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Proportionale Funktionen – Einführung

Proportionale Funktionen in der Mathematik erklären, wie Preis und Menge zusammenhängen. Mithilfe von Wertetabellen und Graphen kannst du die Funktionsgleichung bestimmen. Möchtest du wissen, wie viel Arwin für $51$ Drinks bezahlen muss? Klingt interessant? Das und noch vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!

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Team Digital
Proportionale Funktionen – Einführung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Proportionale Funktionen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Funktionen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Wertetabelle und stelle die zugehörige Funktionsgleichung der proportionalen Funktion auf.

    Tipps

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, musst du in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividierst du $3$ durch $3$. Also musst du auch $9$ durch $3$ dividieren.

    Der Verkauf ist ein proportionaler Zusammenhang. Solche Zusammenhänge berechnest du mit proportionalen Funktionen. Diese setzen sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=mx$

    Dabei ist $m$ die Steigung.

    Den Funktionswert $f(x)$ zu einem bestimmten $x$-Wert berechnest du, indem du die Variable $x$ in der Funktionsgleichung durch den Wert ersetzt und $f(x)$ berechnest.

    Schaue dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{ll} \text{gegeben:} & f(x)=5x \\ \text{gesucht:} & f(3) \\ \\ \text{Lösung:} & f(3)=5\cdot 3=15 \end{array}$

    Lösung

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividieren wir $3$ durch $3$. Also müssen wir auch $9$ durch $3$ dividieren. Das ergibt $3$.
    Anschließend bestimmen wir den Funktionswert zu $2$. Da wir $1$ mit $2$ multiplizieren, müssen wir auch $3$ mit $2$ multiplizieren. So erhalten wir für die zweite Lücke in der Wertetabelle $6$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:

    Wertetabelle

    $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Kokosdrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 3 & 9 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}$

    Funktionsgleichung

    Um die Funktionsgleichung aufzustellen, müssen wir zunächst die Steigung bestimmen. Diese berechnen wir mit der folgenden Beziehung:

    $m=\frac{f(x)}{x}$

    Wir können die Steigung für ein beliebiges Wertepaar aus der Wertetabelle berechnen. So erhalten wir den folgenden Wert:

    $m=\frac{3}{1}=3$

    Demnach lautet die gesuchte spezifische Funktionsgleichung:

    $f(x)=3x$

    Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(51)$

    Mit der Funktionsgleichung können wir nun berechnen, wie viele Bananen Arwin für $51$ Kokosdrinks benötigt. Hierzu ersetzen wir die Variable $x$ mit $51$ und erhalten:

    $f(51)=3\cdot 51=153$

    Arwin muss also für $51$ Kokosdrinks $153$ Bananen ausgeben. Das wird wohl eine teure Party für Arwin!

  • Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne den gesuchten Funktionswert.

    Tipps

    Hat eine proportionale Funktion negative Funktionswerte, so ist ihre Steigung negativ.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:

    $f(x)=mx$

    Stellst du diese nach der Steigung $m$ um, kannst du mit einem bekannten Wertepaar die Steigung berechnen:

    $m=\frac{f(x)}{x}$

    Lösung

    Wir betrachten diese proportionale Zuordnung:

    $\text{Anzahl Melonendrinks} \rightarrow \text{Anzahl Bananen}$

    Im Folgenden vervollständigen wir zunächst die Wertetabelle und leiten dann die zugehörige spezifische Funktionsgleichung her, um schließlich den Funktionswert für $x=16$ zu bestimmen.

    Wertetabelle

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $2$ auf $4$ zu kommen, multiplizieren wir $2$ mit $2$. Also müssen wir auch $-5$ mit $2$ multiplizieren. Das ergibt $-10$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:

    $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Melonendrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 2 & -5 \\ 4 & -10 \end{array}$

    Funktionsgleichung

    Die Steigung der proportionalen Funktion erhalten wir wie folgt:

    $m=\frac{f(x)}{x}=\frac{-5}{2}=-\frac 52$

    Demnach lautet die spezifische Funktionsgleichung:

    $f(x)=-\frac 52\cdot x$

    Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(16)$

    Mit der Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, wie viele Bananen Thorsten für $16$ Melonendrinks benötigt:

    $f(16)=-\frac 52\cdot 16=-5\cdot 8=-40$

    Ob es klug ist, so viele Schulden aufzunehmen?

  • Ermittle die Funktionsgleichungen der gegebenen Geraden.

    Tipps

    Eine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:

    • $m>0$: steigende Gerade
    • $m<0$: fallende Gerade

    Die Steigung der Geraden kannst du grafisch bestimmen, indem du dir zwei Punkte auf der Geraden aussuchst und dich dann von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt bewegst. Dabei gehst du wie folgt vor:

    • $m>0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
    • $m<0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
    Lösung

    Eine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:

    • $m>0$: steigende Gerade
    • $m<0$: fallende Gerade
    Bei den gegebenen Geraden handelt es sich also je zweimal um eine proportionale Funktion mit positiver und negativer Steigung. Doch wie können wir den Betrag der Steigung grafisch bestimmen?

    Hierfür gehen wir wie folgt vor: Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und wandern von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt. Dabei zählen wir die gemachten Schritte. Wir rechnen mit diesen Schritten:

    • $m>0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
    • $m<0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
    Schauen wir uns jetzt die gegebenen Geraden an:

    Gerade 1

    Es handelt sich hierbei um eine fallende Gerade, also ist die Steigung negativ. Wir bewegen uns nun vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $3$
    • Anzahl der Schritte nach links: $1$
    Also ist $m=-\frac 31=-3$ und die Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=-3x$.

    Gerade 2

    Es handelt sich hierbei um eine steigende Gerade, also ist die Steigung positiv. Wir bewegen uns jetzt vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $1$
    • Anzahl der Schritte nach rechts: $3$
    Also ist $m=\frac 13$ und die Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=\frac 13x$.

    Gerade 3

    Die Steigung ist wieder positiv. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $3$
    • Anzahl der Schritte nach rechts: $1$
    Also ist $m=\frac 31$ und die Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=3x$.

    Gerade 4

    Die Steigung ist negativ. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $1$
    • Anzahl der Schritte nach links: $3$
    Also ist $m=-\frac 13$ und die Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=-\frac 13x$.

  • Bilde die Funktionsgleichung zu den gegebenen Wertetabellen von proportionalen Funktionen.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:

    $f(x)=mx$

    Kennst du einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$, kannst du die Steigung $m$ wie folgt berechnen:

    $m=\frac{f(x)}{x}$

    So dividierst du eine ganze Zahl $a$ durch einen Bruch $\frac bc$:

    $a:\frac bc=\frac a1 :\frac bc=\frac a1\cdot \frac cb=\frac{a~ \cdot ~ c}{1~ \cdot ~b}$

    So dividierst du einen Bruch $\frac bc$ durch eine ganze Zahl $a$:

    $\frac bc:a=\frac bc :\frac a1=\frac bc\cdot \frac 1a=\frac{b~\cdot ~1}{c~\cdot ~a}$

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:

    $f(x)=mx$

    Diese können wir mittels Äquivalenzumformung nach der Steigung $m$ umstellen. Es ergibt sich dann folgende Gleichung:

    $m=\frac{f(x)}{x}$

    Wenn wir nun einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$ außer $(0\vert 0)$ einer proportionalen Funktion kennen, können wir diesen in die Gleichung einsetzen und die Steigung $m$ bestimmen. Mit dieser können wir dann eine Funktionsgleichung aufstellen. Im Allgemeinen kann man die Funktionsgleichung einer Geraden über zwei Punkte ermitteln. Da wir bei einer proportionalen Funktion bereits den Punkt $(0\vert 0)$ kennen, genügt ein weiterer Punkt für die Bestimmung der Geradengleichung. Wir erhalten dann die folgenden Funktionsgleichungen:

    Beispiel 1

    Der Punkt $(2\vert 4)$ liefert folgende Steigung:

    $m=\frac 42=2$

    Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=2x$.

    Beispiel 2

    Der Punkt $(4\vert 2)$ liefert folgende Steigung:

    $m=\frac 24=\frac 12$

    Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=\frac 12x$.

    Beispiel 3

    Der Punkt $(\frac 14\vert -2)$ liefert folgende Steigung:

    $m=-2:\frac 14=-\dfrac{2\cdot 4}{1}=-8$

    Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=-8x$.

    Beispiel 4

    Der Punkt $(\frac 12\vert 4)$ liefert folgende Steigung:

    $m=4:\frac 12=\dfrac{4\cdot 2}{1}=8$

    Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=8x$.

  • Gib die Eigenschaften proportionaler Funktionen an.

    Tipps

    Die Steigung der Geraden durch die Punkte $(0\vert 0)$ und $(1\vert -1)$ ist negativ.

    Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist $f(x)=mx+b$, wobei $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist. Für $b=0$ verläuft die Gerade durch $(0\vert 0)$.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die Eigenschaften der Funktionsgraphen proportionaler Funktionen:

    • Proportionale Funktionen haben die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$.
    • Die Funktionsgraphen proportionaler Funktionen sind Geraden, die immer durch den Koordinatenursprung $(0\vert 0)$ verlaufen.
    • Die Geraden haben die Steigung $m$. Ist die Steigung positiv, handelt es sich um eine steigende Gerade. Bei einer negativen Steigung fällt die Gerade. Die Abbildung stellt je ein Beispiel für eine steigende und fallende Gerade mit den zugehörigen Steigungen dar.
  • Ermittle den gesuchten $x$-Wert.

    Tipps

    Diese Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Lauras Limonaden-Geschäft an:

    $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Limonaden} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 2,50\ € \\ 2 & 5,00\ € \end{array}$

    Die Steigung einer proportionalen Funktion ist wie folgt definiert:

    $m=\frac{f(x)}{x}$

    Lösung

    Aus der Aufgabenstellung kennen wir folgendes Wertepaar: $(1\vert 2,5)$. Mit diesem können wir die Steigung der proportionalen Funktion berechnen:

    $m=\frac{f(x)}{x}=\frac{2,5}{1}=2,5$

    Das Einkommen $f(x)$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ kann mit folgender Funktionsgleichung berechnet werden:

    $f(x)=2,5\cdot x$

    Diese Funktionsgleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ umgestellt werden:

    $x=\frac{f(x)}{2,5}$

    Für ein Einkommen von $30\ €$ liefert die Gleichung dann diesen $x$-Wert:

    $x=\frac{30}{2,5}=12$

    Demnach muss Laura mindestens $12$ Limonaden verkaufen, um sich den Pullover leisten zu können.