Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Exponentialfunktion – Definition

Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable (meist $x$), im Exponenten einer Potenz steht. Ein typisches Beispiel ist die folgende Exponentialfunktion mit der Basis $2$:

$f(x)=2^x$

Die allgemeine Form $f_a(x)$ einer Exponentialfunktion lautet:

$f_a(x)=c \cdot a^x$

Dabei gilt:

• $a^x$ ist eine Potenz.
• $x$ ist die Variable der Funktion. Sie steht im Exponenten der Potenz.
• $a \in \mathbb{R}$ ist die Basis der Potenz.
• $c \in \mathbb{R}$ ist eine Konstante.

Bei dem Beispiel $f(x) = 2^x$ haben wir also die Variable $x$, die Basis $2$ und die Konstante $1$.

Exponentialfunktionen spielen vor allem bei Wachstumsprozessen eine große Rolle. Wenn ein Bestand in gleichen Perioden immer um einen bestimmten Faktor wächst, liegt exponentielles Wachstum vor.
Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ wäre das der Faktor $2$. Es gilt:

$f(1) = 2^1 = 2$

$f(2) = 2^2 = 2 \cdot 2$

$f(3) = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \qquad$ usw.

Bei einem solchen Wachstumsprozess ergibt sich der Anfangswert bei $x = 0$ aus der Konstante $c$, denn für jede Basis $a \in \mathbb{R}$ gilt:

$a^0 = 1 \qquad$ und damit $\qquad f_a(0)=c \cdot a^0 = c \cdot 1 = c$

Ist $c = 1$ (wie bei unserer Beispielfunktion), ist also auch $f(0) = 1$:

$f(0) = 2^0 = 1$

Man kann zum Beispiel das Wachstum von Rost auf einer Metallfläche mit einer solchen Exponentialfunktion beschreiben:
Anfänglich deckt der Rost eine Fläche von $1~\text{cm}^2$ ab. Jede Stunde verdoppelt sich diese Fläche.
Die gleichen Perioden, also die gleichbleibenden Zeitschritte, die wir betrachten, sind hier eine Stunde lang. Der Faktor des Wachstums beträgt $2$, denn die gewachsene Rostfläche verdoppelt sich nach jeder Stunde $x$.

Die Exponentialfunktion, die dieses Wachstum beschreibt, ist wieder unsere Beispielfunktion, wobei wir streng genommen jetzt mit Einheiten rechnen müssen:

$f(x~\text{Stunden}) = 1~{\text{cm}}^2 \cdot 2^{x~\text{Stunden}}$

Damit können wir nun die verrostete Fläche nach einer beliebigen Anzahl an Stunden berechnen. Bei der Berechnung der Werte ist es natürlich einfacher, die Einheiten erstmal wegzulassen und im Nachhinein wieder zu ergänzen.
Sehen wir uns den Verlauf des Wachstums in einem Diagramm an:

Hier sehen wir, dass auch negative Werte für $x$ möglich sind. Wir können also auch sehen, wie das Wachstums des Rostes verlaufen sein muss, bevor eine Rostfläche von $1~\text{cm}^2$ an dem von uns gewählten Startpunkt $\left( 0~\text{Stunden} \right)$ erreicht wurde. Hierfür solltest du die Rechenregel für Potenzen mit negativem Exponenten kennen:

$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$

Bei unserer Wachstumsfunktion gilt also beispielsweise für den Wert $x = -2$:

$f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

Auch der $y$-Wert einer Exponentialfunktion kann negativ sein. Dafür müsste aber die Konstante $c$ vor der Potenz negativ sein – das ist in unserer Beispielfunktion nicht der Fall.

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Neben dem Wachstum bzw. der Zunahme von Rost auf einer Metalloberfläche gibt es noch viele weitere Beispiele für exponentielles Wachstum. Auch der umgekehrte Vorgang, exponentieller Zerfall, ist möglich. Ein Zerfall wird üblicherweise durch eine Exponentialfunktion mit einem negativen Exponenten beschrieben.

Folgende Beispiele für Wachstums- und Zerfallsprozesse können mit Exponentialfunktionen beschrieben werden:

• Wenn du Geld anlegst, erhältst du von der Bank Zinsen. Das angelegte Geld nimmt exponentiell zu, solange du kein Geld abhebst. Wie viel Geld dabei herauskommt, berechnest du mit der Zinsrechnung. Die Vermehrung von Ersparnissen auf dem Bankkonto ist also ein exponentieller Wachstumsprozess.
• Ebenso ist die Vermehrung von Bakterien ein exponentieller Wachstumsprozess. In einer Bakterienkultur vermehren sich die Bakterien normalerweise durch Zellteilung. Das heißt, jedes Bakterium verdoppelt sich, wobei sich die neuen Bakterien wiederum verdoppeln und so weiter. Ein solches Wachstum lässt sich exponentiell beschreiben.
• Der Milchschaum auf einem Latte Macchiato oder die Schaumkrone auf einem Bier stellen einen exponentiellen Zerfallsprozess dar – sie zerfallen exponentiell.
• Auch der Zerfall von radioaktiven Nukliden bzw. Substanzen ist exponentiell. Dieser Zerfall kann mitunter sehr, sehr lange dauern.

Um solche Prozesse zu beschreiben, verwendet man Exponentialfunktionen. Wir haben in der obigen Abbildung gesehen, dass der Graph einer Exponentialfunktion einerseits sehr steil ansteigt, andererseits aber in einem gewissen Bereich ziemlich flach verläuft. Exponentielles Wachstum (bzw. Zerfall) muss also nicht immer schnell sein. Je nachdem, in welchem Bereich der Wachstums- bzw. Zerfallskurve man sich gerade befindet, kann es auch mal sehr langsam gehen.
Deswegen tut sich auf deinem Bankkonto erst mal nicht recht viel, wenn du nur einen geringen Betrag anlegst – erst nach vielen Jahren des Sparens nimmt das Wachstum dann langsam Fahrt auf. Wenn du also geduldig bleibst, kommt am Ende doch ganz schön was zusammen, selbst wenn du ganz klein anfängst.

Exponentialfunktion – Eigenschaften

Betrachten wir die Exponentialfunktion in ihrer allgemeinen Form:

$f_a(x)=c \cdot a^x$

Es gilt $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}$.

Wenn die Konstante $c$ gleich $1$ ist, vereinfacht sich die Exponentialfunktion zu:

$f_{c=1}(x)=a^x$

Ist hingegen $c$ gleich $0$, erhalten wir:

$f_{c=0}(x)=0 \cdot a^x = 0$

Dieser Fall ist also nicht als Exponentialfunktion zu betrachten, genauso wenig wie die Fälle für $a =0$ und $a = 1$, denn dann handelt es sich jeweils um eine konstante Funktion:

$f_{a=0}(x)=c \cdot 0^x = c \cdot 0 = 0$

$f_{a=1}(x)=c \cdot 1^x = c \cdot 1 = c$

Für alle anderen Werte $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}$ erhalten wir Exponentialfunktionen. Dabei sind einige Zusammenhänge zu beachten, die wir uns im Folgenden genauer ansehen.

Definitions- und Wertemenge

In eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form $f_a(x)=c \cdot a^x$ können wir jede beliebige reelle Zahl für $x$ einsetzen und erhalten immer einen positiven Funktionswert, solange $c$ positiv ist. Es gilt also:

• Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion der allgemeinen Form ist $D = \mathbb{R}$.
• Die Wertemenge einer Exponentialfunktion der allgemeinen Form ist
  $W = \mathbb{R}^+$ für $c >0 \qquad$ bzw. $\qquad W = \mathbb{R}^-$ für $c < 0$.

Für die Werte $-\infty < x < \infty$ können also alle Funktionswerte der Mengen $\mathbb{R}^+$ oder $\mathbb{R}^-$ angenommen werden, jedoch nicht der Funktionswert $0$.

Monotonie

Hinsichtlich der Monotonie – also des Verlaufs der Steigung des Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion – ist Folgendes zu beachten:

• Ist $c > 0$ und $a > 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton steigend und liegt im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
• Ist $c > 0$, aber $0 < a < 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton fallend im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
• Ist $c < 0$ und $a > 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion ebenfalls streng monoton fallend, liegt allerdings im 3. und 4. Quadranten – also im Bereich negativer $y$-Werte.
• Ist $c < 0$, aber $0 < a < 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton steigend im 3. und 4. Quadranten.

Um einen Zerfall mit einer streng monoton fallenden Exponentialfunktion darzustellen, wird also nicht zwingend ein negativer Exponent benötigt – das geht nämlich auch mit einer Basis $a$, die zwischen $0$ und $1$ liegt (wenn $c > 0$ ist).
Ausgehend von unserer Beispielfunktion $f(x) = 2^x$ können wir die Basis $2$ durch den Wert $0{,}5$ ersetzen und erhalten:

$j(x) = {0{,}5}^x = {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x = \dfrac{1^x}{2^x} = \dfrac{1}{\,2^x} = 2^{-x}$

Die Funktion $j(x) = {0{,}5}^x$ entspricht also genau der Funktion $f(-x) = 2^{-x}$ mit negativem Exponenten. Dabei ist die Basis der Exponentialfunktion $j(x) = {0{,}5}^x$ genau der Kehrwert der Basis von $f(x) = 2^x$ bzw. $f(-x) = 2^{-x}$.

Grenzwerte

Mit den Betrachtungen der Monotonie können wir auch nachvollziehen, an welche Funktionswerte sich der Graph einer Exponentialfunktion hinsichtlich der Grenzen des Definitionsbereichs für $x \longrightarrow -\infty$ bzw. $x \longrightarrow \infty$ annähert.

• Ist $c > 0$ und $a > 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
  $f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0 \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = \infty$.
  Eine solche Exponentialfunktion nähert sich für immer kleinere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse) und wächst für immer größere $x$ ins (positiv) Unendliche. Das haben wir in der Abbildung unserer Beispielfunktion $f(x)$ auch schon gesehen.

• Ist $c > 0$, aber $0 < a < 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
  $f_a(x \longrightarrow -\infty) = \infty \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0$.
  Eine solche Exponentialfunktion kommt also für kleine $x$ aus dem (positiv) Unendlichen und nähert sich für immer größere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse). Der Verlauf stellt im Vergleich zum vorherigen Fall eine Spiegelung an der $y$-Achse dar.

• Ist $c < 0$ und $a > 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
  $f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0 \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = -\infty$.
  Eine solche Exponentialfunktion nähert sich für immer kleinere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse) und fällt für immer größere $x$ ins negativ Unendliche. Dieser Verlauf stellt im Vergleich zum ersten Fall eine Spiegelung an der $x$-Achse dar.

• Ist $c < 0$, aber $0 < a < 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
  $f_a(x \longrightarrow -\infty) = -\infty \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0$.
  Eine solche Exponentialfunktion kommt also für kleine $x$ aus dem negativ Unendlichen und nähert sich für immer größere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse). Der Verlauf stellt im Vergleich zum vorherigen Fall eine Spiegelung an der $y$-Achse dar und im Vergleich zum ersten Fall eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

Hinsichtlich der Definitions- und Wertemenge, der Monotonie und den Grenzwerten sind außerdem folgende Besonderheiten von Exponentialfunktionen zu beachten:

• Eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form $f_a(x)=c \cdot a^x$ hat keine Nullstelle.
• In der allgemeinen Form ist die $x$-Achse immer eine waagerechte Asymptote, an die sich die Exponentialfunktion entweder für unendlich kleine oder unendlich große $x$-Werte annähert.
• Eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form schneidet die $y$-Achse immer im Punkt $\left( 0 \vert c \right)$. Ist $c=1$, liegt der Schnittpunkt entsprechend bei $\left( 0 \vert 1 \right)$.

Damit haben wir einen guten Überblick über die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und deren Funktionsgraphen in Abhängigkeit der Parameter $c$ und $a$.

Natürliche Exponentialfunktion

Eine besondere (und ganz besonders wichtige) Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e\approx2{,}71828$, der Euler’schen Zahl:

$f_e(x) = e^x$

Diese Exponentialfunktion mit der Basis $e$, die wir hier $f_e(x)$ genannt haben, heißt auch natürliche Exponentialfunktion.
Manchmal wird der Begriff Exponentialfunktion auch als Synonym für speziell diese eine Exponentialfunktion bzw. für den Term $e^x$ verwendet. Oft spricht man auch einfach von der $e$-Funktion.

Man kann jede beliebige Exponentialfunktion mit der Basis $a$ in eine natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e$ umwandeln. Dazu wird der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ benötigt. Dieser ist gleichbedeutend mit $\log_e(x)$, also dem Logarithmus von $x$ zur Basis $e$. Der natürliche Logarithmus stellt die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion dar.
Es gilt also: $e^{\ln(x)}=x$

Damit können wir rechnen:
$f_a(x)=c \cdot a^x= c \cdot e^{\ln(a^x)}$

Nun wenden wir eine Rechenregel an, die für alle Logarithmen (unabhängig von der Basis) gilt: $\log(p^{q})=q \cdot \log(p)$

So erhalten wir:
$f_a(x)=c \cdot e^{\ln(a^x)}= c \cdot e^{x \cdot \ln(a)}$

Letztendlich ist $\ln(a)$ nichts weiter als ein konstanter Faktor, mit dem die Variable $x$ im Exponenten der $e$-Funktion multipliziert wird.
Damit haben wir eine beliebige Exponentialfunktion $f_a(x)$ n eine natürliche Exponentialfunktion umgewandelt.

Exponentialfunktion – Parameter und Funktionsgraph

Etwas allgemeiner können wir eine natürliche Exponentialfunktion so formulieren:

$f_{ea}(x)=c \cdot e^{k \cdot x}$

Der konstante Faktor $\ln(a)$, den wir aus der allgemeinen Form der Exponentialfunktion eben herausgearbeitet haben, wird hier einfach $k$ genannt. Des Weiteren gilt:

• $x$ ist die Variable. Sie steht im Exponenten der Potenz. Häufig wird für $x$ eine Zeit eingesetzt (und statt $x$ die Variable $t$ für time verwendet).
• $e$ ist die Euler’sche Zahl und die Basis der Potenz.
• $c$ und $k$ sind Parameter, also konstante Faktoren, für die beliebige reelle Zahlen gewählt werden können. In Bezug auf Wachstums- und Zerfallsprozesse unter Beachtung des Zerfallgesetzes ist $c$ der Anfangswert des Prozesses, der für $x=0~\left(\text{bzw.}~t=0 \right)$ angenommen wird und $k$ die sogenannte Wachstumskonstante, die sich vom Wachstumsfaktor $a$ ableitet $\left( k = \ln{a} \right)$.

Für die Eigenschaften einer natürlichen Exponentialfunktion gelten nun ganz ähnliche Zusammenhänge, wie wir sie auch schon bei der allgemeinen Form der Exponentialfunktion gesehen haben. Allerdings haben wir nun einen zusätzlichen Parameter, nämlich $k$.

Betrachten wir zunächst die folgende Funktion:

$f_1(x)= 1 \cdot e^{1 \cdot x} = e^x$

Hier ist also $c=1$ und $k=1$. Der Funktionsgraph dieser Funktion sieht so aus:

Sieht ganz ähnlich aus wie der Graph unserer ersten Beispielfunktion $f(x)=2^x$, nicht wahr?
Das ist kein Wunder, schließlich ist der Unterschied zwischen der Basis $e\approx2{,}71828$ von $f_1(x) = e^x$ und der Basis $a=2$ von $f(x)=2^x$ nicht allzu groß.

Da auch hier die Konstante $c=1$ ist, schneidet auch dieser Funktionsgraph die $y$-Achse bei $y=1$. Außerdem gilt $f_1(1) = e\approx2{,}71828$ und es gibt keine Nullstelle.

Da die Basis $e$ größer als $1$ ist und hier die Parameter $c$ und $k$ beide positiv sind, gelten außerdem folgende Punkte:

• Die natürliche Exponentialfunktion ist für alle reellen Werte von $x$ definiert $\left( D = \mathbb{R} \right)$ und nimmt ausschließlich positive Funktionswerte an $\left( W = \mathbb{R}^+ \right)$.
• Der Funktionsgraph ist streng monoton steigend und liegt im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
• Für $x \longrightarrow -\infty$ nähert sich der Funktionsgraph der $x$-Achse an. Diese stellt also eine waagerechte Asymptote dar und es gilt der Grenzwert $f_1(x \longrightarrow -\infty) = 0$ für immer kleiner werdende $x$.
  Für $x \longrightarrow \infty$ wächst der Funktionsgraph ins (positiv) Unendliche, nähert sich also dem Grenzwert $f_1(x \longrightarrow \infty) = \infty$ für immer größere $x$ an.

Diese Punkte gelten für alle Parameter $c>0$ und $k>0$. Je größer $c$ und $k$ sind, desto steiler steigt die Kurve der Exponentialfunktion. Dabei wirkt sich ein größerer oder kleiner Wert des Parameters $k$ deutlich stärker aus als eine entsprechende Veränderung des Parameters $c$.

Schauen wir uns aber noch einige andere Möglichkeiten an:

• Bei $f_{-1}(x)=e^{-x}$ mit $c=1$ und $k=-1$ wird der Graph an der $y$-Achse gespiegelt, er verläuft also streng monoton fallend. Die übrigen Eigenschaften bleiben erhalten. Durch den negativen Wert von $k$ haben wir nun einen negativen Exponenten. Das haben wir in Zusammenhang mit dem exponentiellen Zerfall weiter oben schon besprochen.
• Bei $j_1(x)=-e^{x}$ mit $c=-1$ und $k=1$ wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt. Er verläuft dann streng monoton fallend und liegt komplett unterhalb der $x$-Achse, also im 3. und 4. Quadranten des Koordinatensystems. Auch diesen Fall haben wir weiter oben schon besprochen. Andere positive Werte für $k$ ändern an diesem Zusammenhang nichts.
• Bei $j_{-1}(x)=-e^{-x}$ mit $c=-1$ und $k=-1$ ist der Graph im Vergleich zu $f_1(x)$ sowohl an der $x$-Achse als auch an der $y$-Achse gespiegelt. Es handelt sich damit um eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung. Der Graph ist streng monoton steigend, liegt im 3. und 4. Quadranten komplett unterhalb der $x$-Achse und schneidet die $y$-Achse bei $c=-1$.

Ein negativer Wert des Parameters $k$ wirkt sich also ganz ähnlich aus wie ein Wert zwischen $0$ und $1$ der allgemeinen Basis $a$. Dieser Zusammenhang ergibt sich aus einer Rechenregel für den Logarithmus, die wir beim Umrechnen von allgemeinen Exponentialfunktionen in natürliche Exponentialfunktionen anwenden können. Wie bereits gesehen, gilt: $k = \ln(a)$

Ist $k$ negativ, gilt entsprechend: $-k = -\ln(a)$
Außerdem gilt: $\ln(1)=0$
Damit lässt sich umschreiben: $-k = -\ln(a) = \ln(1) - \ln(a)$

Jetzt wenden wir die entscheidende Rechenregel an: $\ln(1) - \ln(a) = \ln\left(\frac{1}{a} \right)$
Es gilt also letztendlich: $-k = \ln\left(\frac{1}{a} \right)$

Gehen wir von dem ursprünglichen Fall aus, dass $k>0$ und $a>1$ ist, haben wir somit einen direkten Zusammenhang zwischen einem entsprechend negativen $k$ (also $-k$) und einem Bruch $\frac{1}{a}$ hergeleitet, der den Kehrwert der allgemeinen Basis $a$ darstellt und folglich kleiner als $1$ ist.

Exponentialfunktion – Formel

Die Exponentialfunktion in ihrer allgemeinen Form können wir als Formel für einen Wachstumsprozess ansehen:

Auch einen Zerfallsprozess können wir mit geeigneten Werten für $a$ abbilden:

Gleiches können wir mit natürlichen Exponentialfunktionen und geeigneten Parametern schreiben:

Exponentialfunktion ableiten

Beim Ableiten einer Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gilt folgende Ableitungsregel:

$f_a(x) = c \cdot a^x$

$f^\prime_a(x) = c \cdot a^x \cdot \ln(a)$

Der Faktor $\ln(a)$ ergibt sich durch das Nachdifferenzieren der Basis $a$ der Potenz $a^x$. Für unsere Beispielfunktion $f(x) = 2^x$ sähe die erste Ableitung $f^\prime(x)$ demnach folgendermaßen aus:

$f(x) = 2^x$

$f^\prime(x) = 2^x \cdot \ln(2)$

Bei der natürlichen Exponentialfunktion $f_e(x) = e^x$ wird die Ableitung dann ganz einfach, wenn wir berücksichtigen, dass $\ln(e) = 1$ gilt:

$f_e(x) = e^x$

$f^\prime_e(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x$

Die Ableitung der $e$-Funktion ist also einfach wieder $e^x$.

Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$

Wenn es keinen Faktor $c$ vor der Potenz gibt, können wir eine Exponentialfunktion einfach Ableiten, indem wir die Basis nachdifferenzieren.

Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^x$

Wenn es einen Faktor $c$ gibt, wird dieser beim Ableiten einfach mitgenommen und die Basis der Potenz nachdifferenziert.

Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^{g(x)}$

Bei komplexeren Exponentialfunktionen, bei denen nicht nur die Variable $x$, sondern eine Funktion von $x$ im Exponenten steht, ist das Nachdifferenzieren etwas komplizierter. Zusätzlich zur Basis der Potenz muss auch die gesamte Funktion $g(x)$ im Exponenten nachdifferenziert werden:

$f_a(x) = c \cdot a^{g(x)}$

$f^\prime_a(x) = c \cdot a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g^\prime(x)$

Exponentialfunktion – Beispiel

Kommen wir wieder zu unserem Beispiel vom Anfang: dem Wachstum des Rostflecks auf der Metalloberfläche. Dieses Wachstum haben wir mit einer Exponentialfunktion dargestellt:

$f(x~\text{Stunden}) = 1~\text{cm}^2 \cdot 2^{x~\text{Stunden}}$

Um zu verstehen, was hier genau passiert, können wir mit dieser Funktion genauso umgehen, wie mit anderen bekannten Funktionen: Wir setzen ein paar Werte ein und erstellen eine Wertetabelle. Hierfür lassen wir erstmal die Einheiten weg und berechnen zu bestimmten Werten für $x$ die Funktionswerte:

• $f(0)=2^0=1$
• $f(1)=2^1=2$
• $f(2)=2^2=4$
• $f(3)=2^3=8$
• …

Nun können wir auch einige Werte in negative $x$-Richtung berechnen:

• $f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$
• $f(-2)=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$
• $f(-3)=2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$
• …

Diese Wertepaare $\left( x \vert f(x) \right)$ können wir in ein Koordinatensystem übertragen. So erhalten wir den Graphen der Funktion, der weiter oben schon in einer Abbildung dargestellt war.
Aus den verschiedenen Bereichen des Graphen können wir einige Informationen ableiten:

• Das Wachstum, also die Zunahme des Rostes, fing sehr langsam an. Es dauerte viele Stunden, bis der Rostfleck von einer verschwindend kleinen Größe (bei $-10$ Stunden) zu einer Größe von $1~\text{cm}^2$, also in etwa der Fläche eines Fingernagels, angewachsen ist.
• Ab der Größe $1~\text{cm}^2$, die uns zum Zeitpunkt $x=0$ erstmals aufgefallen ist und damit für uns den Startpunkt des Wachstums darstellt, verlief das Wachstum des Rostes deutlich schneller, was an der zunehmenden Steigung der Kurve zu erkennen ist.
• Bereits $3$ Stunden nach unserem Startpunkt wird der Rostfleck bereits auf $8~\text{cm}^2$, also das Achtfache der Größe zum Zeitpunkt $x=0$, angewachsen sein.

Der Rost wird nun ziemlich schnell ins positiv Unendliche steigen. Allerdings kann in der Realität natürlich nicht unendlich viel Rost entstehen, sondern nur so viel, wie Metall vorhanden ist. Und natürlich hat das Rosten auch nicht schon im negativ Unendlichen angefangen (also nicht beim Anbeginn aller Zeiten), sondern frühestens als das Metall verarbeitet und verbaut wurde.
Das zeigt, dass mathematische Formeln für Wachstumsprozesse immer nur Näherungen sind, mit denen in der Realität ablaufende Prozesse näherungsweise beschrieben werden können.

Exponentialfunktion – Wertetabelle

Hier haben wir die zuvor berechneten Werte unserer Beispielfunktion noch einmal in Form einer Wertetabelle aufgeschrieben.

Exponentialfunktion – Aufgaben

Mit den folgenden Beispielaufgaben kannst du den Umgang mit Exponentialfunktionen selbstständig üben. Versuche es zuerst selbst und sieh dir dann die Lösungen an!

Ausblick – das lernst du nach Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Setze deinen mathematischen Weg mit Exponentialfunktionen fort. Erweitere dein Wissen über die wichtigsten Kenngrößen von Exponentialfunktionen und erfahre, wie sich diese in realen Anwendungen wiederfinden lassen.

Wenn du das Gelernte anwenden möchtest, dann schau dir den Übungstext zu Exponentialfunktionen an.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialfunktion