Achse oder Zeitachse) bei $50~\text{km}$ geschnitten wird.
    Begründung: Die $x$-Achse (bzw. $t$-Achse) gibt in diesem Fall die Zeit an und nicht den Weg. Die $y$-Achse (bzw. $s$-Achse) wird daher bei $50~\text{km}$ geschnitten.

    • $y$ (hier: $s$) ist eine unabhängige Variable. $x$ (hier: $t$) stellt die abhängige Variable dar.
    Begründung: $x$ (hier: $t$) ist die unabhängige Variable und $y$ (hier: $s$) ist abhängig von $x$ und somit die abhängige Variable.