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Proportionale Funktionen – Einführung 08:51 min

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Transkript Proportionale Funktionen – Einführung

Ricky, der Barmann, verkauft Drinks im Outback ein tolles Geschäft. Sein heutiges Angebot: Für drei Kokosdrinks, verlangt er nur neun Bananen. Sein Kunde, Arwin, plant eine Party, für die er genau 51 Kokosdrinks benötigt. Wie viele Bananen muss Arwin dafür bezahlen? Der Verkauf ist ein proportionaler Zusammenhang - und solche Zusammenhänge, berechnen wir auch mit proportionalen Funktionen. Hierzu erstellen wir zunächst eine Wertetabelle. In die erste Spalte, tragen wir die Anzahl der Kokosdrinks ein und in die zweite Spalte die Anzahl der Bananen. "Wir gehen von 0 und 3 Kokosdrinks aus... und wollen noch die Bananenpreise für einen und zwei Kokosdrinks berechnen." Die bekannten Bananenpreise schreiben wir in die zweite Spalte. Die Kosten für Null Kokosdrinks betragen dabei natürlich Null Bananen. Doch wie kommen wir auf die unbekannten Werte? Wir betrachten zunächst, um welchen Faktor sich der Wert in der ersten Spalte von einem Schritt zum anderen verändert. Hier teilen wir "durch drei"! Der Wert in der zweiten Spalte muss dann ebenfalls, "durch drei" geteilt werden. Ein Kokosdrink kostet also drei Bananen. Für zwei Kokosdrinks nehmen wir in der Spalte "mal zwei" also auch in der anderen "mal zwei" und so erhalten wir den Preis von 6 Bananen! Da wir eine proportionale Funktion aufstellen möchten, ersetzen wir hier unsere beiden Größen mit Variablen: Für die Anzahl der Kokosdrinks wählen wir die Variable x und davon abhängig schreiben wir f von x für die Anzahl der Bananen. Diese Variablen ergänzen wir in der Wertetabelle. Nun wollen wir den Funktionsgraphen zeichnen. Merke dir: Der Graph einer proportionalen Funktion ist immer, eine gerade durch den Koordinatenursprung. Deshalb muss auch unser Graph, eine Gerade sein er stellt alle möglichen Paare von Kokosdrinks und Bananen dar. Wie stark die Gerade steigt, gibt die sogenannte Steigung an. Ausgehend von den Paaren unserer Wertetabelle, wollen wir nun Punkte zur Bestimmung unseres Graphen einzeichnen. Unser erstes Wertepaar (0,0), ist der Koordinatenursprung. Das Wertepaar (3,9), ist DIESER Punkt. Der Punkt (1,3), liegt hier und (2,6), hier. Durch diese Punkte zeichnen wir nun unsere Gerade. Die Steigung dieser Geraden können wir graphisch bestimmen, indem wir die "Anzahl der Schritte nach oben", durch die "Anzahl der Schritte nach rechts" teilen. Wir betrachten hierzu die Punkte " Null-Null" und "Zwei-Sechs". Ausgehend vom ersten Punkt gehen wir zwei Schritte nach rechts und sechs Schritte nach oben. So erhalten wir ein Steigungsdreieck mit einem Seitenverhältnis von "sechs Halben". Die übernehmen wir in unsere Rechnung und das ergibt 3. Ebenso könnten wir auch die Punkte (0,0) und (1,3) betrachten. Dann würden wir einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben machen und somit eine Steigung von drei einteln also wieder 3 erhalten. Doch wie lesen wir nun die erforderliche Bananenanzahl für 51 Kokosdrinks ab? Jede Funktion kannst du mit der zugehörigen Funktionsgleichung beschreiben. Proportionale Funktionen haben immer die Form "f von x" gleich "m mal x". Den ermittelten Wert für unsere Steigung, also 3 setzen wir nun für m in die Funktionsgleichung ein. Wir haben unsere spezifische Funktionsgleichung gefunden und können damit für jeden x-Wert den zugehörigen Funktionswert "f von x" berechnen. Dabei steht das x immer noch für die Anzahl der Kokosdrinks und das "f von x" für die zugehörige Bananenanzahl. Nun wollen wir für 51 Kokosdrinks den Bananenpreis "f von 51" ermitteln. Setzen wir für x den Wert 51 in die Gleichung ein, erhalten wir 3 mal 51, also 153 Bananen. Das wird wohl eine teure Party für Arwin - gut, dass er vorgesorgt hat. Rickys nächster Kunde ist das Känguru Thorsten. Thorsten möchte gern 16 Melonendrinks haben. zwei Melonendrinks kosten fünf Bananen. Da Thorsten jedoch keine Bananen hat, muss er für seinen Einkauf wohl oder übel Schulden bei Ricky aufnehmen. Auch für diesen Fall erstellen wir uns eine Wertetabelle. Diesmal steht die Variable x, für die Anzahl der Melonendrinks und die abhängige Variable "f von x" wieder für die Bananenanzahl. Diesmal wollen wir aber miteinbeziehen, dass Thorsten sich mit dieser Bananenanzahl verschuldet. Um dies kenntlich zu machen, werden wir alle zugehörigen Werte mit einem negativem Vorzeichen versehen. Für die Anzahl der Melonendrinks tragen wir null, zwei und vier in unsere Tabelle ein. Die Bananen, die Thorsten dafür bezahlen muss, sind für Null Drinks auch Null Bananen! Und für 2 Melonendrinks fünf Bananen! Weil es aber Schulden sind, mit negativem Vorzeichen. Um die Bananenanzahlo für 4 Drinks zu berechnen, schauen wir uns den Faktor auf dieser Seite an: hier nehmen "mal zwei". das machen wir auch auf der anderen Seite und erhalten die zu vier Melonendrinks gehörigen Schulden von "minus zehn" Bananen. In einer dritten Spalte berechnen wir diesmal die Steigung m, indem wir Funktionsgleichung f von x gleich m mal x, nach m umstellen. Null durch Null geht nicht, denn durch null dürfen wir nicht teilen. Aus dieser Zeile erhalten wir den Quotienten "minus 5, geteilt durch 2", also "minus 5 Halbe! Aus dieser Zeile ergibt sich der Quotient "minus 10, geteilt durch 4" gekürzt also ebenfalls "minus 5 Halbe! Somit erhalten wir für alle Wertepaare den gleichen Quotienten. Da Quotientengleichheit vorliegt, haben wir hier auf jeden Fall eine proportinale Zuordnung! Zudem entspricht der Quotient m, der Steigung der zugehörigen proportionalen Funktion! - Diesmal haben wir sie also nicht graphisch über das Steigungsdreieck ermittelt sondern rechnerisch! Aber auch so können wir wieder die Steigung, "minus 5 halbe", in die allgemeine Funktionsgleichung "f von x" gleich "m mal x" einsetzen und erhalten so unsere spezifische Funktionsgleichung. Dabei steht das x hier für die Anzahl der Melonendrinks und das "f von x" für die zugehörige Bananenanzahl. Wir wollen für 16 Melonendrinks den Bananenpreis "f von 16" ermitteln. Dafür setzen wir für x, in die Gleichung den Wert 16 ein, diesen Ausdruck können wir noch kürzen und so erhalten wir "minus 40" Bananen als Ergebnis! - Ob es klug ist, so viele Schulden aufzunehmen? Schauen wir uns der Vollständigkeit halber noch den zugehörigen Funktionsgraphen an. Zum Zeichnen einer Geraden genügen uns bereits zwei Punkte. - Die entnehmen wir der Tabelle! Wir verbinden die Punkte (0,0) und (2, -5) im Koordinatensystem. Es ergibt sich eine fallende Gerade. Merke dir: Eine negative Steigung liefert immer eine fallende Gerade. Lass uns das alles noch kurz zusammenfassen. Eine Darstellungsmöglichkeit, ist eine Wertetabelle zwischen den Werten einer Variablen x, und den davon abhängigen Werten "f von x". Hier kannst du noch den Quotienten der Einträge "f-von-x geteilt duch x" betrachten wenn der Quotient überall gleich ist, handelt es sich um die Wertepaare einer proportionalen Funktion und der Quotient, entspricht der Steigung der Funktion. Den Funktionsgraphen einer proportionalen Funktion kannst du anhand von zwei Punkten einzeichnen und der Graph ist immer eine gerade durch den Koordinatenursprung. Zu jeder Geraden kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Das Seitenverhältnis entspricht dabei ebenfalls der Steigung der Funktion. Ist die Steigung positiv, so liegt eine steigende Gerade vor. Bei einer negativen Steigung ist die Gerade fallend. Eine proportionale Funktion, kannst du bei bekannter Steigung m, auch mit der Funktionsgleichung "f von x" gleich "m mal x" darstellen. Dafür setzt du den Wert für m in die allgemeine Gleichung ein und schon hast du deine Funktionsgleichung! So genug von proportionalen Funktionen! Was hat Ricky wohl mit den vielen Bananen vor? Tja das Geschäft hat seinen Proportionen wohl nicht besonders gut getan!

30 Kommentare
  1. die wiedios sind zu lang

    Von Kawasylvi, vor etwa einem Monat
  2. bitte genauer!

    Von Rosa W., vor etwa einem Monat
  3. mehr videos und bitte genauer

    Von Conrad Oberhauser, vor etwa 2 Monaten
  4. Vielen Dank hab alles verstanden👌

    Von Sueda k., vor etwa 2 Monaten
  5. Hallo Anjakasecker, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 2 Monaten
  1. Naja erklärt es bitte genauer

    Von Anjakasecker, vor 3 Monaten
  2. Genau mit den selben Beispielen hat unsere Lehrerin das erklärt😎😎😎

    Von Mey Kagermann, vor 3 Monaten
  3. Ich habe es jetzt verstanden dankeeeeeeee❤️

    Von Sandra Nemeth, vor 3 Monaten
  4. Hallo Nussi, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 4 Monaten
  5. wir hatten das Thema vor paar Tagen in der Schule und dort war die Erklärung und Anwendung ganz anders.Leider habe ich das Video auch nicht so ganz verstanden...

    Von Nussi D., vor 4 Monaten
  6. verstanden

    Von Valentinaacar, vor 4 Monaten
  7. Ich fande es gut erklärt danke schön

    Von Nancy D., vor 4 Monaten
  8. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 4 Monaten
  9. Sehr gut erklärt.
    Habe es endlich verstanden.
    Vielen Dank für das tolle Viedeo.
    5von5 Sternen

    Von Nicofisch, vor 4 Monaten
  10. sehr gut erklärt. ich hab es verstanden

    Von Milan.V, vor 5 Monaten
  11. 🤩👍

    Von Xmina Xp, vor 5 Monaten
  12. gut erklärt,Danke

    Von Fermondiaz, vor 5 Monaten
  13. Sehrguterklärt.Danke

    Von Aleksandar B., vor 5 Monaten
  14. sehr schwerr schade

    Von Champions Eros, vor 6 Monaten
  15. Gut erklärt!

    Von Fabian S., vor 9 Monaten
  16. danke hat geholfen. Und außerdem haben sie eine schöne Schrift.

    Von Alexianikita31, vor 10 Monaten
  17. WOW! Klasse erklärt !!!

    Von Sandra Schmiedel, vor 12 Monaten
  18. sehr gut erklärt

    Von Itslearning Nutzer 2535 902269, vor 12 Monaten
  19. gut erklärt!

    Von Deleted User 726202, vor etwa einem Jahr
  20. Super Video. Top

    Von Stahli68, vor etwa einem Jahr
  21. echt coll gemacht

    Von Leif-Ode G., vor etwa einem Jahr
  22. Das ist echt gut erklärt Danke ich weiß jetzt wie es get danke !

    Von Jan Wollenweber, vor etwa einem Jahr
  23. Hallo Internet 7,

    was ist denn aus deiner Sicht falsch?

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa einem Jahr
  24. video ist gut gemacht aber stimmt nicht !!!!!!!!

    Von Internet 7, vor etwa einem Jahr
  25. super

    Von Sara A., vor etwa einem Jahr
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Proportionale Funktionen: f(x) = m·x (1 Videos)

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Proportionale Funktionen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Funktionen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Wertetabelle und stelle die zugehörige Funktionsgleichung der proportionalen Funktion auf.

    Tipps

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, musst du in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links. Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividierst du $3$ durch $3$. Also musst du auch $9$ durch $3$ dividieren.

    Der Verkauf ist ein proportionaler Zusammenhang. Solche Zusammenhänge berechnest du mit proportionalen Funktionen. Diese setzten sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=mx$.

    Dabei ist $m$ die Steigung.

    Den Funktionswert $f(x)$ zu einem bestimmten $x$-Wert berechnest du, indem du die Variable $x$ in der Funktionsgleichung durch den Wert ersetzt und $f(x)$ berechnest. Schau dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{ll} \text{Gegeben:} & f(x)=5x \\ \text{Gesucht:} & f(3) \\ \\ \text{Lösung:} & f(3)=5\cdot 3=15 \end{array}$

    Lösung

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links. Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividieren wir $3$ durch $3$. Also müssen wir auch $9$ durch $3$ dividieren, das ergibt $3$. Anschließend bestimmen wir den Funktionswert zu $2$. Da wir $1$ mit $2$ multiplizieren, müssen wir auch $3$ mit $2$ multiplizieren. So erhalten wir für die zweite Lücke in der Wertetabelle $6$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:

    Wertetabelle

    $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Kokosdrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 3 & 9 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}$

    Funktionsgleichung

    Um die Funktionsgleichung aufzustellen, müssen wir zunächst die Steigung bestimmen. Diese berechnen wir mit der folgenden Beziehung:

    • $m=\frac{f(x)}{x}$.
    Wir können die Steigung für ein beliebiges Wertepaar aus der Wertetabelle berechnen. So erhalten wir den folgenden Wert:

    • $m=\frac{3}{1}=3$.
    Demnach lautet die gesuchte spezifische Funktionsgleichung

    • $f(x)=3x$.
    Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(51)$

    Mit der Funktionsgleichung können wir nun berechnen, wie viele Bananen Arwin für $51$ Kokosdrinks benötigt. Hierzu ersetzen wir die Variable $x$ mit $51$ und erhalten

    • $f(51)=3\cdot 51=153$.
    Arwin muss also für $51$ Kokosdrinks $153$ Bananen ausgeben. Das wird wohl eine teure Party für Arwin!

  • Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne den gesuchten Funktionswert.

    Tipps

    Hat eine proportionale Funktion negative Funktionswerte, so ist ihre Steigung negativ.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:

    $f(x)=mx$.

    Stellst du diese nach der Steigung $m$ um, kannst du mit einem bekannten Wertepaar die Steigung berechnen:

    $m=\frac{f(x)}{x}$.

    Lösung

    Wir betrachten folgende proportionale Zuordnung:

    • $\text{Anzahl Melonendrinks} \mapsto \text{Anzahl Bananen}$.
    Im Folgenden vervollständigen wir zunächst die Wertetabelle und leiten dann die zugehörige spezifische Funktionsgleichung her, um schließlich den Funktionswert für $x=16$ zu bestimmen.

    Wertetabelle

    Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links. Um von $2$ auf $4$ zu kommen, multiplizieren wir $2$ mit $2$. Also müssen wir auch $-5$ mit $2$ multiplizieren, das ergibt $-10$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:

    $\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Melonendrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 2 & -5 \\ 4 & -10 \end{array}$

    Funktionsgleichung

    Die Steigung der proportionalen Funktion erhalten wir wie folgt:

    • $m=\frac{f(x)}{x}=\frac{-5}{2}=-\frac 52$.
    Demnach lautet die spezifische Funktionsgleichung:

    • $f(x)=-\frac 52\cdot x$.
    Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(16)$

    Mit der Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, wie viele Bananen Thorsten für $16$ Melonendrinks benötigt:

    • $f(16)=-\frac 52\cdot 16=-5\cdot 8=-40$.
    Ob es klug ist, so viele Schulden aufzunehmen?

  • Ermittle die Funktionsgleichungen der gegebenen Geraden.

    Tipps

    Eine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:

    • $m>0$: steigende Gerade und
    • $m<0$: fallende Gerade.

    Die Steigung der Geraden kannst du graphisch bestimmen, indem du dir zwei Punkte auf der Geraden aussuchst und dich dann von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt bewegst. Dabei gehst du wie folgt vor:

    • $m>0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
    • $m<0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
    Lösung

    Eine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:

    • $m>0$: steigende Gerade und
    • $m<0$: fallende Gerade.
    Bei den gegebenen Geraden handelt es sich also je zweimal um eine proportionale Funktion mit positiver und negativer Steigung. Doch wie können wir den Betrag der Steigung graphisch bestimmen?

    Hierfür gehen wir wie folgt vor. Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und wandern von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt. Dabei Zählen wir die gemachten Schritte. Wir rechnen mit diesen Schritten wie folgt:

    • $m>0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
    • $m<0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
    Schauen wir uns doch nun die gegeben Geraden an.

    Gerade 1

    Es handelt sich hierbei um eine fallende Gerade, also ist die Steigung negativ. Wir bewegen uns nun vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $3$
    • Anzahl der Schritte nach links: $1$.
    Also ist $m=-\frac 31=-3$ und die Funktionsgleichung lautet somit: $f(x)=-3x$.

    Gerade 2

    Es handelt sich hierbei um eine steigende Gerade, also ist die Steigung positiv. Wir bewegen uns nun vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $1$
    • Anzahl der Schritte nach rechts: $3$.
    Also ist $m=\frac 13$ und die Funktionsgleichung lautet somit: $f(x)=\frac 13x$.

    Gerade 3

    Die Steigung ist wieder positiv. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $3$
    • Anzahl der Schritte nach rechts: $1$.
    Also ist $m=\frac 31$ und die Funktionsgleichung lautet somit: $f(x)=3x$.

    Gerade 4

    Die Steigung ist negativ. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:

    • Anzahl der Schritte nach oben: $1$
    • Anzahl der Schritte nach links: $3$.
    Also ist $m=-\frac 13$ und die Funktionsgleichung lautet somit: $f(x)=-\frac 13x$.

  • Bilde die Funktionsgleichung zu den gegebenen Wertetabellen von proportionalen Funktionen.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet $f(x)=mx$.

    Kennst du einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$, so kannst du die Steigung $m$ wie folgt berechnen:

    • $m=\frac{f(x)}{x}$.

    So dividierst du eine ganze Zahl $a$ durch einen Bruch $\frac bc$:

    • $a:\frac bc=\frac a1 :\frac bc=\frac a1\cdot \frac cb=\frac{a~ \cdot ~ c}{1~ \cdot ~b}$.
    So dividierst du einen Bruch $\frac bc$ durch eine ganze Zahl $a$:

    • $\frac bc:a=\frac bc :\frac a1=\frac bc\cdot \frac 1a=\frac{b~\cdot ~1}{c~\cdot ~a}$.
    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:

    $f(x)=mx$.

    Diese können wir mittels Äquivalenzumfomung nach der Steigung $m$ umstellen. Es ergibt sich dann folgende Gleichung:

    • $m=\frac{f(x)}{x}$.
    Wenn wir nun einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$ außer $(0\vert 0)$ einer proportionalen Funktion kennen, so können wir diesen in die Gleichung einsetzen und die Steigung $m$ bestimmen. Mit dieser können wir dann eine Funktionsgleichung aufstellen. Im Allgemeinen kann man die Funktionsgleichung einer Geraden über zwei Punkte ermitteln. Da wir bei einer proportionalen Funktion bereits den Punkt $(0\vert 0)$ kennen, genügt ein weiterer Punkt für die Bestimmung der Geradengleichung. Wir erhalten dann die folgenden Funktionsgleichungen:

    Beispiel 1
    Der Punkt $(2\vert 4)$ liefert folgende Steigung:

    • $m=\frac 42=2$.
    Die Funktionsgleichung lautet dann: $f(x)=2x$.

    Beispiel 2
    Der Punkt $(4\vert 2)$ liefert folgende Steigung:

    • $m=\frac 24=\frac 12$..
    Die Funktionsgleichung lautet dann: $f(x)=\frac 12x$.

    Beispiel 3
    Der Punkt $(\frac 14\vert -2)$ liefert folgende Steigung:

    • $m=-2:\frac 14=-\frac{2\cdot 4}{1}=-8$.
    Die Funktionsgleichung lautet dann: $f(x)=-8x$.

    Beispiel 4
    Der Punkt $(\frac 12\vert 4)$ liefert folgende Steigung:

    • $m=4:\frac 12=\frac{4\cdot 2}{1}=8$.
    Die Funktionsgleichung lautet dann: $f(x)=8x$.

  • Gib die Eigenschaften proportionaler Funktionen an.

    Tipps

    Die Steigung der Geraden durch die Punkte $(0\vert 0)$ und $(1\vert -1)$ ist negativ.

    Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist $f(x)=mx+b$, wobei $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist. Für $b=0$ verläuft die Gerade durch $(0\vert 0)$.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die Eigenschaften der Funktionsgraphen proportionaler Funktionen.

    • Proportionale Funktionen haben die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$.
    • Die Funktionsgraphen proportionaler Funktionen sind Geraden, die immer durch den Koordinatenursprung $(0\vert 0)$ verlaufen.
    • Die Geraden haben die Steigung $m$. Ist die Steigung positiv, so handelt es sich um eine steigende Gerade. Bei einer negativen Steigung fällt die Gerade. Die Abbildung stellt je ein Beispiel für eine steigende und fallende Gerade mit den zugehörigen Steigungen dar.
  • Ermittle den gesuchten $x$-Wert.

    Tipps

    Folgende Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Lauras Limonaden-Geschäft an.

    $ \begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Limonaden} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 2,50\ € \\ 2 & 5,00\ € \end{array} $

    Die Steigung einer proportionalen Funktion ist wie folgt definiert:

    • $m=\frac{f(x)}{x}$.
    Lösung

    Aus der Aufgabenstellung kennen wir folgendes Wertepaar $(1\vert 2,5)$. Mit diesem können wir die Steigung der proportionalen Funktion wie folgt berechnen:

    • $m=\frac{f(x)}{x}=\frac{2,5}{1}=2,5$.
    Das Einkommen $f(x)$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ kann mit folgender Funktionsgleichung berechnet werden:

    • $f(x)=2,5\cdot x$.
    Diese Funktionsgleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ umgestellt werden. Es folgt:

    • $x=\frac{f(x)}{2,5}$.
    Für ein Einkommen von $30\ €$ liefert die Gleichung dann folgenden $x$-Wert:

    • $x=\frac{30}{2,5}=12$.
    Demnach muss Laura mindestens $12$ Limonaden verkaufen, um sich den Pulli leisten zu können.