Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert

Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Änderungen in Prozent.

  Tipps

  Eine Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion zweier Zahlen. Sie kann positiv oder negativ sein.

  Der Begriff „Prozent“ hat seinen Ursprung im Lateinischen und bedeutet „von Hundert“.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Änderungen in Prozent sind ausschließlich positiv.“

  Je nachdem, welches Vorzeichen die Differenz aus End- und Anfangswert hat, können Änderungen in Prozent positiv oder negativ sein. Die Änderung ist genau dann negativ, wenn der Endwert kleiner als der Anfangswert ist, also:

  $\text{Endwert}-\text{Anfangswert}<0$

  • „Die prozentuale Änderung berechnest du, indem du den Endwert durch den Anfangswert teilst.“

  Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, musst du sie mit $100$ multiplizieren.“

  Hier solltest du dir klar machen, was genau mit dieser Aussage gemeint ist. Du multiplizierst die Dezimalzahl nicht tatsächlich mit $100$. Das ist lediglich eine Hilfsvorstellung, um denjenigen Wert zu erhalten, hinter den du dann ein Prozentzeichen schreibst:

  $\begin{array}{llll} &0,45\cdot 100 & = & 45\\ \Rightarrow &0,45 & = & 45\, \% \end{array}$

  Beachte also die Gleichung in der letzten Zeile: $0,45=45\,\%$.
  Dagegen ist $0,45\cdot 100 = 45 = 4500\,\%$!

  • „Änderungen in Prozent berechnest du, indem du die Differenz aus End- und Anfangswert durch den Anfangswert teilst.“

  Das ist die Formel für die Berechnung in Worten ausgedrückt. Die Differenz aus End- und Anfangswert im Zähler wird durch den Anfangswert im Nenner geteilt.

  • „Das Vorzeichen der Differenz aus End- und Anfangswert bestimmt, ob die Änderung positiv oder negativ wird.“

  Ist der Endwert kleiner als der Anfangswert, dann hat in dem Prozess, der beobachtet wird (z.B. die Änderung der Anzahl an Followern) eine Abnahme stattgefunden. Dies drückt sich dann durch ein negatives Vorzeichen der Änderung aus. Ist der Endwert größer als der Anfangswert, dann hat eine Zunahme stattgefunden, und das Vorzeichen der Änderung ist positiv. Sind Anfangs- und Endwert gleich, dann gibt es weder Zu- noch Abnahme, und der Wert der Änderung ist $0$ ($=0\,\%$).

• Berechne die Änderung in Prozent.

  Tipps

  Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$.

  Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen hinter das Ergebnis.

  Wenn du zum Beispiel $0,7$ als Prozentzahl angeben willst, geht das so:

  $\begin{array}{llll} & 0,7\cdot 100 & = & 70\\ \Rightarrow & 0,7 & = & 70\,\% \end{array}$

  Lösung

  Xenia führt ihre Rechnung in der folgenden Reihenfolge durch:

  • „Zuerst stellt sie die Formel für die Änderung in Prozent auf:“

  • „$\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{312-240}{240}$“

  Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  In diese Gleichung setzt sie die Anzahl ihrer Follower vor dem Posten des Bilds (Anfangswert) und danach (Endwert) ein.

  • „Das berechnet sie zu: $\frac{72}{240}=\frac{3}{10}=0,3$“

  • „Und gibt die Lösung in Prozent an:“

  • „$0,3 = 30\%$“

  Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen hinter das Ergebnis:

  $\begin{array}{llll} & 0,3\cdot 100 & = & 30\\ \Rightarrow & 0,3 & = & 30\,\% \end{array}$

• Bestimme die Änderungen in Prozent.

  Tipps

  Die Veränderungen in Prozent kannst du berechnen, indem du die Mitgliederzahlen in den jeweiligen Jahren in die bekannte Formel einsetzt.

  Die Formel lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  Lösung

  Die Veränderungen in Prozent kannst du berechnen, indem du die Mitgliederzahlen in den jeweiligen Jahren in die bekannte Formel einsetzt. Diese lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  Damit ergibt sich für den Zeitraum $2009$ bis $2011$:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{69\,485-78\,064}{78\,064}\approx -0,1099=-10,99\,\%$

  Analog kannst du die Veränderungen über die anderen Zeiträume bestimmen:

  • Im Zeitraum $2011$ bis $2013$ hat sich die Mitgliederzahl um $-8,23\,\%$ verändert.

  • Die Veränderung zwischen den Jahren $2013$ und $2015$ betrug $-7,48\,\%$.

  • Von $2015$ bis $2017$ hat sich die Mitgliederzahl um $5,60\,\%$ geändert.

  Von $2009$ bis $2015$ ist die Mitgliederzahl also gefallen (negatives Vorzeichen der Änderung!), von $2015$ bis $2017$ wieder gestiegen.

• Bestimme die Änderungen in Prozent.

  Tipps

  Die Tabelle kannst du vervollständigen, indem du die Änderungen in Prozent mit der bekannten Formel berechnest:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  Julias Mutter betrachtet hier die Änderung des Smartphonekonsums ihrer Tochter über mehrere Zeiträume. Der Anfang dieses Zeitraums ist immer der jeweilige Vortag, das Ende der jeweils aktuelle Tag (der gleichzeitig der Anfang des nächsten Zeitraumes ist).

  Den Wert des Vortags kannst du entweder aus der nächsthöheren Spalte der Tabelle ablesen oder aus der Differenz berechnen:

  $\text{Anfangswert}=\text{Endwert}- \text{Differenz}$

  Lösung

  Die Tabelle kannst du vervollständigen, indem du die Änderungen in Prozent mit der bekannten Formel berechnest. Hierbei ist jeweils der Wert des aktuellen Tages der Endwert und der des Vortags der Anfangswert:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}=\frac{\text{Differenz}}{\text{Wert des Vortags}}$

  In der ersten Zeile ergibt sich für die Differenz:

  $\text{Differenz}=120-100=20$ und schließlich für die Änderung:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{20}{100}=0,2=20\,\%$

  Den Wert des Vortags kannst du entweder aus der nächsthöheren Spalte der Tabelle ablesen oder aus der Differenz berechnen:

  $\text{Anfangswert}=\text{Endwert}- \text{Differenz}$

  In der zweiten Zeile ergibt sich:

  $\text{Anfangswert}=300-180=120$

  Und als Änderung entsprechend:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{180}{120}=1,5=150\,\%$

  In der dritten und vierten Zeile kannst du genauso verfahren wie in den ersten beiden Zeilen. So kannst du die Tabelle vervollständigen:

  $\begin{array}{cccc} \text{Nutzungsdauer}& \text{Nutzungsdauer Vortag} & \text{Differenz}& \ddot{\text{A}}\text{nderung in }\%\\ \hline 120 &100 &20 &20 \\ 300 &120 & 180 &150\\ 150 & 300 & -150 &-50\\ 220 & 150 & 70 & 46,67\\ \end{array}$

• Beschreibe das Verfahren zur Berechnung von Änderungen in Prozent.

  Tipps

  In der Mathematik gilt die Regel „Punkt vor Strich“. Sie besagt, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion ausgeführt werden. Allerdings werden Terme in Klammern trotzdem immer zuerst ausgerechnet, auch wenn darin eine Summe oder eine Differenz steht.

  Einen Bruch kannst du dir als eine Division vorstellen, bei der Zähler und Nenner in Klammern stehen:

  $\frac{a+b-c}{x-y+z}=(a+b-c)\div(x-y+z)$

  Hier werden also zunächst die Summen und Differenzen in Zähler und Nenner berechnet und erst dann die Division durchgeführt.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung prozentualer Änderungen lautet:

  $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

  Wenn du also Anfangs- und Endwert kennst, dann kannst du sie in die Formel einsetzen und die folgenden Schritte nacheinander abarbeiten, um die Prozentzahl zu erhalten:

  • „Zuerst berechnest du die Differenz aus End- und Anfangswert.“

  • „Diese Differenz teilst du durch den Anfangswert.“

  • „Das Ergebnis der Division ist eine Dezimalzahl.“

  • „Die Dezimalzahl multiplizierst du mit $100$.“

  • „Hinter dieses Ergebnis schreibst du ein Prozentzeichen, um die fertige Prozentzahl zu erhalten.“

• Erarbeite, wie du den Anfangswert bestimmen kannst.

  Tipps

  Einen Quotienten kann man als Bruch schreiben, man kann aber auch „$:$“ benutzen.

  Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen dahinter. Hier rechnest du eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, also teilst du die Zahl vor dem Prozentzeichen durch $100$.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „(...) die Formel zur Berechnung von prozentualen Änderungen:

  $\text{Änderung}=(\text{Endwert}-\text{Anfangswert}):\text{Anfangswert}$.

  Er weiß, dass man eine Änderung von $20~\%$ in Dezimalzahlen als $0,2$ ausdrückt. Dann setzt er alles Gegebene in die Gleichung ein.“

  • Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen dahinter. Hier rechnest du eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, also teilst du die Zahl vor dem Prozentzeichen durch $100$: $\frac{20}{100}=0,2$

  „$-0,2=\frac{55,99-a}{a}$.“

  • Hier wurde $0,2$ für die Änderung in Prozent, $55,99$ für den Endwert und $a$ als Variable für den Anfangswert eingesetzt.

  „Doch wie kann er jetzt den Anfangswert $a$ bestimmen? Dazu muss er die Gleichung zuerst mit $a$ multiplizieren (...).“

  • Um die Variable $a$ im Nenner auf der rechten Seite loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $a$.

  „Anschließend muss er die Gleichung nach $a$ auflösen.“

  • Um den Anfangswert $a$ zu bestimmen, lösen wir die Gleichung nach $a$ auf.

  „Der Rucksack hat also ursprünglich $69,99~€$ gekostet.“